デル

Delまたはナブラは、数学 (特にベクトル計算)でベクトル微分演算子として使用される演算子であり、通常はナブラ記号∇で表されます。1次元領域で定義された関数に適用された場合、微積分で定義された関数の標準導関数を表します。場(多次元領域で定義された関数) に適用された場合、適用方法に応じて、スカラー場(またはナビエ-ストークス方程式のようにベクトル場の場合もあります)の勾配または (局所的に) 最も急な傾斜、ベクトル場の発散、またはベクトル場の回転(回転) の 3 つの操作のいずれかを表します。

Del は、3 つの演算 (勾配、発散、回転) のための非常に便利な数学的表記法であり、多くの方程式の記述と記憶を容易にします。del 記号 (またはナブラ)は、対応する偏微分演算子をコンポーネントとするベクトル演算子として正式に定義できます。ベクトル演算子として、スカラー フィールドとベクトル フィールドに対して 3 つの異なる方法で作用し、3 つの異なる微分演算を生じます。まず、形式的なスカラー乗算によってスカラー フィールドに対して作用し、勾配と呼ばれるベクトル フィールドを生成します。次に、形式的なドット積によってベクトル フィールドに対して作用し、発散と呼ばれるスカラー フィールドを生成します。最後に、形式的なクロス積によってベクトル フィールドに対して作用し、回転と呼ばれるベクトル フィールドを生成します。これらの形式的な積は、必ずしも他の演算子または積と交換できるわけではありません。以下に詳述するこれらの 3 つの用途は、次のようにまとめられます。

• 勾配：${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• 発散：${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• カール：${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

座標と標準基底を持つ直交座標系 では、delは偏微分演算子を成分とするベクトル演算子である。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

ここで、括弧内の式は行ベクトルです。座標と軸の標準基底または単位ベクトルを持つ3次元直交座標系では、delは次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

ベクトル演算子として、 del はスカラー乗算を介してスカラー フィールドに自然に作用し、ドット積とクロス積を介してベクトル フィールドに自然に作用します。

より具体的には、任意のスカラー場と任意のベクトル場に対して、${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

上の定義を用いると、 ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

そして

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

例：

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del は他の座標系でも表現できます。たとえば、円筒座標と球座標の del を参照してください。

Del は、多くの長い数式を簡略化するための省略形として使用されます。最も一般的に使用されるのは、勾配、発散、回転、方向微分、ラプラシアンの式を簡略化する場合です。

スカラー場 のベクトル微分は勾配と呼ばれ、次のように表すことができます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f}$

これは常に の最大増加の方向を指し、その大きさは標準導関数と同様に、その点での最大増加率に等しくなります。特に、丘が平面 上の高さ関数として定義されている場合、特定の場所における勾配は、最も急な方向を指す xy 平面のベクトルになります (地図上の矢印として視覚化できます)。勾配の大きさは、この最も急な傾斜の値です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h(x,y)}$

特に、勾配積則は 1 次元微分の場合と非常によく似ているため、この表記法は強力です。

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

しかし、ドット積の規則は、次に示すように単純ではありません。

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

ベクトル場の発散は次のように表される スカラー場です。 ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} }$

発散は、大まかに言えば、ベクトル場が指し示す方向の増加の尺度ですが、より正確には、その場が一点に向かって収束する傾向、または一点から発散する傾向の尺度です。

del 表記の威力は次の積の規則によって示されます。

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

ベクトル積の式は、可換ではないため、少し直感的ではありません。

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}$

ベクトル場の回転は、次のように表される ベクトル関数です。${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

ある点におけるカールの大きさは、その点を中心とした場合に小さな風車が受ける軸上のトルクに比例します。

ベクトル積演算は擬似行列式として視覚化できます。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

この表記法の威力は、積の法則によって再び示されます。

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )}$

ベクトル積の規則は単純ではありません。

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$

方向の スカラー場の方向微分は次のように定義されます。 ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h,z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.}$

勾配が存在する場合、これは次の式に等しい。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)}$

これは、の方向の場の変化率をの大きさでスケールしたものになります。演算子表記では、括弧内の要素は単一の一貫した単位と見なすことができます。流体力学では、この規則を広範に使用し、これを対流微分、つまり流体の「移動する」微分と呼んでいます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

はスカラーをスカラーに変換する演算子であることに注意してください。各コンポーネントを個別に操作することで、ベクトルを操作するように拡張できます。 ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}$

ラプラス演算子は、ベクトル場またはスカラー場のどちらにも適用できるスカラー演算子です。直交座標系の場合は次のように定義されます。

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

より一般的な座標系の定義はベクトルラプラシアンで与えられます。

ラプラス方程式は現代の数理物理学のいたるところに存在し、例えばラプラス方程式、ポアソン方程式、熱方程式、波動方程式、シュレーディンガー方程式などに登場します。

は通常ラプラシアンを表しますが、ヘッセ行列を表すこともあります。前者は の内積を表し、後者はの二項積を表します。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$。

したがって、ラプラシアン行列を指すのかヘッセ行列を指すのかはコンテキストによって異なります。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Del はベクトル場にも適用でき、結果はテンソルになります。ベクトル場(3 次元)のテンソル微分は 9 項の 2 階テンソル、つまり 3×3 行列ですが、単に と表記することもできます。ここで は二項積 を表します。この量は、ベクトル場のヤコビ行列の空間に関する転置に相当します。ベクトル場の発散は、この行列のトレースとして表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$${\displaystyle \otimes }$

小さな変位の場合、ベクトル場の変化は次のように表されます。 ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }$

ベクトル計算の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

行列計算（ と書くことができる） の場合：${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

もう一つの興味深い関係式（例えばオイラー方程式を参照）は次の通りです。ここで は外積テンソルです。 ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

del がスカラーまたはベクトルに作用すると、スカラーまたはベクトルが返されます。ベクトル積 (スカラー、ドット、クロス) の多様性のため、 del を 1 回適用するだけで、勾配 (スカラー積)、発散 (ドット積)、回転 (クロス積) という 3 つの主要な導関数が得られます。これらの 3 種類の導関数を再度適用すると、スカラー フィールドfまたはベクトル フィールドvに対して 5 つの 2 次導関数が得られます。スカラーラプラシアンとベクトル ラプラシアンを使用すると、さらに 2 つ得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

これらは、常に一意であったり、互いに独立しているわけではないため、主に興味深いものです。関数が適切に動作している限り (ほとんどの場合)、そのうちの 2 つは常にゼロになります。 ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

そのうちの 2 つは常に等しいです。

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

残りの 3 つのベクトル導関数は次の式で関連しています。

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

そして、関数が適切に動作する場合、それらの 1 つはテンソル積で表現することもできます。

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

上記のベクトル特性のほとんどは（積の法則など、del の微分特性に明示的に依存するものを除く）、記号の並べ替えのみに依存しており、del 記号を他のベクトルに置き換えても必ず成立します。これは、この演算子をベクトルとして表記することで得られる価値の一部です。

多くの場合、del をベクトルに置き換えてベクトル恒等式を取得し、それらの恒等式を記憶しやすくすることができますが、del は一般に可換ではないため、その逆は必ずしも信頼できるとは限りません。

発散演算子 ( ) と移流演算子( ) が可換ではないことを示す反例: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

del の微分特性に依存する反例:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

これらの違いの中心となるのは、 del が単なるベクトルではなく、ベクトル演算子であるという事実です。ベクトルは大きさと方向の両方を持つオブジェクトですが、 del は関数に作用するまで大きさも方向もありません。

そのため、del を含む恒等式は、ベクトル恒等式と積の法則などの 微分恒等式の両方を使用して、慎重に導出する必要があります。

• 円筒座標と球座標でのDel
• 微分表記
• ベクトル計算の恒等式
• マクスウェル方程式
• ナビエ・ストークス方程式
• 数学記号表
• クアブラ演算子

• ウィラード・ギブス&エドウィン・ビッドウェル・ウィルソン(1901)ベクトル解析、イェール大学出版局、1960年:ドーバー出版。
• Schey, HM (1997)。Div 、Grad、Curl、その他: ベクトル計算に関する非公式テキスト。ニューヨーク: Norton。ISBN 0-393-96997-5。
• ミラー、ジェフ。「微積分記号の最も初期の使用」。
• Arnold Neumaier (1998 年 1 月 26 日)。Cleve Moler (編)。「Nabla の歴史」。NA Digest、第 98 巻、第 03 号。netlib.org。

• ベクトル解析における∇の不適切な使用に関する調査 (1994) タイ、チェン