統合因子

積分因子は、次の形式で表せる常微分方程式を解くのに役立ちます。

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

基本的な考え方は、例えば何らかの関数を見つけることです。${\displaystyle M(x)}$これは「積分因子」と呼ばれ、微分方程式に掛けることで左辺を共通導関数の下にまとめることができます。上記の標準的な1階線形微分方程式の場合、積分因子は次のようになります。${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}}$。

任意定数を積分に含める必要はないこと、または積分が${\displaystyle P(x)}$対数が含まれます。まず、方程式を解くには、すべての可能な積分因子ではなく、1つの積分因子だけで十分です。次に、そのような定数と絶対値は、含めたとしても相殺されます。絶対値については、次のように書くとわかります。${\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は符号関数を指し、ある区間では定数になります。${\displaystyle f(x)}$は連続です。${\displaystyle \ln |f(x)|}$未定義の場合${\displaystyle f(x)=0}$また、原始関数に対数が含まれるのは、元の関数に対数または逆数が含まれる場合のみであり（どちらも 0 に対しては定義されない）、そのような区間が我々の解の有効区間となる。

これを導出するには、${\displaystyle M(x)}$は、1 階線形微分方程式の積分因子であり、 を乗じると${\displaystyle M(x)}$非積分式を積分可能な導関数に変換すると、次のようになります。

1. ${\displaystyle M(x){\underset {\text{非積分式}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}}$
2. ${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}$
3. $\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{積分可能な導関数}}}$

ステップ2からステップ3に進むには、${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$これは変数分離型微分方程式であり、その解は${\displaystyle M(x)}$に関しては${\displaystyle P(x)}$:

4. ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$
5. ${\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}$
6. ${\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}$
7. ${\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}}$

確認するには、${\displaystyle M(x)}$与える

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}$

積の法則を逆向きに適用すると、左辺は単一の導関数として表すことができることがわかります。${\displaystyle x}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)}$

この事実を利用して、式を簡略化します。

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}$

両辺を統合して${\displaystyle x}$

${\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}$

${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}$

どこ${\displaystyle C}$定数です。

指数関数を右辺に移項すると、常微分方程式の一般解は次のようになります。

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}}$

同次微分方程式の場合、${\displaystyle Q(x)=0}$そして、常微分方程式の一般解は次のようになります。

${\displaystyle y=Ce^{-\int P(x)\,dx}}$。

例えば、微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

この場合、${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

両辺に${\displaystyle M(x)}$我々は得る

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

上記の式は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0}$

両辺を x に関して積分すると、

${\displaystyle x^{-2}y=C}$

または

${\displaystyle y=Cx^{2}}$

以下の方法を用いることで、同様の結果が得られる可能性がある。

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

商の法則を逆にすると

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

または

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C,}$

または

${\displaystyle y=Cx^{2}.}$

どこ${\displaystyle C}$定数です。

1階方程式の積分因子法は、2階方程式にも自然に拡張できる。1階方程式を解く際の主な目的は、積分因子を見つけることであった。${\displaystyle M(x)}$乗算すると${\displaystyle y'+p(x)y=h(x)}$それによって得られる${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)h(x)}$その後、${\displaystyle M(x)}$収穫する${\displaystyle y}$2階線形微分方程式の場合、${\displaystyle M(x)=e^{\int p(x)\,dx}}$統合因子として機能し、

${\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}$

これは、2階方程式が正確に次の形式である必要があることを意味する。${\displaystyle y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)}$積分係数が使用可能となるように。

積分因子は任意の次数に拡張できますが、次数が上がるにつれて適用に必要な方程式の形式がますます具体的になり、3次以上の次数ではあまり役に立たなくなります。基本的な考え方は、関数を微分することです。${\displaystyle M(x)y}$${\displaystyle n}$の回数${\displaystyle n}$階微分方程式を解いて同類項をまとめます。これにより、次の形式の方程式が得られます。

${\displaystyle M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$

もし${\displaystyle n}$次方程式は、次の形式に一致する。${\displaystyle F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$微分後に得られる${\displaystyle n}$回、すべての項に積分因子を掛けて積分することができます。${\displaystyle h(x)M(x)}$${\displaystyle n}$両辺を積分因子で割って、最終結果を得る。