リエナール方程式

数学、特に力学系と微分方程式の研究において、リエナール方程式^{[ 1 ]}は、フランスの物理学者アルフレッド＝マリー・リエナールにちなんで名付けられた2階常微分方程式の一種である。

ラジオや真空管技術の開発中、リエナール方程式は発振回路のモデル化に使用できるため、集中的に研究されました。リエナールの定理は、特定の追加仮定の下で、そのようなシステムのリミットサイクルの一意性と存在を保証します。区分的線形関数を持つリエナールシステムは、ホモクリニック軌道も含むことができます。^{[ 2 ]}

fとgを、上の連続微分可能な2つの関数とする。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$fは偶関数、 gは奇関数である。このとき、次の形式の2 階常微分方程式が得られる。$$\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$これはリエナール方程式と呼ばれる。^{[ 3 ]}

この方程式は、等価な2次元常微分方程式系に変換できる。

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

それから

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

これはリエナールシステムと呼ばれます。

あるいは、リエナール方程式自体も自律微分方程式であるため、置換${\displaystyle v={dx \over dt}}$リエナール方程式は、1階微分方程式となる。

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

これは第2種アーベル方程式である。^{[ 4 ] [ 5 ]}

ファンデルポール発振器

$\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

これはリエナール方程式である。ファンデルポール振動子の解はリミットサイクルを持つ。このようなサイクルは負のリエナール方程式の解を持つ。${\displaystyle f(x)}$小さい${\displaystyle |x|}$そして肯定的${\displaystyle f(x)}$それ以外の場合。ファンデルポール方程式は一般に厳密な解析解を持たない。リミットサイクルのそのような解は、次の場合には存在する。${\displaystyle f(x)}$は定数の区分的関数である。^{[ 6 ]}

リエナール系は、以下の追加特性を満たす場合、原点を囲む一意かつ安定なリミットサイクルを持つ。 ^{[ 7 ]}

• すべてのx > 0 に対してg ( x ) > 0が成り立つ。
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty$ ;}
• F ( x )は、ある値pにおいて正の根をちょうど1つ持ち、0 < x < pではF ( x ) < 0 、x > pではF ( x ) > 0であり、単調である。

• ビリュコフ方程式

• 「リエナール方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• PlanetMathのLienardSystem 。