リチャーズ方程式

リチャーズ方程式は不飽和土壌中の水の動きを表し、1931年に発表されたロレンゾ・A・リチャーズによるものです。 ^[1]これは準線型 偏微分方程式であり、その解析解は特定の初期条件と境界条件に限定されることが多いです。^[2]解の存在と一意性の証明は、1983年にアルトとラックハウスによってのみ与えられました。^[3]この方程式は、次のように述べられる、可変飽和条件下での多孔質媒体中の流れを表す ダルシー・バッキンガムの法則^{[1]に基づいています。}

${\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),}$

どこ

${\displaystyle {\vec {q}}}$は体積流束です 。

${\displaystyle \theta}$体積水分含有量です 。

${\displaystyle h}$は液体の圧力水頭であり、不飽和多孔質媒体の場合は負の値になります。

${\displaystyle \mathbf {K} (h)}$不飽和透水係数です。

${\displaystyle \nabla z}$は測地水頭勾配であり、3次元問題の場合と同様に仮定されます。${\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$

非圧縮性多孔質媒体と一定の液体密度に対する 質量保存則を考慮すると、

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0}$、

どこ

${\displaystyle S}$はシンク項[T ]であり、典型的には根からの水分吸収である。^[4]${\displaystyle ^{-1}}$

次に、フラックスをダルシー・バッキンガムの法則に代入すると、次の混合形式のリチャーズ方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}$。

1次元浸透のモデル化では、この発散形は次のように簡約される。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}$。

この式はLAリチャーズに帰属するが、もともとは9年前の1922年にルイス・フライ・リチャードソンによって導入された。 ^{[5] [6]}

リチャーズ方程式は、大気と帯水層の間の不飽和帯の流れを記述するため、環境文献の多くの記事に登場します。また、この方程式は、非自明な解を持つため、純粋数学の雑誌にも登場します。上記の混合定式化には、2 つの未知変数、およびが含まれます。これは、保水曲線として知られる構成関係 を考慮することで簡単に解決できます。連鎖律を適用すると、リチャーズ方程式は、 - 形式 (水頭ベース) または- 形式 (飽和ベース) のリチャーズ方程式として再定式化できます。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta (h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta}$

時間微分に 連鎖律を適用すると、

${\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}}$、

ここで は 保水容量と呼ばれます。この式は次のように表されます。 ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}$${\displaystyle C(h)}$

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}$。

頭部ベースのリチャーズ方程式は、次のような計算上の問題を起こしやすい: 暗黙のRothe法を使用した離散化された時間微分は、次のような近似値を生成する:

${\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}$

この近似は数値解の質量保存に影響を与える誤差を生じさせるため、時間微分処理のための特別な戦略が必要となる。^[7]${\displaystyle \epsilon }$

空間微分に 連鎖律を適用すると、

${\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \シータ、}$

ここで、 は土壌水分拡散係数 として知られ、とさらに定式化される。この式は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}$${\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}$

飽和に基づくリチャーズ方程式は、次のような計算上の問題を抱えやすい。限界はおよび（ は飽和（最大）水分含有量、 は残留（最小）水分含有量）であるため、数値解が成功するのは、完全飽和（飽和は空気侵入値よりもさらに低くなければならない）以下の満足できる水分含有量の範囲と、残留水分含有量以上の満足できる範囲に限定される。^[8]${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \theta _{s}}$${\displaystyle \theta_{r}}$

リチャーズ方程式は、その形式を問わず、土壌水理特性、つまり土壌の種類を表す 5 つのパラメータのセットを含みます。土壌水理特性は、通常、ファン・ゲヌヒテンによる水分保持曲線パラメータで構成されます: ^[9] ( )、ここで、は空気侵入値 [L ⁻¹ ]の逆数、は細孔径分布パラメータ [-] であり、通常は と仮定されます 。さらに、飽和透水係数(非等方性環境では2 次テンソル) も提供する必要があります。これらのパラメータの特定は多くの場合簡単ではなく、数十年にわたって多数の出版物の主題となってきました。^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]}${\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \mathbf {K} _{s}}$

リチャーズ方程式の数値解は、地球科学における最も困難な問題の 1 つです。^[16]リチャーズ方程式は、計算コストが高く、予測不可能であると批判されてきました^{[17] [18]。}これは、特定の土壌構成関係に対してソルバーが収束するという保証がないためです。この障害を克服するには、高度な計算およびソフトウェア ソリューションが必要です。この方法は、毛細管現象の役割を過度に強調しすぎていることや^[19]、ある意味で「過度に単純化されている」ことなどについても批判されてきました^[20]。 乾燥土壌への降雨浸透の 1 次元シミュレーションでは、地表付近で 1 cm 未満の細かい空間離散化が必要です^[21] 。これは、多孔質媒体内の多相流の代表的な基本体積が小さいためです。3 次元アプリケーションでは、リチャーズ方程式の数値解はアスペクト比の制約を受け、解領域の水平解像度と垂直解像度の比は約 7 未満である必要があります。^[要出典]

• 浸透（水文学）
• 水分保持曲線
• 有限含水率不飽和帯流法
• 土壌水分速度方程式