非線形システム

数学と科学において、非線形システム（または非線形システム）は、出力の変化が入力の変化に比例しないシステムである。 ^{[1] [2]}非線形問題は、ほとんどのシステムが本質的に非線形であるため、エンジニア、生物学者、^{[3] [4] [5]}物理学者、^{[6] [7]}数学者、および他の多くの科学者の関心事である。^[8]時間の経過に伴う変数の変化を記述する非線形動的システムは、はるかに単純な線形システムとは対照的に、混沌としていたり​​、予測不可能であったり、直感に反したりするように見えることがある。

通常、非線形システムの挙動は、数学では非線形方程式系によって記述されます。これは、未知数 (または微分方程式の場合は未知の関数) が1 より大きい次数の多項式の変数として、または次数 1 でない関数の引数として現れる連立方程式の集合です。言い換えると、非線形方程式系では、解くべき方程式は、そこに現れる未知の変数または関数の線形結合として記述することはできません。既知の線形関数が方程式に現れるかどうかに関係なく、システムは非線形として定義できます。特に、微分方程式は、そこに現れる他の変数に関しては非線形であっても、未知の関数とその導関数に関して線形であれば線形です。

非線形の動的方程式は解くのが難しいため、非線形システムは一般に線形方程式で近似されます (線形化)。これは、入力値に対してある程度の精度と範囲まではうまく機能しますが、ソリトン、カオス、^[9]、特異点などの興味深い現象は線形化によって隠されます。その結果、非線形システムの動的動作のいくつかの側面は、直感に反し、予測不可能で、さらにはカオスのように見えることがあります。このようなカオス的な動作はランダムな動作に似ているかもしれませんが、実際にはランダムではありません。たとえば、天気のいくつかの側面はカオス的であると考えられており、システムの一部の単純な変化が全体に複雑な影響を及ぼします。この非線形性は、現在の技術では正確な長期予報が不可能である理由の1つです。

非線形システムの研究に「 非線形科学」という用語を使用する著者もいます。この用語については異論もあります。

非線形科学のような用語を使用することは、動物学の大部分を象以外の動物の研究であると言及するようなものです。

— スタニスワフ・ウラム^[10]

数学において、線型写像（または線型関数）とは次の両方の性質を満たすものです。 ${\displaystyle f(x)}$

• 加法性または重ね合わせの原理:${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• 均質性:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

加法性は任意の有理数 αに対して同次性を意味し、連続関数の場合は任意の実数 αに対して同次性を意味する。複素数 αの場合、同次性は加法性から導かれない。例えば、反線型写像は加法性ではあるが同次ではない。加法性と同次性の条件は、重ね合わせ原理でしばしば組み合わされる。

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

次のように書かれた方程式

${\displaystyle f(x)=C}$

が（上で定義したように）線型写像である場合は線型と呼ばれ、そうでない場合は非線型と呼ばれます。 が同次関数である場合は、この方程式は同次と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle f(x)}$

定義は非常に一般的で、 は任意の適切な数学的オブジェクト（数値、ベクトル、関数など）にすることができ、関数 は文字通り任意のマッピング にすることができ、関連する制約（境界値など）を伴う積分または微分も含むことができます。に に関する微分が含まれる場合、結果は微分方程式になります。 ${\displaystyle f(x)=C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

非線形方程式系は、複数の変数を持つ方程式の集合で構成され、そのうちの少なくとも 1 つは線形方程式ではありません。

形式の単一方程式に対しては、多くの方法が設計されています。「根を求めるアルゴリズム」を参照してください。 fが多項式の場合、次のような 多項式方程式があります。一般的な根を求めるアルゴリズムは多項式の根に適用されますが、一般にすべての根が見つかるわけではなく、根が見つからない場合でも、根が存在しないことを意味するわけではありません。多項式に固有の方法を使用すると、すべての根または実根を見つけることができます。 「実根分離」を参照してください。 ${\displaystyle f(x)=0,}$${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

多項式方程式系を解くこと、つまり複数の変数を持つ複数の多項式の集合の共通零点を見つけることは難しい問題であり、グレブナー基底アルゴリズムなどの精巧なアルゴリズムが設計されてきた。^[11]

微分可能な関数をゼロに等しくすることによって形成される方程式系の一般的なケースでは、主な方法はニュートン法とその変種です。通常、それらは解を提供しますが、解の数に関する情報は提供しません。

非線形再帰関係は、シーケンスの連続する項を、先行する項の非線形関数として定義します。非線形再帰関係の例には、ロジスティック マップや、さまざまなホフスタッター シーケンスを定義する関係があります。幅広い非線形再帰関係を表す非線形離散モデルには、NARMAX (外生入力による非線形自己回帰移動平均) モデルや、関連する非線形システム識別および分析手順が含まれます。^[12]これらのアプローチは、時間、周波数、時空間領域における幅広い複雑な非線形動作を研究するために使用できます。

微分方程式系は、線形方程式系でない場合は非線形であると言われます。非線形微分方程式を含む問題は非常に多様であり、解決方法や解析方法は問題によって異なります。非線形微分方程式の例には、流体力学のナビエ・ストークス方程式や生物学のロトカ・ヴォルテラ方程式があります。

非線形問題の最大の難しさの 1 つは、既知の解を組み合わせて新しい解を作ることが一般には不可能であることです。たとえば、線形問題では、線形独立な解の族を使用して、重ね合わせの原理によって一般解を構築できます。この良い例は、ディリクレ境界条件による 1 次元熱輸送です。この解は、異なる周波数の正弦波の時間依存の線形結合として記述できます。これにより、解が非常に柔軟になります。非線形方程式には非常に具体的な解がいくつか見つかることがよくありますが、重ね合わせの原理がないため、新しい解を構築することはできません。

1階の常微分方程式は、特に自律方程式の場合、変数分離によって正確に解けることが多い。たとえば、非線形方程式

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

は一般解として（そしてCが無限大に近づくときの一般解の極限に対応する特殊解として）持つ。この方程式は非線形であり、次のように書ける。 ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

また、式の左辺は およびその導関数の線形関数ではありません。項を に置き換えると、問題は線形（指数関数的減少問題） になることに注意してください。${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u}$

2 次以上の常微分方程式 (より一般的には、非線形方程式のシステム)では、暗黙的な解や非基本積分を含む解はありますが、閉じた形式の解が得られることはほとんどありません。

非線形常微分方程式の定性分析によく用いられる方法には以下のものがあります。

• 特にハミルトン系における保存量の検討
• 保存量に類似した散逸量（リアプノフ関数を参照）の検討
• テイラー展開による線形化
• 変数を研究しやすいものに変更する
• 分岐理論
• 摂動法（代数方程式にも適用可能）
• 有限持続時間の解の存在^[13]これは、いくつかの非線形常微分方程式に対して特定の条件下で発生する可能性がある。

非線形偏微分方程式を研究するための最も一般的な基本的なアプローチは、変数を変更して（または問題を変換して）、結果として生じる問題がより単純（おそらく線形）になるようにすることです。場合によっては、変数の分離で見られるように、方程式を 1 つ以上の常微分方程式に変換できます。これは、結果として生じる常微分方程式が解けるかどうかに関係なく常に役立ちます。

流体力学や熱力学でよく使われるもう 1 つの一般的な (ただし数学的ではない) 手法は、スケール解析を使用して、特定の境界値問題における一般的な自然方程式を簡略化することである。たとえば、円形パイプ内の過渡的、層流、1 次元流れの場合、(非常に) 非線形なナビエ-ストークス方程式は 1 つの線形偏微分方程式に簡略化できる。スケール解析は、流れが層流かつ 1 次元となる条件を提供し、簡略化された方程式も生成する。

その他の方法としては、特性を調べたり、常微分方程式に対して上記で概説した方法を使用したりすることが挙げられます。

古典的で広く研究されている非線形問題として、重力の影響下にある摩擦のない振り子の力学がある。ラグランジュ力学を用いると、振り子の運動は無次元非線形方程式 で記述できることが示される^[14]。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

ここで重力は「下向き」を向いており、右の図に示すように振り子が静止位置となす角度です。この方程式を「解く」1つの方法は、積分因子として を使用することです。これは最終的に ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

これは楕円積分を含む暗黙の解です。この「解」は、解の性質のほとんどが非基本積分( でない限り非基本積分)に隠されているため、一般にはあまり使用されません。 ${\displaystyle C_{0}=2}$

この問題に取り組む別の方法は、テイラー展開を通じて、さまざまな関心点における非線形性（この場合は正弦関数項）を線形化することである。例えば、小角近似と呼ばれる における線形化は、 ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

のとき、 となるからです。これは、振り子の軌道の底部付近での振動に対応する単振動子です。もう 1 つの線形化は、 で、振り子が真っ直ぐ上に上がっていることに対応します。 ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

であるため、 に対して となります。この問題の解には双曲正弦曲線が関係しますが、小角近似とは異なり、この近似は不安定であることに注意してください。つまり、 は通常は無制限に大きくなりますが、有界解も考えられます。これは、振り子を垂直に立てることの難しさに対応しており、文字通り不安定な状態です。 ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$${\displaystyle \theta \approx \pi }$${\displaystyle |\theta |}$

の周りでもう一つの興味深い線形化が可能です。 その周りでは次のようになります。${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

これは自由落下の問題に相当します。右の図に示すように、このような線形化を組み合わせることで、振り子のダイナミクスの非常に有用な定性的な図が得られます。他の手法を使用して、(正確な)位相図やおおよその周期を見つけることもできます。

• 振幅の消滅- システム内に存在する振動は、他のシステムとの何らかの相互作用、または同じシステムからのフィードバックにより停止します。
• カオス– システムの値は将来にわたって無期限に予測することはできず、変動は非周期的である
• 多重安定性– 2つ以上の安定状態の存在
• ソリトン– 自己強化孤立波
• リミットサイクル– 不安定化した固定点が引き寄せられる漸近的な周期軌道。
• 自己振動- 開放型の散逸物理システムで発生するフィードバック振動。

• 指揮統制研究プログラム (CCRP)
• ニューイングランド複雑系研究所: 複雑系の概念
• MIT の OpenCourseWare における非線形ダイナミクス I: カオス
• 非線形モデルライブラリ – ( MATLAB内) 物理システムのデータベース
• ロスアラモス国立研究所非線形研究センター