電力潮流解析

電力工学において、電力潮流解析とは、相互接続されたシステムにおける電力の流れを数値的に解析するものです。これは、電力潮流解析、負荷潮流解析、または負荷潮流解析とも呼ばれ、ハイフンの有無は問いません。電力系統を通常の定常状態で解析し、接続された負荷に適切に電力を供給できる系統の能力を解析します。電力潮流解析から得られる主な情報は、各母線における電圧の大きさと位相角、および各線路を流れる有効電力と無効電力です。系統全体の損失と個々の線路の損失も表にまとめられます。電力潮流解析では、通常、単線結線図や単位系などの簡略化された表記法が使用されます。

不確実性へのアプローチという観点から、電力潮流計算は決定論的電力潮流計算と不確実性を考慮した電力潮流計算に分けられます。決定論的電力潮流計算では、発電と負荷の挙動から生じる不確実性は考慮されません。不確実性を考慮に入れるために、確率論的、可能性論的、情報ギャップ決定理論、ロバスト最適化、区間解析など、いくつかの手法が用いられてきました。^{[ 1 ]}

既存システムに対する潮流計算を実施することで、システムの運用状況や制御設定の最適化に関する知見が得られ、運用コストを最小限に抑えつつ最大容量を実現できます。潮流計算は、将来の電力システム拡張計画だけでなく、既存システムの最適な運用方法、特に発電ユニット群の最適な運用方法を決定する上でも重要です。特に、製油所複合施設のように複数の負荷中心を持つシステムにおいては、潮流計算は非常に有効です。

商用電力システムは通常、複雑すぎて手計算で潮流を解くことは困難です。1929年から1960年代初頭にかけて、電力システムの実験室規模の物理モデルを提供するために、専用のネットワークアナライザが開発されました。その後、大規模なデジタルコンピュータが登場し、アナログ方式に代わって数値解法が用いられるようになりました。

電力潮流解析に加えて、コンピュータプログラムは、短絡故障解析、安定性解析（過渡状態および定常状態）、ユニットコミットメント、経済負荷配分などの関連計算を実行します。^{[ 2 ]}特に、一部のプログラムは線形計画法を使用して最適な電力潮流、つまり供給されるキロワット時あたりのコストが最小になる条件を見つけます。

交流電力潮流モデルは、電気工学において電力系統の解析に用いられるモデルです。このモデルは、各送電線を通るエネルギーの流れを記述する非線形方程式系を提供します。負荷インピーダンスへの電力の流れは印加電圧の二乗の関数であるため、この問題は非線形となります。非線形性のため、多くの場合、交流電力潮流モデルを用いた大規模ネットワークの解析は現実的ではなく、代わりに線形（ただし精度は劣る）直流電力潮流モデルが使用されます。

通常、三相電力システムの解析は、3相すべての負荷が平衡していると仮定することで簡略化されます。正弦波定常状態動作が仮定され、負荷や発電量の変化による電力潮流や電圧の過渡的な変化は発生しません。つまり、すべての電流および電圧波形は正弦波であり、直流オフセットはなく、同じ一定周波数を持ちます。この仮定は、電力システムが線形時不変（方程式系は非線形であっても）であり、同じ周波数の正弦波電源によって駆動され、定常状態で動作していると仮定することと同じであり、これによりフェーザ解析という別の簡略化手法を使用できます。さらに簡略化するには、すべての電圧、電力潮流、インピーダンスを単位系で表し、実際の目標システム値を何らかの都合の良い基準にスケーリングします。システムの単線結線図は、システムの発電機、負荷、母線、送電線、およびそれらの電気インピーダンスと定格の数学モデルを構築するための基礎となります。

直流電力潮流（直流負荷潮流、またはDCLFとも呼ばれる）は、交流電力系統における線路電力潮流の推定値を提供します。その名前にもかかわらず、直流電力潮流は直流ではなく交流の解析です。その名前は、直流の解析に似た解析の線形性に由来しています。直流電力潮流は有効電力潮流のみを考慮し、無効電力潮流は無視します。この方法は非反復的で絶対収束しますが、交流負荷潮流解よりも精度は劣ります。直流電力潮流は、反復的かつ高速な負荷潮流推定が必要とされるあらゆる場所で使用されます。^{[ 3 ]}

電力潮流解析の目的は、指定された負荷および発電機の実効電力と電圧条件に対して、電力系統内の各母線における完全な電圧位相角と電圧振幅情報を取得することです。^{[ 4 ]}この情報が分かれば、各分岐における実効電力と無効電力の流れ、および発電機の無効電力出力を解析的に決定できます。この問題は非線形であるため、許容範囲内の解を得るために数値的手法が用いられます。

電力潮流問題の解決は、システム内の既知変数と未知変数を特定することから始まります。既知変数と未知変数は、母線の種類によって異なります。発電機が接続されていない母線は負荷母線と呼ばれます。例外は1つを除いて、少なくとも1つの発電機が接続されている母線で、これは発電機母線と呼ばれます。この母線は、任意に選択された1つの発電機を備えた母線です。この母線は、スラック母線と呼ばれます。

電力潮流問題では、実電力は${\displaystyle P_{D}}$無効電力${\displaystyle Q_{D}}$各負荷母線における電力は既知である。このため、負荷母線はPQ母線とも呼ばれる。発電機母線については、発電された実効電力は既知であると仮定される。${\displaystyle P_{G}}$電圧の大きさ${\displaystyle |V|}$は既知である。スラックバスについては、電圧の大きさは${\displaystyle |V|}$電圧位相${\displaystyle \theta }$は既知です。したがって、各負荷母線では、電圧の大きさと位相角の両方が未知であり、解く必要があります。各発電機母線では、電圧位相角を解く必要があります。スラック母線については、解く必要がある変数はありません。${\displaystyle N}$バスと${\displaystyle R}$発電機があると、${\displaystyle 2(N-1)-(R-1)}$未知のもの。

解決するために${\displaystyle 2(N-1)-(R-1)}$未知のものが存在するはずだ${\displaystyle 2(N-1)-(R-1)}$新たな未知変数を導入しない方程式。使用可能な方程式としては、各母線の有効電力と無効電力について記述できる電力バランス方程式が挙げられる。有効電力バランス方程式は以下のとおりである。

$${\displaystyle 0=-P_{i}+\sum _{k=1}^{N}|V_{i}||V_{k}|(G_{ik}\cos \theta _{ik}+B_{ik}\sin \theta _{ik})}$$

どこ${\displaystyle P_{i}}$は母線iに注入される正味有効電力です。${\displaystyle G_{ik}}$は、バスアドミタンス行列Y _BUSの要素の実数部で、${\displaystyle i_{th}}$列と${\displaystyle k_{th}}$カラム、${\displaystyle B_{ik}}$_{Y BUS}の要素の虚数部は、${\displaystyle i_{th}}$ 列と${\displaystyle k_{th}}$ コラムと$\displaystyle \theta _{ik}}$電圧角度の差は${\displaystyle i_{th}}$ そして${\displaystyle k_{th}}$ バス（${\displaystyle \theta _{ik}=\theta _{i}-\theta _{k}}$無効電力バランス方程式は次のとおりです。

$${\displaystyle 0=-Q_{i}+\sum _{k=1}^{N}|V_{i}||V_{k}|(G_{ik}\sin \theta _{ik}-B_{ik}\cos \theta _{ik})}$$

どこ${\displaystyle Q_{i}}$は母線iに注入される正味無効電力です。

含まれる方程式は、各負荷母線における実電力と無効電力のバランス方程式、および各発電機母線における実電力のバランス方程式です。発電機母線については、注入される正味無効電力が未知であると想定されるため、実電力のバランス方程式のみを記述しています。無効電力のバランス方程式を含めると、未知の変数がさらに増えてしまうためです。同様の理由で、スラック母線についても方程式は記述されていません。

多くの送電システムでは、電力ネットワーク線のインピーダンスは主に誘導性であり、つまり、電力線インピーダンスの位相角は通常比較的大きく、90度に非常に近い。そのため、実電力と電圧角、および無効電力と電圧の大きさの間には強い結合があるが、実電力と電圧の大きさ、および無効電力と電圧角の間の結合は弱い。結果として、実電力は通常、電圧角が大きい母線から電圧角が小さい母線に送電され、無効電力は通常、電圧の大きさが大きい母線から電圧の大きさが小さい母線に送電される。しかし、この近似は、電力線インピーダンスの位相角が比較的小さい場合には成り立たない。^{[ 5 ]}

結果として得られる非線形方程式系を解くには、いくつかの異なる方法があります。最も一般的なのは、ニュートン・ラフソン法の変形です。ニュートン・ラフソン法は反復法であり、まずすべての未知変数（負荷母線における電圧の大きさと位相角、および発電機母線における電圧位相角）の初期推定値から始めます。次に、方程式系に含まれる各電力バランス方程式について、高次の項を無視したテイラー級数を作成します。その結果、次のように表せる線形方程式系が得られます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta \theta \\\Delta |V|\end{bmatrix}}=-J^{-1}{\begin{bmatrix}\Delta P\\\Delta Q\end{bmatrix}}}$$

どこ${\displaystyle \Delta P}$そして${\displaystyle \Delta Q}$これらは不一致方程式と呼ばれます。

$${\displaystyle \Delta P_{i}=-P_{i}+\sum _{k=1}^{N}|V_{i}||V_{k}|(G_{ik}\cos \theta _{ik}+B_{ik}\sin \theta _{ik})}$$$${\displaystyle \Delta Q_{i}=-Q_{i}+\sum _{k=1}^{N}|V_{i}||V_{k}|(G_{ik}\sin \theta _{ik}-B_{ik}\cos \theta _{ik})}$$

そして${\displaystyle J}$これはヤコビ行列として知られる偏微分行列です。 ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \Delta P}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial \Delta P}{\partial |V|}}\\{\dfrac {\partial \Delta Q}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial \Delta Q}{\partial |V|}}\end{bmatrix}}}$。

線形化された連立方程式を解いて、電圧の大きさと角度の次の推定値（m + 1）を以下に基づいて決定します。

$${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+\Delta \theta \,}$$$${\displaystyle |V|_{m+1}=|V|_{m}+\Delta |V|\,}$$

このプロセスは、停止条件が満たされるまで継続されます。一般的な停止条件としては、不一致方程式のノルムが指定された許容値以下になった場合に終了するというものがあります。

電力潮流問題の解法の概略は以下のとおりです。

1. 未知の電圧の大きさと角度をすべて初期値として推定します。一般的には、すべての電圧角度をゼロに、すべての電圧の大きさを1.0 puに設定する「フラットスタート」を使用します。
2. 最新の電圧位相角と電圧振幅の値を用いて、電力バランス方程式を解いてください。
3. 最新の電圧角度と振幅値に基づいてシステムを線形化する
4. 電圧の角度と大きさの変化を解く
5. 電圧の大きさと角度を更新します
6. 停止条件を確認し、条件を満たしている場合は終了し、そうでない場合はステップ2に進みます。

• ガウス・ザイデル法：これは最も初期に考案された方法です。他の反復法に比べて収束速度は遅いものの、使用するメモリ量が非常に少なく、行列システムを解く必要もありません。
• 高速分離負荷潮流計算法は、ニュートン・ラフソン法の変形であり、良好な電力ネットワークにおける有効潮流と無効潮流の近似的な分離を利用し、さらに、コストのかかる行列分解を回避するために反復中にヤコビアン行列の値を固定します。「固定傾斜分離NR」とも呼ばれます。このアルゴリズムでは、ヤコビアン行列は一度だけ反転され、3つの仮定があります。1つ目は、母線間のコンダクタンスがゼロであること。2つ目は、母線電圧の大きさが1パーユニットであること。3つ目は、母線間の位相の正弦がゼロであること。高速分離負荷潮流計算法は、ニュートン・ラフソン法よりもはるかに長い時間を要するのに対し、数秒以内に結果を返すことができます。これは、電力系統のリアルタイム管理に役立ちます。^{[ 6 ]}
• 正則埋め込み潮流計算法：複素解析の高度な技術に基づいた、近年開発された手法。直接的な手法であり、潮流方程式に存在する複数の解の中から、正しい（有効な）分岐を確実に計算できる。
• 後方前方掃引 (BFS) 法: 最新の配電網の放射状構造を利用するために開発された手法です。初期電圧プロファイルを選択し、グリッドコンポーネントの元の連立方程式を 2 つの別々のシステムに分割し、収束が達成されるまで、一方の最後の結果を使用して他方を解きます。与えられた電圧で電流を解くことを後方掃引 (BS) と呼び、与えられた電流で電圧を解くことを前方掃引 (FS) と呼びます。^{[ 7 ]}
• ローラン電力潮流 (LPF) 法: 配電システムの解の一意性と初期条件への独立性を保証する電力潮流定式化。LPF は電流注入法 (CIM) に基づいており、ローラン級数展開を適用します。この定式化の主な特徴は、数値収束性と安定性が実証されていること、および平衡ネットワークと不平衡ネットワークの両方で BFS 法よりも少なくとも 10 倍高速であることが実証されている計算上の利点です。^{[ 8 ]}システムのアドミタンス行列に基づいているため、この定式化は、追加の変更なしに放射状およびメッシュ状のネットワーク トポロジーを考慮することができます (補償ベースの BFS ^{[ 9 ]}とは対照的)。LPF 法のシンプルさと計算効率により、時系列分析、メタヒューリスティクス、確率分析、電力システムに適用される強化学習、およびその他の関連アプリケーションで遭遇するような再帰的な電力潮流問題にとって魅力的な選択肢となっています。