乗算を吸収する数学環の加法部分群
数学 、特に 環論 において 、 環 の イデアル は環の元の 特別な 部分集合である。イデアルは、 偶数 や 3 の倍数など、 整数 の特定の部分集合を一般化する。偶数の加算と減算は偶数性を維持し、偶数に任意の整数 (偶数または奇数) を乗じると偶数になる。これらの 閉包性 と吸収性は、イデアルを定義する性質である。イデアルは 、 群論で 正規部分群を使用して 商群を 構成する のと同様の方法で 商環を 構成するために使用できる。
整数のうち、イデアルは非負整数 と 1 対 1 で対応します 。つまり、この環では、すべてのイデアルは、単一の非負数の倍数からなる 主イデアル です。ただし、他の環では、イデアルは環の要素に直接対応しない可能性があり、整数の特定の特性は、環に一般化されると、環の要素よりもイデアルに自然に適用されます。たとえば、 環の 素イデアルは 素数 に類似しており、 中国剰余定理はイデアルに一般化できます。 デデキント域( 数論 で重要なタイプの環) のイデアルには、 一意の素因数分解 のバージョンがあります 。
順序理論 における イデアルという、関連しているが異なる概念は、環理論における イデアル の概念から派生したものです。 分数イデアルはイデアルの一般化であり、通常のイデアルは明確にするために 整イデアル と呼ばれることもあります 。
歴史 エルンスト・クンマーは、 一意因数分解が失敗する数環の「失われた」因数として機能する イデアル数 の概念を発明した。ここでの「イデアル」という言葉は、無限遠点などの幾何学における「イデアル」オブジェクトとの類似性で、想像の中にのみ存在するという意味である。 [1]
1876年、 リヒャルト・デデキントは、 ディリクレ の著書『 数論のための理論 』第3版で、クンマーの定義されていない概念を具体的な数の集合、彼がイデアルと呼んだ集合に置き換えた。この第3版には 、デデキントが多くの補足を加えた。 [1] [2] [3]その後、この概念は、 ダヴィド・ヒルベルト 、特に エミー・ネーター
によって、数環を超えて多項式環やその他の可換環の設定にまで拡張された 。
定義 環 R が与えられたとき 、 左イデアルとは、 R の 加法群 の 部分群で あり 、 「 の要素による 左からの乗算を吸収する」 もの である。つまり、 次の 2 つの条件を満たす場合、左イデアルである。
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
(
I
,
+
)
{\displaystyle (I,+)}
は の サブグループ であり 、
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
あらゆる について 、積は である 。 [4]
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
r
x
{\displaystyle rx}
I
{\displaystyle I}
言い換えれば、左イデアルは R の左 部分加群 であり、それ自身の 左加群 として考えることができる。 [5]
右イデアルも 同様 に定義されますが、条件は に置き換えられます 。 両側イデアルは、 左イデアルであり、右イデアルでもあります。
r
x
∈
I
{\displaystyle rx\in I}
x
r
∈
I
{\displaystyle xr\in I}
環が 可換で ある場合、3 つの定義は同じであり、単に イデアル について話すことになります。非可換の場合、「両側イデアル」の代わりに「イデアル」がよく使用されます。
I が左イデアル、右イデアル、または両側イデアルである場合、 関係
は
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
x
−
y
∈
I
{\displaystyle x-y\in I}
はR 上の 同値関係 であり 、 同値類の集合は I による R の 商 と呼ばれる 左加群、右加群、または双加群を形成します 。 [6] （これは 合同関係 の一例であり、 モジュラー算術 の一般化です 。）
R
/
I
{\displaystyle R/I}
イデアル I が2辺を持つ場合、 は環であり、 [7] 関数
R
/
I
{\displaystyle R/I}
R
→
R
/
I
{\displaystyle R\to R/I}
R の各元に その同値類を関連付ける 環準同型 は、そのイデアルを 核とする 全射 環準同型である。 [8] 逆に、環準同型の核は両側イデアルである。したがって、 両側イデアルは環準同型の核とまったく同じである。
慣例に関する注記 慣例により、環は乗法的単位元を持ちます。しかし、一部の著者は、環が乗法的単位元を持つことを要求しません。つまり、彼らにとって、環は rng です 。rng R に対して 、 左イデアル I は 、任意の および任意のに対して I に存在する 追加の性質を持つ部分環です 。(右イデアルと両側イデアルも同様に定義されます。) 環に対して、イデアル I (たとえば左イデアル) が部分環になることはめったにありません。部分環は周囲の環 R と同じ乗法的単位元を共有するため、 I が 部分環であれば、任意の に対して、 つまり 、 が成り立ちます 。
r
x
{\displaystyle rx}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
=
r
1
∈
I
;
{\displaystyle r=r1\in I;}
I
=
R
{\displaystyle I=R}
イデアルの概念には結合性は含まれません。したがって、イデアルは、 リー代数 などの 非結合環 （多くの場合、乗法単位元を持たない）に対しても定義されます。
例とプロパティ (簡潔にするために、一部の結果は左イデアルについてのみ述べられていますが、通常は適切な表記の変更により右イデアルにも当てはまります。)
環 R において、集合 R自体は R の両面イデアルを形成し、 単位イデアル と呼ばれます 。これは、 単位イデアル によって生成される両面イデアルとまったく同じであるため (下記参照) 、 と 表記されることもよくあります。また、加法単位元 0 R のみからなる集合は、 零イデアル と呼ばれる両面イデアルを形成し、 と表記されます 。 [注 1] すべての (左、右、両面) イデアルには零イデアルが含まれ、単位イデアルに含まれます。
(
1
)
{\displaystyle (1)}
1
R
{\displaystyle 1_{R}}
{
0
R
}
{\displaystyle \{0_{R}\}}
(
0
)
{\displaystyle (0)}
単位イデアルではない（左、右、または両側）イデアルは、 真イデアルと呼ばれます（ 真部分集合 であるため ）。 [10] 注：左イデアルが 真であるのは、単位元を含まない場合のみであり、 が 単位元である場合、任意の に対して となるからです 。通常、真イデアルは多数存在します。実際、 Rが 歪体 で ある場合 、 は その唯一のイデアルであり、逆もまた同様です。つまり、非零環 R は 、が唯一の左（または右）イデアルである 場合、歪体です。（証明： が非零元である場合、主左イデアル （下記参照）は非零であり、したがって です 。つまり、 何らかの非零 に対して となります。同様に、 何らかの非零に対して となります 。その場合 となります 。）
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
u
∈
a
{\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}
r
=
(
r
u
−
1
)
u
∈
a
{\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
(
0
)
,
(
1
)
{\displaystyle (0),(1)}
(
0
)
,
(
1
)
{\displaystyle (0),(1)}
x
{\displaystyle x}
R
x
{\displaystyle Rx}
R
x
=
(
1
)
{\displaystyle Rx=(1)}
y
x
=
1
{\displaystyle yx=1}
y
{\displaystyle y}
z
y
=
1
{\displaystyle zy=1}
z
{\displaystyle z}
z
=
z
(
y
x
)
=
(
z
y
)
x
=
x
{\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}
偶数 は すべての整数の環においてイデアルを形成します 。なぜなら、任意の 2 つの偶数の和は偶数であり、任意の整数と偶数の積も偶数だからです。このイデアルは通常 と表記されます。より一般的には、固定された整数で割り切れるすべての整数の集合は と 表記されるイデアルです 。実際、環のゼロ以外のすべてのイデアルは、 ユークリッド除算 の結果としてその最小の正の元によって生成され 、 主イデアル領域 も同様に生成されます 。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
2
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
n
Z
{\displaystyle n\mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
多項式で割り切れる実係数を持つすべての 多項式 の集合は 、すべての 実 係数多項式の環におけるイデアルです 。
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
R
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {R} [x]}
環 と正の整数 を取ります。各 に対して、 - 番目の行が 0 である 要素 を持つすべての 行列 の集合は、 に要素を持つ すべての行列の環において右イデアルです 。これは左イデアルではありません。同様に、各 に対して、 - 番目の 列 が 0 であるすべての行列 の集合は 左イデアルですが、右イデアルではありません。
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
R
{\displaystyle R}
i
{\displaystyle i}
M
n
(
R
)
{\displaystyle M_{n}(R)}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
R
{\displaystyle R}
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq j\leq n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
j
{\displaystyle j}
から へ の点 ごと の乗法による 連続関数 全体の 環には、 となる 連続関数全体のイデアルが含まれます 。 の別のイデアルは、十分に大きな引数に対して が消える関数、つまり、 となる ような 数が存在するような 連続関数によって与えられます 。
C
(
R
)
{\displaystyle C(\mathbb {R} )}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)=0}
C
(
R
)
{\displaystyle C(\mathbb {R} )}
f
{\displaystyle f}
L
>
0
{\displaystyle L>0}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
|
x
|
>
L
{\displaystyle \vert x\vert >L}
環が非零であり、 以外の両側イデアルを持たない場合、その環は 単純環 と呼ばれます。したがって、歪体は単純であり、単純可換環は体です。歪体上の 行列環は 単純環です。
(
0
)
,
(
1
)
{\displaystyle (0),(1)}
が環準同型 である 場合 、核は の両側イデアルです 。 定義により であり、したがって が 零環でない場合（したがって ）、 は 真イデアルです。より一般的には、 S の各左イデアル I に対して、逆像は左イデアルです。 I が R の左イデアルである 場合 、 は S の 部分環の左イデアルです。 f が全射でない 限り、 S のイデアルである必要はありません 。下の「イデアルの拡大と縮小」も参照してください。
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:R\to S}
ker
(
f
)
=
f
−
1
(
0
S
)
{\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}
R
{\displaystyle R}
f
(
1
R
)
=
1
S
{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}
S
{\displaystyle S}
1
S
≠
0
S
{\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}
ker
(
f
)
{\displaystyle \ker(f)}
f
−
1
(
I
)
{\displaystyle f^{-1}(I)}
f
(
I
)
{\displaystyle f(I)}
f
(
R
)
{\displaystyle f(R)}
f
(
I
)
{\displaystyle f(I)}
イデアル対応 : 射影環準同型
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:R\to S}
が与えられたとき、の核を含む の 左 (それぞれ右、両側) イデアル と の左 (それぞれ右、両側) イデアルの間には順序を保存する全単射対応が存在します。この対応は と逆像 によって与えられます 。さらに、可換環の場合、この全単射対応は素イデアル、極大イデアル、および根基イデアルに制限されます (これらのイデアルの定義については「イデアルの種類のセクション」を参照してください)。
R
{\displaystyle R}
f
{\displaystyle f}
S
{\displaystyle S}
I
↦
f
(
I
)
{\displaystyle I\mapsto f(I)}
J
↦
f
−
1
(
J
)
{\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}
(加群を知っている人向け) M が 左 R 加群で 部分集合である場合、 S の 消滅子は 左イデアルです。 可換環 R のイデアルが与えられた場合、 の R消滅子は R のイデアルであり、 に よる の イデアル商 と呼ばれ、 で表されます。これは可換代数の イデアル化子 のインスタンスです 。
S
⊂
M
{\displaystyle S\subset M}
Ann
R
(
S
)
=
{
r
∈
R
∣
r
s
=
0
,
s
∈
S
}
{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}
a
,
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}
(
b
+
a
)
/
a
{\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
(
a
:
b
)
{\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}
を環 Rの 左イデアルの 昇順チェーン とします 。 つまり、 は 全順序集合であり、 各 に対して です。このとき、和集合は R の左イデアルです。(注: この事実は、 R に 単位元 1 がない 場合でも当てはまります。)
a
i
,
i
∈
S
{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}
S
{\displaystyle S}
a
i
⊂
a
j
{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}
i
<
j
{\displaystyle i<j}
⋃
i
∈
S
a
i
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}
上記の事実と ゾルンの補題 を合わせると、次のことが証明されます。が 空の部分集合である可能性があり、が E と素な左イデアルである場合、 E を含み E と素な イデアルの中で最大のイデアルが存在します 。 (この場合も、環 R に 単位元 1 がない場合でも、これは有効です。) のとき 、 および を取ると、特に、適切な左イデアルの中で最大の左イデアルが存在します (単に最大左イデアルと呼ばれることが多い)。詳細については、 クルルの定理を 参照してください。
E
⊂
R
{\displaystyle E\subset R}
a
0
⊂
R
{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}
a
0
{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}
R
≠
0
{\displaystyle R\neq 0}
a
0
=
(
0
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}
E
=
{
1
}
{\displaystyle E=\{1\}}
イデアルの任意の和集合は必ずしもイデアルである必要はありませんが、以下は依然として真です。 R の空である可能性のある部分集合 Xが与えられたとき、 X を含む最小の左イデアルが存在し、これは X によって生成される左イデアルと呼ばれ、 で表されます 。このようなイデアルは、 X を含むすべての左イデアルの共通部分であるため存在します。同様に、は R 上の X の元のすべての (有限の) 左 R 線形結合 の集合です 。
R
X
{\displaystyle RX}
R
X
{\displaystyle RX}
R
X
=
{
r
1
x
1
+
⋯
+
r
n
x
n
∣
n
∈
N
,
r
i
∈
R
,
x
i
∈
X
}
.
{\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}
（そのようなスパンは X を 含む最小の左イデアルであるため。） [注 2] X によって生成される右（両側）イデアルも 同様の方法で定義されます。「両側」の場合、両側からの線形結合を使用する必要があります。つまり、
R
X
R
=
{
r
1
x
1
s
1
+
⋯
+
r
n
x
n
s
n
∣
n
∈
N
,
r
i
∈
R
,
s
i
∈
R
,
x
i
∈
X
}
.
{\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}
単一の元x によって生成される左（または右、両側）イデアルは、 x によって生成される主左（または右、両側）イデアルと呼ばれ、 (または )で表されます 。主両側イデアルは、 で表されることもよくあります 。 が 有限集合である場合、 と表記されることもあります 。
R
x
{\displaystyle Rx}
x
R
,
R
x
R
{\displaystyle xR,RxR}
R
x
R
{\displaystyle RxR}
(
x
)
{\displaystyle (x)}
X
=
{
x
1
,
…
,
x
n
}
{\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}
R
X
R
{\displaystyle RXR}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
環上のイデアルと 合同関係 （環構造を尊重する同値関係）の間には全単射の対応があります。 環 のイデアルが与えられたとき、 とします 。すると 上の合同関係になります。 逆に、 上の合同関係が与えられたとき、 とします 。すると のイデアルになります 。
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
x
−
y
∈
I
{\displaystyle x-y\in I}
∼
{\displaystyle \sim }
R
{\displaystyle R}
∼
{\displaystyle \sim }
R
{\displaystyle R}
I
=
{
x
∈
R
:
x
∼
0
}
{\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
理想の種類 説明を簡単にするために、すべての環は可換であると仮定します。非可換なケースについては、それぞれの記事で詳しく説明します。
イデアルは環準同型の核として現れ、因数環を 定義できるため重要です 。さまざまな種類のイデアルが研究されるのは、さまざまなタイプの因数環を構築するために使用できるためです。
最大イデアル : 真イデアル I が 最大イデアル と呼ばれるの は、 Iが J の真部分集合 と なるような真イデアルJ が 他に存在しないときである 。最大イデアルの因子環は 一般に単純環 であり、 可換環の 体である。 [12] 最小イデアル : 非ゼロイデアルは、他の非ゼロイデアルを含まない場合、最小イデアルと呼ばれます。 ゼロ理想 ：理想 [13 ]
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
単位イデアル : 環全体(によって生成されるイデアル )。
1
{\displaystyle 1}
素イデアル : 真イデアルは、 および に対して が に属する場合 、が に 属する 場合 、 および の少なくとも 1 つが に属する 、 素イデアル と呼ばれます 。 素イデアルの因数環は一般に素環であり 、 可 換環の 整域 です
I
{\displaystyle I}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
b
{\displaystyle ab}
I
{\displaystyle I}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
I
{\displaystyle I}
根基イデアル または 半素 イデアル : 適切なイデアル I は、 Rの 任意 の a に対して 、 ある nに対して a n が I にあれば、 a がI にあれば 、 a が I にある または 。根基イデアルの因数環は、 一般の環に対しては半素環 であり、 可換環に対しては縮約環 です。 一次イデアル : R の すべてのa と b に対して 、 ab が I に含まれる ある 自然数 nに対して a と b n の少なくとも 1 つが I に含まれるとき、イデアル Iは 一次イデアル と呼ばれ ます 。すべての素イデアルは一次ですが、その逆は当てはまりません。半素数の一次イデアルは素数です。 主イデアル ：一つの 要素によって生成されるイデアル 。 有限生成イデアル : このタイプのイデアルは、 モジュールとして 有限生成されます。 原始イデアル : 左原始イデアルは、 単純 左 加群 の 消滅子 です。 既約なイデアル : イデアルは、それを適切に含めるイデアルの交差として記述できない場合、既約ではないと言われます。 共最大イデアル : 2 つのイデアル I 、 J は 、ある に対して で あるとき、 共 最大で あるといわれます 。
x
+
y
=
1
{\displaystyle x+y=1}
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
y
∈
J
{\displaystyle y\in J}
正規理想 : この用語には複数の用法があります。リストについては記事を参照してください。 零イデアル : イデアルの各要素が零である場合、そのイデアルは零イデアルです。 べき零イデアル : その一部のべき乗はゼロです。 パラメータ理想 :パラメータのシステム によって生成される理想 。 完全イデアル :ネーター環の 真イデアル I は、その 次数が 関連する商環の 射影次元 に等しい とき、完全イデアル と呼ばれる 。 [16] 。完全イデアルは 混合されていない 。
R
{\displaystyle R}
grade
(
I
)
=
proj
dim
(
R
/
I
)
{\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}
非混合イデアル :ネーター環の 真イデアル Iは、 I の高さが R / I の すべての関連する素数 P の高さに等しい とき、高さに関して非混合イデアル と呼ばれます 。(これは、 R / Iが 等次元 である と言うことよりも強いです 。等 次元環 も参照してください。)
R
{\displaystyle R}
「理想」を使用する他の 2 つの重要な用語は、必ずしもその環の理想とは限りません。詳細については、それぞれの記事を参照してください。
分数イデアル : これは通常、 R が 商体 K を持つ可換領域である 。名前に反して、分数イデアルは 特別な性質を持つK の Rサブモジュールです。分数イデアルが R に完全に含まれている場合 、それは本当にR のイデアルです 。 可逆イデアル : 通常、可逆イデアル A は、 AB = BA = R となる 別の分数イデアルB が存在する分数イデアルとして定義されます 領域以外の環において AB = BA = R となる 通常の環イデアルA および B に「可逆イデアル」を適用することもあります
理想的な運用 イデアルの和と積は次のように定義される。 環 R の左（右）イデアルで ある と に対して、それらの和は
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
a
+
b
:=
{
a
+
b
∣
a
∈
a
and
b
∈
b
}
{\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}
、 これは左（右）イデアルであり、 両側性がある場合には、
a
,
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}
a
b
:=
{
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
∣
a
i
∈
a
and
b
i
∈
b
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
;
for
n
=
1
,
2
,
…
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}
つまり、積は、 a が 、 b が で ある形式 ab のすべての積によって生成されるイデアルです 。
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
は、と (または和集合 ) の両方を含む最小の左 (または右) イデアルであり 、積は と の積集合に含まれることに 注意してください 。
a
+
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
a
∪
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}
a
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
分配法則は両側イデアルに対して成り立つ
a
,
b
,
c
{\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}
、
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
{\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}
、
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}
. 積を交差に置き換えると、部分分配法則が成立します。
a
∩
(
b
+
c
)
⊃
a
∩
b
+
a
∩
c
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}
ここで、または が 含まれる 場合、等式が成立します 。
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
c
{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
注 : イデアルの和と交差もまたイデアルです。結合と会合という 2 つの演算により、与えられた環のすべてのイデアルの集合は 完全な モジュラー格子 を形成します。この格子は一般に 分配格子 ではありません。交差、和 (または結合)、積という 3 つの演算により、可換環のイデアルの集合は量子になり ます 。
が可換環 R のイデアルである場合 、 次の 2 つのケースでは（少なくとも）
a
,
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}
a
∩
b
=
a
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}
a
+
b
=
(
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
を 法として正規のシーケンス を 形成する要素によって生成されます 。
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
（より一般的には、イデアルの積と交差の差は Tor関数 によって測定される：
Tor
1
R
(
R
/
a
,
R
/
b
)
=
(
a
∩
b
)
/
a
b
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}
。 [17] ）
整域は、 各イデアルのペアに対して、 となる イデアルが存在するとき、 デデキント域 と呼ばれます。 算術の基本定理 の一般化として、最大イデアルの積として一意に表すことができることが示されます 。
a
⊂
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}
c
{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
a
=
b
c
{\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}
理想的な操作の例 私たち
には
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
(
n
)
∩
(
m
)
=
lcm
(
n
,
m
)
Z
{\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }
は と の 両方で割り切れる整数の集合です 。
(
n
)
∩
(
m
)
{\displaystyle (n)\cap (m)}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
とし ます 。 すると 、
R
=
C
[
x
,
y
,
z
,
w
]
{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}
a
=
(
z
,
w
)
,
b
=
(
x
+
z
,
y
+
w
)
,
c
=
(
x
+
z
,
w
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}
a
+
b
=
(
z
,
w
,
x
+
z
,
y
+
w
)
=
(
x
,
y
,
z
,
w
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}
そして
a
+
c
=
(
z
,
w
,
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}
a
b
=
(
z
(
x
+
z
)
,
z
(
y
+
w
)
,
w
(
x
+
z
)
,
w
(
y
+
w
)
)
=
(
z
2
+
x
z
,
z
y
+
w
z
,
w
x
+
w
z
,
w
y
+
w
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}
a
c
=
(
x
z
+
z
2
,
z
w
,
x
w
+
z
w
,
w
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}
a
∩
b
=
a
b
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}
その間
a
∩
c
=
(
w
,
x
z
+
z
2
)
≠
a
c
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}
最初の計算では、2つの有限生成イデアルの和をとる一般的なパターンがわかります。これは、それらの生成元の和集合によって生成されるイデアルです。最後の3つでは、2つのイデアルが零イデアルで交差するときはいつでも、積と交差が一致することがわかります。これらの計算は Macaulay2を 使用して確認できます。 [19] [20] [21]
環の根号 イデアルは、特にラジカルの形で、モジュールの研究において自然に現れます。
簡単にするために、ここでは可換環を扱いますが、いくつかの変更を加えると、結果は非可換環にも当てはまります。 R を 可換環と する。定義により、 R の 原始イデアルは (非ゼロの) 単純 R -加群 の消滅子である 。R の ヤコブソン根基は 、 すべての原始イデアルの共通部分である。同様に、
J
=
Jac
(
R
)
{\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}
J
=
⋂
m
maximal ideals
m
.
{\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}
実際、 が単純加群で x が M の非ゼロ元である場合 、 および は 最大イデアルを 意味します。逆に、 が最大イデアルである場合、 は 単純 R 加群 の消滅子です。別の特徴付けもあります (証明は難しくありません)。
M
{\displaystyle M}
R
x
=
M
{\displaystyle Rx=M}
R
/
Ann
(
M
)
=
R
/
Ann
(
x
)
≃
M
{\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}
Ann
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
R
/
m
{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
J
=
{
x
∈
R
∣
1
−
y
x
is a unit element for every
y
∈
R
}
.
{\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}
必ずしも可換ではない環の場合、 単位 元である場合に限り、単位元で あるというのは一般的な事実です (リンクを参照)。したがって、この最後の特徴付けは、根号が左と右の両方の原始イデアルの観点から定義できることを示しています。
1
−
y
x
{\displaystyle 1-yx}
1
−
x
y
{\displaystyle 1-xy}
ヤコブソン根基の定義には、次の単純だが重要な事実 ( 中山の補題 ) が組み込まれています。M が
J
M
=
M
{\displaystyle JM=M}
となるような加群である場合 、 M は 最大部分加群 を許容しません。なぜなら、最大部分加群
L
⊊
M
{\displaystyle L\subsetneq M}
が存在する場合、 となるため 、 矛盾 が 生じる からです。非ゼロの 有限生成加群は 最大部分加群を許容するため、特に、次のことが言えます。
J
⋅
(
M
/
L
)
=
0
{\displaystyle J\cdot (M/L)=0}
M
=
J
M
⊂
L
⊊
M
{\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}
かつ M が有限生成であれば、 と なります。
J
M
=
M
{\displaystyle JM=M}
M
=
0
{\displaystyle M=0}
最大イデアルは素イデアルであり、したがって
nil
(
R
)
=
⋂
p
prime ideals
p
⊂
Jac
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}
ここで、左側の交差点は R の 冪根基 と呼ばれます。実は、は R の 冪零元 の集合でもあります 。
nil
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {nil} (R)}
R が アルティン環 である 場合 、 は 冪零であり、 です。 (証明: まず、DCC はある n に対して となることに注目してください 。 (DCC) が後者上で真に極小なイデアルである場合、 となります 。 つまり、 、矛盾です。)
Jac
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}
nil
(
R
)
=
Jac
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}
J
n
=
J
n
+
1
{\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}
a
⊋
Ann
(
J
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}
J
⋅
(
a
/
Ann
(
J
n
)
)
=
0
{\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}
J
n
a
=
J
n
+
1
a
=
0
{\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}
理想の拡大と縮小 A と B を 2つの 可換環 とし 、 f : A → B を 環準同型 とする 。 が A のイデアルである場合 、 は B のイデアルである必要はない （例えば、 f を 整数環 Zの有理数体 Q への包含 と みなす ）。 B における の 拡大は、 によって生成される B のイデアルとして定義される 。明示的には、
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
f
(
a
)
{\displaystyle f({\mathfrak {a}})}
a
e
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
f
(
a
)
{\displaystyle f({\mathfrak {a}})}
a
e
=
{
∑
y
i
f
(
x
i
)
:
x
i
∈
a
,
y
i
∈
B
}
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}
がB のイデアルである 場合 、 は常に A のイデアルであり 、これを A へ の 縮約 と呼びます。
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
f
−
1
(
b
)
{\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}
b
c
{\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
f : A → B が 環準同型であり、が A のイデアルであり 、が B の イデアルである と仮定すると 、次のようになります。
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
B では素数であり、 A では素数です 。
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
b
c
{\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}
a
e
c
⊇
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}
b
c
e
⊆
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}
一般に、 がA で素数 (または最大値) であるからといって が B で素数 (または最大値) である という のは誤りです 。この典型的な例の多くは代数的整数論に由来しています。たとえば、 の埋め込みです 。 では 、元 2 は のように因数分解されますが、(示すことができるように) どちらも B では単位ではありません。 したがって は B で素数ではありません (したがって最大値でもありません)。実際、は 、 、したがって で あることを示しています 。
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
a
e
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}
Z
→
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }
B
=
Z
[
i
]
{\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }
2
=
(
1
+
i
)
(
1
−
i
)
{\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}
1
+
i
,
1
−
i
{\displaystyle 1+i,1-i}
(
2
)
e
{\displaystyle (2)^{e}}
(
1
±
i
)
2
=
±
2
i
{\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}
(
1
+
i
)
=
(
(
1
−
i
)
−
(
1
−
i
)
2
)
{\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}
(
1
−
i
)
=
(
(
1
+
i
)
−
(
1
+
i
)
2
)
{\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}
(
2
)
e
=
(
1
+
i
)
2
{\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}
一方、 fが 全射で ある場合は 、 次のようになります。
a
⊇
ker
f
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}
a
e
c
=
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}
そして
b
c
e
=
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}
。
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
はA の 素イデアル であり 、 B の素イデアルです 。
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
a
e
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
はA における 最大イデアル であり、は B における最大イデアルです 。
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
a
e
{\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}
注意 : K を L の 体拡大 とし 、 B と A を それぞれ K と L の 整数環 とします。すると B は A の 整拡大 となり 、 f を A から B への 包含写像 とします。 A の 素イデアル の拡大下での振る舞いは、 代数的整数論 の中心的な問題の一つです 。
a
=
p
{\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}
以下は時々役に立つ: 素イデアル が素イデアルの縮約である場合、かつその場合のみ 。 ( 証明: 後者を仮定すると、 が と交差することに注意 。 これ は 矛盾 である。ここで、 の素イデアルは、 と 交わらない B の素イデアルに対応する 。したがって、 と交わらない B の素 イデアル が 存在し、 は を 含む極大イデアルである 。次に、 が 上にあることを確認する 。 逆 は 明らか である。)
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
p
=
p
e
c
{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}
p
e
B
p
=
B
p
⇒
p
e
{\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}
A
−
p
{\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}
B
p
{\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}
A
−
p
{\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
A
−
p
{\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}
q
B
p
{\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}
p
e
B
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
一般化 イデアルは、モノイド 構造が 忘れられ たオブジェクトで ある任意の モノイドオブジェクト
(
R
,
⊗
)
{\displaystyle (R,\otimes )}
に一般化できます 。 の 左イデアルは、「 の要素による左からの乗算を吸収する」 サブオブジェクト です 。つまり、 次の 2 つの条件を満たす場合、
は 左イデアル です。
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
は サブオブジェクト です
R
{\displaystyle R}
あらゆる について 、製品は です 。
r
∈
(
R
,
⊗
)
{\displaystyle r\in (R,\otimes )}
x
∈
(
I
,
⊗
)
{\displaystyle x\in (I,\otimes )}
r
⊗
x
{\displaystyle r\otimes x}
(
I
,
⊗
)
{\displaystyle (I,\otimes )}
右イデアルは 、 条件「
r
⊗
x
∈
(
I
,
⊗
)
{\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}
」を「'
x
⊗
r
∈
(
I
,
⊗
)
{\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}
」に置き換えて定義されます。 両側イデアルは、 左イデアルであり右イデアルでもあるため、単にイデアルと呼ばれることもあります。 が それぞれ可換モノイド オブジェクトである場合、左イデアル、右イデアル、両側イデアルの定義が一致し、 イデアル という用語が単独で使用されます。
R
{\displaystyle R}
イデアルは、 R 加群 の特定の型と考えることもできます 。 を左 加群 (左乗法によって) と見なすと、左イデアルは実際には の左 サブ加群 にすぎません 。言い換えると、 が の左 (右) イデアルである 場合、かつそれが のサブセットである左 (右) 加群である場合に限ります 。 が のサブ -双加群 である場合、 は両側イデアルです 。
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
例:
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
とすると 、 のイデアルは のサブセットであるアーベル群 、つまり、 ある に対してになります。したがって、これらは のすべてのイデアルを与えます 。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
m
Z
{\displaystyle m\mathbb {Z} }
m
∈
Z
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
参照
注記
^ 一部の著者は環 Rの零イデアルと単位イデアルを R の 自明イデアル と呼んでいます 。 ^ R に 単位がない 場合、上記の内部記述を若干変更する必要があります。 X内のものと R 内のものとの積の有限和に加えて 、 X 内のすべての x と 自然数内のすべての n に対して、 x + x + ... + x の形式の n 重和 と 、 ( − x ) + ( − x ) + ... + (− x ) の 形式の n 重和の加算を許可する 必要 が あります。 R に 単位 がある場合、この追加要件は不要になります。
参考文献
^ ジョン・スティルウェル（2010年） 『 数学とその歴史 』439ページ。
^ Harold M. Edwards (1977). フェルマーの最終定理. 代数的数論への遺伝的入門 . p. 76.
^ Everest G., Ward T. (2005). 数論入門 . p. 83.
^ ダミット＆フット 2004、242 ページ ^ Dummit & Foote 2004、§ 10.1.、例（1）。 ^ Dummit & Foote 2004、§ 10.1.、命題3。 ^ ダミット＆フット 2004、第7章、命題6。 ^ Dummit & Foote 2004、第7章、定理7。 ^ ラング 2005、セクション III.2 ^ 単純な可換環は体であるから。Lam (2001) の「非可換環入門」p. 39 を参照。 ^ 「ゼロ理想」。Math World 。2024年8月22日。 ^ 松村秀之 (1987). 可換環論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 132. ISBN 9781139171762 。 ^ アイゼンバッド 1995、演習 A 3.17 ^ 「ideals」 。www.math.uiuc.edu 。2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2017年1月14日 閲覧。 ^ 「sums, products, and powers of ideals」 www.math.uiuc.edu 。 2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2017年1月14日 閲覧。 ^ 「イデアルの交差」 www.math.uiuc.edu 。 2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2017年1月14日 閲覧。
外部リンク
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d1013f9dd290be70d5fe534e0d3311b0a7c6a)
![{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374e83752e18b61098f8285791f9195519f1ba21)
