Loading article…
数学、特に普遍代数、群論、環論、加群論として知られる抽象代数の分野において、部分直積とは、直積の部分代数であり、そのすべての因数に完全に依存するが、必ずしも全体の直積である必要はない。この概念は1944年にバーコフによって導入され、直積の概念の強力な一般化であることが証明された。[要出典]
意味
部分直積とは、直積Π i A iの部分代数（普遍代数の意味で）Aであり、あらゆる誘導射影（部分代数包含s : A → Π i A iを持つ射影p j : Π i A i → A jの合成 p j s : A → A j）が全射となるようなものである。
代数Aの直接(部分直接)表現は、Aに同型の直接 (部分直接) 積です。
代数は、 「より単純な」代数によって部分的に直接表現できない場合、部分的既約であると呼ばれます。部分的既約は代数の部分的積に対して、素数が整数の乗算に対してであるのとほぼ同じです。
例
- 任意の分配格子 L は、2 要素の分配格子の直冪の部分代数として部分直接表現可能です。これは、直冪自体を冪集合として解釈することにより、和集合と積集合の二項演算の下で閉じた集合の集合としてのLの表現可能性の代数的定式化として考えることができます。有限の場合、そのような表現が直接的 (つまり、直冪全体) であるのは、L が補格子、つまりブール代数である場合のみです。
- 前述の例で、「分配格子」を「セミラティス」に、「サブ格子」を「サブセミラティス」に置き換えた場合、どのセミラティスでも同じことが当てはまります。つまり、すべてのセミラティスは、2 要素セミラティスの下位累乗として表現できます。
- 無限を伴う自然数の連鎖は、ヘイティング代数として、有限の線形順序ヘイティング代数の直積の部分代数として部分直接的に表現できます。他のヘイティング代数の場合の状況は、部分直接既約数に関する記事でさらに詳しく扱われます。
- 加法による整数群は、任意の大きさの有限巡回群の任意の（必然的に無限の）族によって部分直接的に表現できます。この表現では、0 は表現群の単位元のシーケンス、1 は適切な群から選択された生成元のシーケンス、整数の加算と否定は、座標ごとに適用される各群の対応するグループ演算です。サイズ要件のため、表現は忠実であり（同じシーケンスで 2 つの整数が表現されることはありません）、すべての座標が最終的にそのグループを使い果たすため、射影は全射です。
- 与えられた体上のすべてのベクトル空間は、その体上の 1 次元空間によって部分直に表現可能であり、有限次元空間はこのように直接表現可能です。(ベクトル空間の場合、アーベル群の場合と同様に、有限個の因子を持つ直積は有限個の因子を持つ直和と同義であり、したがって部分直積と部分直和も有限個の因子と同義です。)
- 部分直積は、(Holt & Plesken 1989) の多数の小さな完全群を表すために使用されます。