境界値問題

微分方程式の研究において、境界値問題とは、境界条件と呼ばれる制約条件が課せられた微分方程式のことである。^{[ 1 ]}境界値問題の解とは、境界条件も満たす微分方程式の解のことである。

境界値問題は、あらゆる物理微分方程式に現れるように、物理学のいくつかの分野で発生します。波動方程式に関わる問題、例えば固有モードの決定などは、しばしば境界値問題として定式化されます。重要な境界値問題の大きなクラスは、シュトゥルム・リウヴィル問題です。これらの問題の解析は、線形の場合、微分演算子の固有関数を伴います。

応用において有用であるためには、境界値問題は適切に定式化されている必要がある。これは、問題への入力が与えられたとき、入力に連続的に依存する一意の解が存在することを意味する。偏微分方程式の分野における多くの理論的研究は、科学および工学応用から生じる境界値問題が実際に適切に定式化されていることを証明することに費やされている。

最初に研究された境界値問題の一つに、調和関数（ラプラス方程式の解）を求めるディリクレ問題があります。その解はディリクレの原理によって与えられました。

境界値問題は初期値問題と似ています。境界値問題では、方程式内の独立変数の極値（「境界」）で条件が指定されますが、初期値問題では、すべての条件が独立変数の同じ値で指定されます（そしてその値は領域の下限境界にあるため、「初期」値と呼ばれます）。境界値とは、システムまたはコンポーネントに対して指定された最小または最大の入力値、内部値、または出力値に対応するデータ値です。^{[ 2 ]}

例えば、独立変数が領域[0,1]上の時間である場合、境界値問題では、${\displaystyle y(t)}$両方で${\displaystyle t=0}$そして${\displaystyle t=1}$一方、初期値問題では、${\displaystyle y(t)}$そして${\displaystyle y'(t)}$その時${\displaystyle t=0}$。

片端を絶対零度、もう片端を水の凝固点に保った鉄棒のすべての点の温度を求めることは、境界値問題となる。

問題が空間と時間の両方に依存する場合、特定の時点におけるすべての時間に対する問題の値、または特定の時点におけるすべての空間に対する問題の値を指定することができる。

具体的に、境界値問題（1次元空間における）の例は次のとおりである。

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

未知関数を求める${\displaystyle y(x)}$境界条件付き

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

境界条件がない場合、この方程式の一般解は次のようになります。

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

境界条件から${\displaystyle y(0)=0}$得られるもの

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

これはつまり${\displaystyle B=0.}$境界条件から${\displaystyle y(\pi /2)=2}$見つける

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

など${\displaystyle A=2.}$境界条件を課すことで一意の解を決定できることがわかります。この場合、

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

条件の3 つの標準クラス^{[ 3 ]}は、ディリクレ、ノイマン、コーシー^{[ 4 ]}またはロビン^{[ 3 ]}であり、混合^{[ 5 ]}境界は無限大です。^{[ 6 ]}

未知関数の境界条件の概要、${\displaystyle y}$定数${\displaystyle c_{0}}$そして${\displaystyle c_{1}}$境界条件によって指定され、既知のスカラー関数${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$境界条件によって指定される。

境界値条件

タイプ 1 の境界条件、ディリクレ境界条件^{[ 7 ]}は、関数自体の値を指定します。たとえば、鉄棒の一端を絶対零度に保持すると、問題の値はその空間の点でわかります。

タイプ2の境界条件であるノイマン境界条件^{[ 7 ]}は、関数の法線微分値を指定します。たとえば、鉄棒の一端にヒーターがある場合、エネルギーは一定の割合で加えられますが、実際の温度はわかりません。

タイプ3の境界条件はロビン条件である。^{[ 7 ]}

境界が、法線微分と変数自体に値を与える曲線または曲面の形をしている場合、それはコーシー境界条件です。

タイプ0の境界条件には物理的な境界がありません。^{[ 7 ]}

• AD ポリャニン、VF ザイツェフ著、『常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）』、チャップマン＆ホール／CRCプレス、ボカラトン、2003年。ISBN 1-58488-297-2。
• AD ポリアニーン著、『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』、チャップマン＆ホール/CRCプレス、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9。

• 「ポテンシャル理論における境界値問題」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 「境界値問題、複素変数法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 線形偏微分方程式：厳密解と境界値問題（EqWorld：数学方程式の世界）。
• 「境界値問題」。Scholarpedia 。