イオントラップ

ポールトラップ（四重極イオントラップとも呼ばれる）は、静的直流（DC）と高周波（RF）の振動電場を使用してイオンを捕捉します。ポールトラップは、質量分析計の構成要素としてよく使用されます。ポールトラップは、ヴォルフガング・ポールによって発明されたため、その名前が付けられました。この研究により、彼は1989年のノーベル物理学賞を共同受賞しました。^{[ 11 ] [ 12 ]}

RF電場は、振動する四重極ポテンシャルによって平均的な半径方向の閉じ込め力を発生させます。ポテンシャルの閉じ込め方向と反閉じ込め方向は、粒子の脱出時間よりも速く切り替わります。電場は粒子の加速に影響を与えるため、位置は（約半周期分）遅れます。したがって、電場が集束しているとき、粒子は焦点がずれた位置にあり、その逆もまた然りです。中心から遠いため、粒子は電場が集束しているときの方が、焦点がずれているときよりも強い電場を受けます。

四重極は、このようなトラップで使用される最も単純な電場形状ですが、より複雑な形状も可能で、特殊なデバイスで使用されています。電場は、金属電極上の電位から生成されます。純粋な四重極は双曲面電極から作られますが、製造の容易さから円筒形電極がよく使用されます。マイクロ加工されたチップトラップでは、電極が平面上にあり、トラップ領域がその平面の上にある状態になっています。^{[ 13 ]}振動する電場が3次元または2次元で閉じ込めを提供するかどうかに応じて、トラップには2つの主要なクラスがあります。2次元の場合（いわゆる「線形RFトラップ」）、3番目の方向の閉じ込めは静電場によって提供されます。

典型的なトラップ構成では、4 つの平行電極が${\displaystyle z}$正方形の角に配置された軸${\displaystyle xy}$-平面。対角線上の反対側の電極が接続され、電圧が印加される。${\displaystyle V=V_{0}\cos(\オメガ t)}$が印加される。この電位によって生成される電場は${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}\sin(\Omega t)}$電荷を持つイオンにかかる力${\displaystyle e}$は${\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} }$イオン質量を持つ${\displaystyle M}$動径運動方程式につながる

${\displaystyle M\mathbf {\ddot {r}} =e\mathbf {E} _{0}\sin(\Omega t)\!}$。

イオンが最初に静止している場合、2回の連続積分により速度と変位が与えられます。

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\frac {e\mathbf {E} _{0}}{M\Omega }}\cos(\Omega t)\!}$、

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}-{\frac {e\mathbf {E} _{0}}{M\Omega ^{2}}}\sin(\Omega t)\!}$、

どこ$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$は積分定数であり、任意の開始位置に対応する。したがって、イオンは角周波数で振動する。${\displaystyle \Omega }$振幅は電界強度に比例し、半径方向に限定される。

線形ポールトラップを具体的に扱うことで、より具体的な運動方程式を記述できます。${\displaystyle z}$-軸では、放射対称性の解析によりポテンシャルが得られます^{[ 14 ]}

${\displaystyle \phi =\alpha +\beta (x^{2}-y^{2})\!}$。

定数${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$電極上の境界条件によって決定され、${\displaystyle \phi }$ラプラス方程式を満たす${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$電極の長さを仮定すると${\displaystyle r}$彼らの距離よりもはるかに大きい$\displaystyle r_0$次のように示すことができる。

${\displaystyle \phi =\phi _{0}+{\frac {V_{0}}{2r_{0}^{2}}}\cos(\Omega t)(x^{2}-y^{2})\!}$。

電場は電位の勾配によって与えられるので、

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {V_{0}}{r_{0}^{2}}}\cos(\Omega t)(x\mathbf {\hat {e}} _{x}-y\mathbf {\hat {e}} _{y})\!}$。

定義する${\displaystyle \tau =\Omega t/2}$運動方程式${\displaystyle xy}$-平面はマチュー方程式の簡略化された形式である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{i}}{d\tau ^{2}}}=-{\frac {4eV_{0}}{Mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}\cos(2\tau )x_{i}\!}$。

四重極場内のイオンは、トラップの中心に向かって引き戻される復元力を受ける。場内のイオンの運動は、マシュー方程式の解によって記述される。^{[ 16 ]}トラップ内のイオン運動について記述すると、方程式は次のようになる。

どこ${\displaystyle u}$x、y、z座標を表します。${\displaystyle \xi }$は無次元変数で、${\displaystyle \xi =\Omega t/2}$、 そして${\displaystyle a_{u}\,}$そして$q_u$は無次元の捕捉パラメータです。${\displaystyle \Omega }$は、リング電極に印加される電位の半径方向周波数である。連鎖律を用いると、次のことが示される。

式2をマチュー方程式1に代入すると、

m を掛けて項を整理すると、次のことがわかります。

ニュートンの運動法則によれば、上記の式はイオンに働く力を表しています。この式はフロケの定理または多重尺度解析の標準的な手法を用いて厳密に解くことができます。^{[ 17 ]}ポールトラップ内の荷電粒子の粒子ダイナミクスと時間平均密度は、ポンドロモーティブ力の概念によっても得られます。この場合、平均軌道は「永年運動」と呼ばれ、周波数の振動が重畳されます。${\displaystyle \Omega }$しかし、その振幅は小さく、「微小運動」と呼ばれます。

各次元の力は連動していないため、例えば x 次元でイオンに作用する力は

ここ、${\displaystyle \phi }$は四重極ポテンシャルであり、次式で与えられる。

どこ$\displaystyle \phi _{0}}$は印加電位であり、${\displaystyle \lambda }$、${\displaystyle \sigma }$、 そして${\displaystyle \gamma }$は重み付け係数であり、$\displaystyle r_0$はサイズパラメータ定数です。ラプラス方程式を満たすために、${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{0}=0}$次のように示すことができる。

${\displaystyle \lambda +\sigma +\gamma =0\,.}$

イオントラップの場合、${\displaystyle \lambda =\sigma =1}$そして${\displaystyle \gamma =-2}$四重極質量フィルターの場合、${\displaystyle \lambda =-\sigma =1}$そして${\displaystyle \gamma =0}$。

式6を円筒座標系に変換すると、${\displaystyle x=r\cos \theta }$、${\displaystyle y=r\sin \theta }$、 そして${\displaystyle z=z}$ピタゴラスの三角関数の恒等式を適用する${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$与える

印加電位は、RFとDCの組み合わせで、次式で与えられる。

どこ${\displaystyle \Omega =2\pi \nu }$そして${\displaystyle \nu }$は印加周波数（ヘルツ）です。

式8を式6に代入すると、${\displaystyle \lambda =1}$与える

式9を式5に代入すると、

式1と式10の右辺の項を比較すると、

そして

さらに遠く${\displaystyle q_{x}=q_{y}\,}$、

そして

イオンの捕捉は、安定領域の観点から理解することができる。${\displaystyle q_{u}}$そして${\displaystyle a_{u}}$空間。図中の陰影領域の境界は、2つの方向における安定性の境界（バンドの境界とも呼ばれる）である。2つの領域の重なり合う領域は、トラッピング領域である。これらの境界の計算および上記と同様の図については、Müller-Kirstenを参照のこと。^{[ 18 ]}

ペニングトラップの標準的な構成は、リング電極と2つのエンドキャップからなります。リング電極とエンドキャップ間の静的な電圧差によって、イオンは軸方向（エンドキャップ間）に閉じ込められます。しかし、アーンショーの定理から予想されるように、静的な電位差だけではイオンを3次元すべてに閉じ込めるには不十分です。半径方向の閉じ込めを実現するために、強力な軸方向磁場が印加されます。

一様な電場の場合${\displaystyle \mathbf {E} =E\mathbf {\hat {e}} _{x}}$力${\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} }$正に帯電したイオンを加速する${\displaystyle x}$-軸。一様な磁場の場合${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {e}} _{z}}$ローレンツ力によってイオンはサイクロトロン周波数で円運動する。

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{M}}\!}$。

初期速度がゼロのイオンが、${\displaystyle \mathbf {E} =E\mathbf {\hat {e}} _{x}}$そして${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {e}} _{z}}$運動方程式は

${\displaystyle x={\frac {E}{\omega _{c}B}}(1-\cos(\omega _{c}t))\!}$、

${\displaystyle y=-{\frac {E}{\omega _{c}B}}(\omega _{c}t-\sin(\omega _{c}t))\!}$、

${\displaystyle z=0\!}$。

結果として生じる動きは、${\displaystyle z}$周波数軸${\displaystyle \omega _{c}}$そしてドリフト速度は${\displaystyle y}$方向。ドリフト速度は電場の方向と垂直である。

ペニングトラップ内の電極によって生成される放射状電場の場合、ドリフト速度はある周波数で軸方向を中心に歳差運動する。${\displaystyle \omega _{m}}$マグネトロン周波数と呼ばれる。イオンには、さらに第3の固有周波数がある。${\displaystyle \omega _{z}}$2つのエンドキャップ電極間の周波数は通常大きく異なる値を持ち、${\displaystyle \omega _{z}\ll \omega _{m}<\ll \omega _{c}}$[ ^{19 ]​}

ペニングトラップは、強力で均一な軸方向磁場を用いて粒子を半径方向に閉じ込め、四重極電場を用いて粒子を軸方向に閉じ込めることで荷電粒子を貯蔵します。^{[ 24 ]}ペニングトラップは、イオンや安定な荷電素粒子の特性を測定するのに適しています。デーメルトらによる電子磁気モーメントの精密研究は、現代物理学における重要なトピックです。

ペニングトラップは量子計算や量子情報処理に利用でき^{[ 25 ]} 、 CERNでは反物質の貯蔵に用いられている。ペニングトラップはイオンの質量電荷比を決定するためのフーリエ変換イオンサイクロトロン共鳴質量分析法の基礎となっている^{[ 26 ]}。

ペニングトラップは、1950年代に最初のトラップを製作したフランツ・ミシェル・ペニングとハンス・ゲオルク・デーメルトによって発明された。 ^{[ 27 ]}

キングドントラップは、細い中央ワイヤ、外側の円筒形電極、および両端の分離されたエンドキャップ電極で構成されています。静的に印加された電圧により、電極間に放射状の対数電位が生じます。^{[ 22 ]}キングドントラップでは、イオンを蓄積するための電位の最小値はありませんが、イオンは中央ワイヤの周りの有限の角運動量で蓄積され、デバイス内の印加された電場によりイオンの軌道が安定します。^{[ 28 ]} 1981年、ナイトは、トラップ軸上にイオンを閉じ込める軸方向の四重極項を含む改良された外側電極を導入しました。^{[ 29 ]}動的キングドントラップには、強力なデフォーカスを使用して荷電粒子を永久に蓄積する追加の交流電圧があります。^{[ 30 ]}動的キングドントラップでは、捕捉されたイオンがフィラメントに対して角運動量を持つ必要はありません。オービトラップは、質量分析に使用される改良されたキングドントラップです。このアイデアは提案され、コンピュータシミュレーションも実施されたが^{[ 31 ]、}シミュレーションでは質量分解能に問題があることが示されたため、キングドン構成もナイト構成も質量スペクトルを生成することは報告されていない。

デジタルイオントラップ（DIT）は、駆動波形が従来のトラップと異なる四重極イオントラップ（線形または3D）です。DITは、離散的な電圧レベルを高速で切り替えることによって生成される、通常は矩形波であるデジタル信号によって駆動されます^{[ 32 ] [ 33 ]} 。DITの主な利点は、汎用性^{[ 34 ]}と事実上無制限の質量範囲です。デジタルイオントラップは、主に質量分析器として開発されました。