非可換環

数学において、非可換環とは、乗法が可換でない環、つまり、環内にaとb が存在し、 abとbaが異なる環のことです。同様に、非可換環とは、可換環ではない環のことです。

非可換代数は、可換環にも適用される性質を含む、非可換環の性質の研究に特化した 環論の一部です。

必ずしも可換ではない、したがって可換である可能性のある不特定の環を指すために、環の代わりに非可換環という用語が使用されることがあります。通常、これは、研究対象の特性が可換環に限定されないことを強調するためであり、多くの文脈で、環は可換環の省略形として使用されます。

著者によっては、環が乗法的単位元を持つことを想定していない人もいますが、この記事では特に断りがない限り、その想定をします。

非可換環の例をいくつか挙げます。

• 実数上のn行n列の行列の行列環（n > 1）
• ハミルトンの四元数
• アーベル群ではない群から構成される任意の群環

一般的には可換ではない環の例（ただし、単純な場合には可換となる場合がある）:

• 有限集合によって生成される自由環 。2つの等しくない要素の例である。${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• ワイル代数 は 、アフィン空間上で定義された多項式微分作用素の環である。例えば、は、イデアルが交換子に対応する。${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• 商環は量子平面と呼ばれ、${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$
• 任意のクリフォード代数は、代数表現を使用して明示的に記述できます。二次形式 を持つn次元の-ベクトル空間が与えられた場合、関連するクリフォード代数はの任意の基底に対して表現を持ちます。${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V}$
• 超代数は非可換環のもう一つの例であり、次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$
• 有限の非可換環が存在する。例えば、有限体上のn行n列の行列（ n > 1 ）などである。最小の非可換環は、体上の 2 つの元を持つ上三角行列の環である。この環は 8 つの元を持ち、8 つの元を持つすべての非可換環は、この環またはその逆の環と同型である。^[1]

幾何学から生じた除算環から始まり、非可換環の研究は現代代数学の主要分野にまで成長しました。非可換環の理論と解説は、19 世紀と 20 世紀に多数の著者によって拡張され、洗練されました。そのような貢献者の不完全なリストには、E. Artin、Richard Brauer、PM Cohn、WR Hamilton、IN Herstein、N. Jacobson、K. Morita、E. Noether、Ø. Ore、J. Wedderburnなどが含まれます。

科学的に興味深い非可換環は可換環よりも複雑なので、その構造、特性、動作はあまりよく理解されていない。可換環から非可換環へのいくつかの結果を一般化する作業が数多く行われてきた。可換環と非可換環の主な違いは、右イデアルと左イデアルを別々に考慮する必要があることである。非可換環理論家は、これらのタイプのイデアルの 1 つに条件を強制する一方で、反対側にはその条件が成立することを要求しないのが一般的である。可換環の場合、左と右の区別は存在しない。

分割環はスキュー体とも呼ばれ、分割が可能な環である。具体的には、すべての非零元a が乗法逆元、つまりa · x = x · a = 1となる元xを持つ非零環^[2]である。言い換えれば、環が分割環であるためには、その単位群がすべての非零元の集合となる必要がある。

除算環は、乗算が可換である必要がないという点のみで体と異なります。しかし、ウェダーバーンの小定理により、すべての有限除算環は可換であり、したがって有限体です。歴史的には、除算環は体と呼ばれることがあり、体は「可換体」と呼ばれていました。

単位元を持つ（必ずしも可換ではない）環上のモジュールは、それが単純（既約）なサブモジュール の直和である場合、半単純（または完全既約）であると言われます。

環が (左) 半単純であるとは、環がそれ自身の左加群として半単純であることを意味します。驚くべきことに、左半単純な環は右半単純でもあり、その逆も同様です。したがって、左/右の区別は不要です。

半原始環、ヤコブソン半単純環、J 半単純環は、ヤコブソン根号が 0 である環です。これは、半単純環よりも一般的なタイプの環ですが、単純なモジュールによっても環に関する十分な情報が提供されます。整数環などの環は半原始であり、アルティン半原始環は単なる半単純環です。半原始環は、ヤコブソンの密度定理によって記述される原始環の部分直積として理解できます。

単純環は、零イデアルとそれ自身以外に両側イデアルを持たない零でない環である。単純環は常に単純代数とみなすことができる。環としては単純だが加群としては単純でない環も存在する。体上の完全な行列環には非自明なイデアルはないが（M( n , R )の任意のイデアルはM( n , I )の形をとり、 IはRのイデアルであるため）、非自明な左イデアル（つまり、いくつかの固定された零列を持つ行列の集合）は存在する。

アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、左または右アルティンであるすべての単純環は、除算環上の行列環です。特に、実数上の有限次元ベクトル空間である唯一の単純環は、実数、複素数、または四元数上の行列環です。

環を極大イデアルで割ったものは単純環である。特に、体は単純環である。環Rが単純であるのは、その反対の環 R ^oが単純である場合に限る。

分割環上の行列環ではない単純環の例としては、ワイル代数が挙げられる。

ウェダーバーンの小定理は、すべての有限 領域は体であると述べています。言い換えると、有限環については、領域、分割環、体 の間に区別はありません。

アルティン・ツォルンの定理は、定理を交代環に一般化したものであり、すべての有限単純交代環は体である。^[3]

アルティン・ウェダーバーンの定理は、半単純環と半単純代数の分類定理である。定理は、（アルティンの）^[4]半単純環Rは、指数iの順列を除いて一意に決まる整数n _iに対して、有限個のn _i行n _i列の行列環の分環D i 上の積に同型_であることを述べている。特に、任意の単純な左または右アルティン環は、分環D上のn行n列の行列環に同型であり、ここでnとDは両方とも一意に決まる。^[5]

直接の帰結として、アルティン・ウェダーバーンの定理は、分数環（単純代数）上の有限次元のすべての単純環は行列環であることを意味します。これはジョセフ・ウェダーバーンの元の結果です。 エミール・アルティンは後にこれをアルティン環の場合に一般化しました。

ヤコブソン密度定理は環R上の単純加群に関する定理である。^[6]

この定理は、任意の原始環がベクトル空間の線型変換環の「稠密な」部分環として見ることができることを示すために適用できます。 ^{[7] [8]この定理は、1945年に}ネイサン・ジェイコブソンの有名な論文「有限性仮定のない単純環の構造理論」で初めて文献に登場しました。^{[9]これは、}単純なアルティン環の構造に関するアルティン-ウェダーバーン定理の結論の一種の一般化として見ることができます。

より正式には、この定理は次のように述べることができます。

ヤコブソンの密度定理。Uを単純右R加群、D = End( U _R )、X ⊂ Uを有限かつD線型独立集合とする。AがU上のD線型変換であれば、 X内のすべてのxに対してA ( x ) = x · rとなるr ∈ Rが存在する。^[10]

J( R ) をRのヤコブソン根号とする。U が環R上の右加群で、I がRの右イデアルである場合、U · I をu · i の形式の元のすべての（有限）和の集合と定義する。ここで· は単にRのUへの作用である。必然的に、U · IはUのサブ加群である。

V がUの極大部分加群であれば、U / Vは単純である。したがって、 J( R )の定義とU / Vが単純であるという事実により、 U ·J( R ) は必然的にVの部分集合となる。^[11]したがって、U が少なくとも 1 つの (適切な) 極大部分加群を含む場合、U ·J( R ) はUの適切な部分加群である。しかし、これはR上の任意の加群Uに対して成立する必要はない。なぜなら、U は極大部分加群を含む必要がないからである。 ^[12]当然、U がノイザン加群であれば、これは成立する。Rがノイザンであり、Uが有限生成であれば、UはR上のノイザン加群であり、結論は満たされる。^[13]いくぶん注目すべきは、より弱い仮定、すなわち、UがR加群として有限生成であること (およびRに対する有限性仮定なし) が結​​論を保証するのに十分であるということである。これは本質的に中山の補題の主張である。^[14]

具体的には、次のようになります。

中山の補題：Uを環R上の有限生成右加群とする。Uが非零加群ならば、 U · J( R )はUの真部分加群である。^[14]

この補題のバージョンは非可換ユニタリ環 R上の右加群に対しても成り立つ。結果として得られる定理はヤコブソン・アズマヤ定理と呼ばれることもある。^[15]

局所化は、環に乗法的逆元を追加する体系的な方法であり、通常は可換環に適用されます。環Rと部分集合Sが与えられたとき、Sの像がR * の単位(可逆な元)で構成されるような、環R *とRからR *への環準同型を構築する必要があります。さらに、R * がこれを行うための「最善の」または「最も一般的な」方法であることが望まれます。通常の方法では、これは普遍的性質によって表現される必要があります。 SによるRの局所化は、通常、 S  ⁻¹ Rと表されますが、重要な特殊な場合には他の表記法が使用されます。Sが整域の非ゼロ元の集合である場合、局所化は分数の体であるため、通常は Frac( R ) と表されます。

非可換環の局所化はより困難です。局所化は、すべての候補単位の集合Sに対して存在するわけではありません。局所化が存在することを保証する 1 つの条件は、 Ore 条件です。

非可換環において局所化が明らかに興味深いケースの 1 つは、微分作用素の環の場合です。局所化には、たとえば、微分作用素Dの形式的な逆関数D ^{−1を付加するという解釈があります。これは、}微分方程式の手法の多くのコンテキストで行われます。現在、これに関する大規模な数学理論があり、ミクロ局所化と呼ばれ、他の多くの分野と関連しています。ミクロというタグは、特に フーリエ理論との関連に関係しています。

森田同値性は、多くの環理論的特性を保持する環間で定義される関係です。1958 年に同値性と双対性の類似概念を定義した日本の数学者、森田喜一にちなんで名付けられました。

2 つの環RとS (結合的、1 を伴う)は、R上の (左) 加群のカテゴリ、R-Modと、 S上の (左) 加群のカテゴリ、S-Modの同値が存在する場合、(森田) 同値であるといわれます。左加群カテゴリR-ModとS- Mod が同値であるのは、右加群カテゴリMod-RとMod-Sが同値である場合に限ります。さらに、同値となるR-ModからS-Modへの任意の関数は自動的に加法であることが示されます。

体 Kの Brauer 群は、その要素がK上の有限ランクの中心単純代数のMorita 同値類であり、代数のテンソル積によって加法が誘導されるアーベル群です。これは、体上の除算代数を分類する試みから生まれ、代数学者Richard Brauerにちなんで名付けられました。この群は、ガロアコホモロジーによって定義されることもあります。より一般的には、スキームの Brauer 群は、東谷代数によって定義されます。

オーレ条件は、分数体の構成を可換環を超えて拡張する問題、またはより一般的には環の局所化に関連して、オイステイン・オーレによって導入された条件である。環Rの乗法部分集合Sの右オーレ条件は、 a ∈ Rおよびs ∈ Sに対して、共通部分aS ∩ sR ≠ ∅ となることである。^[16]右オーレ条件を満たす領域は右オーレ領域と呼ばれる。左の場合も同様に定義される。

数学において、ゴールディの定理は環論における基本的な構造的帰結であり、1950年代にアルフレッド・ゴールディによって証明された。現在、右ゴールディ環と呼ばれるものは、右加群として有限一様次元（ 「有限ランク」とも呼ばれる）を持ち、Rの部分集合の右消滅に対する昇順連鎖条件を満たす環Rである。

ゴールディの定理によれば、半素右ゴールディ環は、まさに半単純 アルティン右古典商環を持つ環である。この商環の構造は、アルティン・ウェダーバーン定理によって完全に決定される。

特に、ゴールディの定理は半素右ノイザン環に適用されます。これは、定義により右ノイザン環はすべての右イデアルに対して昇順連鎖条件を持つためです。これは、右ノイザン環が右ゴールディであることを保証するのに十分です。逆は成り立ちません。すべての右Ore 領域は右ゴールディ領域であり、したがってすべての可換整域も右ゴールディ領域です。

これも Goldie によるものですが、Goldie の定理の結果は、すべての半素主右イデアル環は、素主右イデアル環の有限直和に同型であるということです。すべての素主右イデアル環は、右 Ore 領域上の行列環に同型です。

• 導出代数幾何学
• 非可換幾何学
• 非可換代数幾何学
• 非可換調和解析
• 表現論（群論）

• アイザックス、I. マーティン(1993)、代数学、大学院課程(第 1 版)、ブルックス/コール、ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945)、「有限性仮定のない単純環の構造理論」、アメリカ数学会誌、57 : 228–245、doi : 10.2307/1990204、JSTOR  1990204
• 永田 正之(1962) 「Local Rings」、Wiley-Interscience

• ハースタイン、IN (1968)、非可換環、アメリカ数学協会、ISBN 0-88385-015-X
• ラム、TY (2001)、非可換環入門、シュプリンガー・フェアラーク