最大の理想

数学、より具体的には環論において、極大イデアルとは、すべての適切なイデアルの中で（集合の包含に関して）最大のイデアルである。^{[1] [2]}言い換えれば、IとRの間に他のイデアルが含まれていない場合、I は環Rの極大イデアルである。

極大イデアルが重要なのは、環を極大イデアルで割った商が単純環であり、単位 可換環の特別な場合にはそれらが体でもあるためです。

非可換環論では、極大右イデアルは、真右イデアルの半集合における極大元として類推的に定義され、同様に、極大左イデアルは、真左イデアルの半集合における極大元として定義される。片側極大イデアルA は必ずしも両側イデアルではないため、商R / A は必ずしも環ではないが、R上の単純加群である。R が唯一の極大右イデアルを持つ場合、R は局所環と呼ばれ、極大右イデアルは、環の唯一の極大左イデアルかつ唯一の極大両側イデアルでもあり、実際はヤコブソン根基J( R ) である。

環が唯一の最大両側イデアルを持ち、唯一の最大片側イデアルを持たないことは可能です。たとえば、体上の2 行 2列の正方行列の環では、ゼロイデアルは最大両側イデアルですが、最大右イデアルは多数存在します。

極大片側イデアルと極大両側イデアルの定義を表現する他の同等の方法があります。環RとRの適切なイデアルI (つまりI ≠ R ) が与えられたとき、次の同等の条件のいずれかが成り立つ場合 、 I はRの極大イデアルです。

• I ⊊ JとなるようなRの他の適切なイデアルJ は存在しません。
• I ⊆ J を満たす任意のイデアルJに対して、J = IまたはJ = Rのいずれかです。
• 商環R / Iは単純環です。

片側イデアルについても同様の表がありますが、右側のバージョンのみが示されています。環Rの右イデアルAの場合、次の条件はA がRの最大右イデアルであることと同値です。

• A ⊊ BとなるようなRの他の適切な右イデアルB は存在しません。
• A ⊆ Bを満たす任意の右イデアルBに対して、B = AまたはB = Rのいずれかです。
• 商加群R / Aは単純な右R加群です。

最大の右/左/両側の理想は、最小の理想の双対概念です。

• Fが体の場合、唯一の最大イデアルは {0} です。
• 整数環Zにおいて、最大イデアルは素数によって生成される主イデアルです。
• より一般的には、すべての非ゼロの素イデアルは主イデアル領域において最大です。
• イデアルは、環 における極大イデアルです。一般に、 の極大イデアルはという形式をとります。ここで、は素数であり、は を法として既約なにおける多項式です。${\displaystyle (2,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle (p,f(x))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle p}$
• すべての素イデアルはブール環、つまりべき等元のみからなる環における極大イデアルです。実際、任意の に対して となる整数が存在するときはいつでも、すべての素イデアルは可換環において極大です。${\displaystyle R}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle x^{n}=x}$${\displaystyle x\in R}$
• 多項式環 の極大イデアルは、ある に対してによって生成される主イデアルです。${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$${\displaystyle xc}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$
• より一般的には、代数閉体K上の多項式環K [ x ₁ , ..., x _n ]の極大イデアルは、 ( x ₁  −  a ₁ , ..., x _n  −  a _n )の形のイデアルです。この結果は、弱零点定理として知られています。

• ヤコブソン根基と呼ばれる環の重要なイデアルは、極大右イデアル (または極大左イデアル) を使用して定義できます。
• R がイデアルmを持つ単位可換環である場合、k = R / m が体となるのは、m が最大イデアルである場合に限ります。その場合、R / m は留数体として知られています。この事実は、非単位環では成り立たない場合があります。たとえば、は の最大イデアルですが、 は体ではありません。${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
• L が最大左イデアルであれば、 R / L は単純左R加群です。逆に、単位元を持つ環では、任意の単純左R加群がこのようにして生じます。ちなみに、これは単純左R加群の代表の集合が実際には集合であることを示しています。これは、 Rの最大左イデアルの集合の一部と対応させることができるためです。
• クルルの定理(1929): すべての非ゼロ単位環には最大イデアルがある。この結果は、「イデアル」を「右イデアル」または「左イデアル」に置き換えても真である。より一般的には、すべての非ゼロ有限生成モジュールには最大サブモジュールがあるというのは真である。IがRではないイデアルである(それぞれ、 AがRではない右イデアルである)。すると、 R / I は単位を持つ環である (それぞれ、 R / Aは有限生成モジュールである) ので、上記の定理を商に適用して、 I (それぞれ、 A )を含むRの最大イデアル (それぞれ、最大右イデアル) が存在すると結論付けることができる。
• クルルの定理は、単位のない環では成り立たないことがあります。根基環、つまりヤコブソン根基が環全体である環には単純な加群がないため、最大の右イデアルも左イデアルもありません。この問題を回避する方法については、正則イデアルを参照してください。
• 単位元を持つ可換環では、すべての極大イデアルは素イデアルです。逆は必ずしも真ではありません。たとえば、任意の非体整域では、零イデアルは極大ではない素イデアルです。素イデアルが極大である可換環は零次元環と呼ばれ、使用される次元はクルル次元です。
• 非可換環の極大イデアルは、可換な意味では素数ではない場合があります。たとえば、上のすべての行列の環を とします。この環は任意の素数 に対して極大イデアルを持ちますが、これは素イデアルではありません。なぜなら、( の場合)とは には属さず、 だからです。ただし、非可換環の極大イデアルは、以下の一般化された意味では素数です。${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$

R加群Aについて、Aの極大部分加群 Mは、他の任意の部分加群Nについて、M ⊆ N ⊆ AならばN = MまたはN = Aとなるという性質を満たす部分加群M ≠ Aである。同様に、商加群A / Mが単純加群である場合に限り、 Mは極大部分加群である。環Rの極大右イデアルは、加群R _Rの極大部分加群とまったく同じである。

単位元を持つ環とは異なり、非零モジュールは必ずしも最大サブモジュールを持つわけではありません。ただし、上で述べたように、有限生成の非零モジュールには最大サブモジュールがあり、射影モジュールにも最大サブモジュールがあります。

環と同様に、極大部分加群を使って加群の根基を定義できます。さらに、極大イデアルは、双加群Bの極大部分双加群 Mを、 Mの他のどの真部分双加群にも含まれないMの真部分双加群として定義することで一般化できます。R の極大イデアルは、双加群_R R R_の極大部分双加群とまったく同じです。

• 最高の理想

• アンダーソン、フランク W.; フラー、ケント R. (1992)、「環と加群のカテゴリ」、Graduate Texts in Mathematics、第 13 巻 (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. x+376、doi :10.1007/978-1-4612-4418-9、ISBN 0-387-97845-3、MR  1245487
• ラム、TY (2001)、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、vol. 131 (2 ed.)、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、doi :10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439