鉱石の状態

数学、特に環論として知られる代数学の分野において、オーレ条件は、分数体の構成を可換環を超えて拡張する問題、またはより一般的には環の局所化に関連して、オイステイン・オーレによって導入された条件である。環Rの乗法部分集合Sの右オーレ条件は、 a ∈ Rおよびs ∈ Sに対して、交差aS ∩ sR ≠ ∅ となることである。非ゼロ元の集合が右オーレ条件を満たす（非可換）領域は、右オーレ領域と呼ばれる。左の場合も同様に定義される。^[1]

目標は、乗法部分集合Sに関して分数の右環R [ S ⁻¹ ] を構築することです。言い換えると、as ⁻¹の形式の元を扱い、集合R [ S ^{−1 ] 上に環構造を持たせたいのです。問題は、積 (} as ⁻¹ )( bt ⁻¹ )の明白な解釈がないことです。実際、 s ^{−1 を}b を越えて「移動」する方法が必要です。つまり、 s ⁻¹ b を積b ₁ s ₁ ⁻¹として書き直す必要があります。^[2] s ⁻¹ b = b ₁ s ₁ ⁻¹ とすると、左側にsを、右側にs _{1 を}乗じると、bs ₁ = sb ₁となります。したがって、与えられたaとsに対して、 s ₁ ≠ 0かつ₁ = sa ₁となるa ₁およびs ₁が存在する必要性が分かります。

各整域は、（埋め込みを介して）分数体の部分環であり、すべての要素がs がゼロでない形式rs ⁻¹であるということはよく知られているため、同じ構成で非可換領域を取り、同じ特性を持つ分割環（非可換体）を関連付けることができるかどうかを尋ねるのは自然なことです。答えは「いいえ」である場合があります。つまり、類似の「分数の右分割環」を持たない領域が存在するということです。

任意の右 Ore 領域Rに対して、 R を部分環として含む唯一の（自然なR同型を除いて）分割環Dが存在し、 Dのすべての元は、 rがRに、s がRに非ゼロであるときにrs ⁻¹の形になります。このような分割環D はRの右分数の環と呼ばれ、R はDの右順序と呼ばれます。左分数の環と左順序の概念は同様に定義され、Dの元はs ⁻¹ r の形になります。

RがDの右順序であるという定義には、D がrs ⁻¹形式の要素のみで構成されなければならないという条件が含まれることを覚えておくことが重要です。Ore 条件の 1 つを満たすドメインは、分割環の部分環と見なすことができますが、これは自動的にRがDの左順序であることを意味するわけではありません。これは、 D がs ⁻¹ r形式ではない要素を持つ可能性があるからです。したがって、 Rが右非左 Ore ドメインである可能性があります。直感的には、 Dのすべての要素がrs ⁻¹形式であるという条件は、R がDの「大きな」Rサブモジュールであることを意味します。実際、この条件は、R _RがD _Rの必須サブモジュールであることを保証します。最後に、分割環内のドメインで、どちらのOre 条件も満たさない例さえあります (以下の例を参照) 。

もう一つの自然な疑問は、「分割環の部分環が右 Ore となるのはいつですか?」です。1 つの特徴付けは、分割環Dの部分環Rが右 Ore 領域となるのは、 D が平坦な左R加群である場合のみであるということです(Lam 2007、例 10.20)。

Rがドメインでない場合、Oreの条件の異なる、より強力なバージョンが通常与えられます。つまり、Rの公倍数が存在するということです。

c = au = bv

u、v は零因子ではありません。この場合、オーレの定理は、（右または左の）古典的な商の環と呼ばれる過剰環の存在を保証します。

可換領域は自動的に Ore 領域になります。これは、 aとbが非ゼロの場合、aR ∩ bRでab が非ゼロになるためです。右主イデアル領域などの右ノイザン領域も、右 Ore 領域であることが知られています。さらに一般的には、アルフレッド ゴールディは、領域Rが右 Ore であるための必要条件として、R _{R が}有限の均一次元を持つことを証明しました。右ベズー領域が右 Ore である ことも真です。

右でも左でもない分割環の部分域 Ore: F が任意の体であり、2 つのシンボルxとy上の自由モノイドである場合、モノイド環はOre 条件を満たしませんが、自由イデアル環であり、したがって分割環の部分環になります (Cohn 1995、Cor 4.5.9)。 ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$ ${\displaystyle F[G]\,}$

オーレ条件は他の乗法部分集合に一般化することができ、(Lam 1999、§10) および (Lam 2007、§10) で教科書的に示されています。環Rの部分集合Sは、 R内のすべてのa、bおよびS内のすべてのs、tに対して次の 3 つの条件を満たす場合、右分母集合と呼ばれます。

1. Sのst ; (集合Sは乗法的に閉じている。)
2. aS ∩ sR は空ではありません。(集合Sは右置換可能です。)
3. sa = 0の場合、Sにはau = 0となるuが存在します。(集合Sは右可逆です。)

S が右分母集合である場合、可換の場合と同様に右分数環 RS ^{−1を構築できます。S}が正規の元 ( Rのbが非ゼロであればabとbaが非ゼロになるようなRの元a ) の集合であるとすると、右 Ore 条件は単にSが右分母集合であるという要件になります。

このより一般的な設定では、可換局所化の多くの特性が成り立ちます。Sが環Rの右分母集合である場合、左RモジュールRS ^−1は平坦です。さらに、M が右Rモジュールである場合、S捩れtor _S ( M ) = { m in M  : ms = 0 for some s in S } は、Tor ₁ ( M , RS ⁻¹ )と同型なRサブモジュールであり、モジュールM ⊗ _R RS ⁻¹は、可換の場合のように「分数」からなる モジュールMS ^{−1と自然に同型です。}

• コーン、PM（1991）、代数学、第3巻（第2版）、チチェスター：ジョン・ワイリー＆サンズ、pp. xii+474、ISBN 0-471-92840-2、MR  1098018、Zbl  0719.00002
• Cohn, PM (1961)、「歪んだフィールドへのリングの埋め込みについて」、Proc. London Math. Soc.、11 : 511–530、doi :10.1112/plms/s3-11.1.511、MR  0136632、Zbl  0104.03203
• コーン、PM（1995）、スキュー体、一般除算環の理論、数学とその応用百科事典、第57巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-43217-0、ZBL  0840.16001
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、Zbl  0911.16001
• ラム、ツィット・ユエン（2007）、モジュールと環の演習、数学の問題集、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98850-4、MR  2278849、Zbl  1121.16001
• ステンストローム、ボー（1971）、環と商の加群、数学講義ノート、第237巻、ベルリン：シュプリンガー出版社、pp. vii+136、doi：10.1007/BFb0059904、ISBN 978-3-540-05690-4、MR  0325663、Zbl  0229.16003

• 鉱石の状態に関する PlanetMath ページ
• オレの定理に関する PlanetMath のページ
• 古典的な商環に関する PlanetMath のページ