主イデアル環

数学において、主右（左）イデアル環とは、Rの何らかの元xに対して、すべての右（左）イデアルがxR ( Rx ) の形になる環 Rのことである。（この形の右イデアルと左イデアルは、 1 つの元によって生成され、主イデアルと呼ばれる。） Rが可換環である場合のように、左イデアルと右イデアルの両方に対してこれが満たされるとき、R は主イデアル環、または単に主環と呼ばれることがある。

Rの有限生成右イデアルのみが主である場合、R は右ベズー環と呼ばれます。左ベズー環も同様に定義されます。これらの条件は、ベズー領域として領域で研究されます。

整域でもある主イデアル環は主イデアル環(PID)と呼ばれます。この記事では、必ずしも領域ではない主イデアル環のより一般的な概念に焦点を当てます。

Rが主右イデアル環である場合、すべての右イデアルは有限生成なので、それは確かに右ノイデアル環です。すべての有限生成右イデアルは主であるため、それは右ベズー環でもあります。実際、主右イデアル環は、右ベズーと右ノイデアルの両方である環であることは明らかです。

主右イデアル環は有限直積に関して閉じています。 の場合、 Rの各右イデアルは の形になります。ここで、各 はR _iの右イデアルです。 すべてのR _{i が}主右イデアル環の場合、A _i = x _i R _iとなり、 であることがわかります。 それほど手間をかけずに、右ベズー環も有限直積 に関して閉じていることを示すことができます。 ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})R=A}$

主右イデアル環と右ベズー環も商に関して閉じている。つまり、I が主右イデアル環Rの真イデアルであれば、商環R/Iも主右イデアル環である。これは環の同型定理から容易に導かれる。

上記のすべてのプロパティには、左側の類似物もあります。

1.整数環:${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2. nを法とする整数: . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

3.を環、 とします。このとき、R が主環となるのは、R _{i が}すべてのiに対して主環となる場合のみです。 ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

4. 主環の任意の乗法部分集合への局所化もまた主環である。同様に、主環の任意の商もまた主環である。

5. R をデデキント領域とし、I をRの非零イデアルとする。すると、商R / I は主環となる。実際、I を素数累乗の積として因数分解することができる。すなわち、中国剰余定理により、それぞれが主環であることがわかれば十分である 。しかし、は離散値環の商と同型であり、主環の商であるため、それ自体が主環である。 ${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}}$

6. k を有限体とし、 、とおく。このとき、 R は主環ではない有限局所環である。 ${\displaystyle A=k[x,y]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$

7. X を有限集合とします。すると、 が単位元を持つ可換主イデアル環を形成します。ここで、 は集合対称差を表し、 はXの冪集合を表します。 X に少なくとも 2 つの要素がある場合、環には零因子もあります。 Iがイデアルの場合、 です。代わりにXが無限の場合、環は主ではありません。たとえば、 Xの有限部分集合によって生成されるイデアルを取ります。 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle I=(\bigcup I)}$

8.ガロア環は可換な局所PIRである。これらは、を法とする整数の有限体拡大と本質的に同じ方法で を法とする整数から構成され、最大イデアルは次のように生成される。${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

上記の例 5 で構築された主環は常にアルティン環です。特に、主アルティン局所環の有限直積に同型です。局所アルティン主環は特殊主環と呼ばれ、非常に単純なイデアル構造を持ちます。つまり、有限個のイデアルしか存在せず、それぞれが最大イデアルの冪です。このため、特殊主環はユニシリアル環の例です。

次の結果は、特殊主環と主イデアル領域の観点から主環の完全な分類を与えます。

ザリスキ・サミュエルの定理: Rを主環とする。すると、R は直積として表すことができ、各R _iは主イデアル領域または特殊主環のいずれかである。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

証明では、中国剰余定理を零イデアルの最小一次分解に適用します。

ハンガーフォードによる次の結果もあります。

定理（ハンガーフォード）：R を主環とする。すると、 R は直積として表すことができ、各R _{i は}主イデアル領域の商である。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

ハンガーフォードの定理の証明には、完全局所環に対するコーエンの構造定理が用いられます。

上記の例 3 のように議論し、ザリスキ-サミュエルの定理を使用すると、ハンガーフォードの定理が、任意の特殊主環は離散付値環の商であるという主張と同等であることは簡単に確認できます。

体の積だけではないすべての半単純環 R は、非可換な右および左の主イデアル環です (体上の nxn 行列の例が示すように、領域である必要はありません)。すべての右および左のイデアルはRの直和であり、したがってeRまたはReの形式をとります( eはRのべき等元です)。この例と並行して、フォン ノイマン正則環は右ベズー環と左ベズー環の両方であることが分かります。

D が分割環であり、が自己同型でない環自己準同型である場合、歪多項式環は右ノイデアルでない主左イデアル領域であることが知られており、したがって主右イデアル環にはなり得ない。これは、領域であっても主左イデアル環と主右イデアル環が異なることを示している。^[1]${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle D[x,\sigma ]}$

• ハンガーフォード、T. (1968)、「主イデアル環の構造について」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、25 (3): 543–547、doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
• ラム、TY (2001)、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439
• Lang, Serge (1993)、Algebra (第 3 版)、Reading、Mass.: Addison-Wesley、ISBNの 86 ページと 146-155 ページ 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001
• ザリスキ、O. ;サミュエル、P. (1975)、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第28巻、第29巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク