慣性座標系

ニュートンは、恒星に対して静止している参照系によってよく近似されると考えられる絶対空間を仮定した。慣性系は、絶対空間に対して一様に並進する系であった。しかし、ニュートンの時代でさえ、一部の「相対論者」^{[ 11 ]}は、絶対空間は定式化の欠陥であり、置き換えるべきだと感じていた。

慣性系（ドイツ語：Inertialsystem）という表現は、ニュートンの「絶対空間と時間」の定義をより操作的な定義に置き換えるために、1885年にルートヴィヒ・ランゲによって造語されました。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

同じ地点から3つの異なる（同一平面上にない）方向に投げられた質点が、投げられるたびに直線軌道を描くような基準系を慣性系と呼ぶ。^{[ 14 ]}

ニュートン力学における「絶対空間」の概念の不十分さは、ブラゴジェビッチによって明確に説明されている。^{[ 15 ]}

• 絶対空間の存在は、古典力学の内部論理と矛盾する。なぜなら、ガリレオの相対性原理によれば、どの慣性系も個別に特定することはできないからである。
• 絶対空間は慣性力を説明するものではない。なぜなら、慣性力はいずれかの慣性系に対する加速度に関係しているからである。
• 絶対空間は、物理的な物体に加速度に対する抵抗を生じさせることによって作用するが、絶対空間自体に作用することはできない。

操作的定義の有用性は、特殊相対性理論においてさらに発展した。^{[ 16 ]}ランゲの定義を含む歴史的背景の一部はディサールによって提供されており、要約すると次のようになる。^{[ 17 ]}

「運動法則はどの基準系に対して成り立つのか？」という当初の問いは、そもそも誤っていたことが明らかになった。運動法則は本質的に基準系のクラスを規定し、（原理的には）それらを構築する手順を規定するものである。

ガリレオ変換を用いる古典的な理論では、すべての慣性参照系の等価性が仮定されている。ガリレオ変換は、ある慣性参照系から座標を変換し、${\displaystyle \mathbf {s} }$、別の人にとって、${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$座標の単純な加算または減算によって：

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

$t' = t - t₀$

ここで、r ₀とt _{0 は}空間と時間の原点のずれを表し、vは 2 つの慣性基準系の相対速度です。ガリレオ変換の下では、2 つのイベント間の時間t ₂ − t ₁はすべての基準系で同じであり、 2 つの同時イベント間の距離(または同等に、任意の物体の長さ、| r ₂ − r ₁ |) も同じです。

ニュートン力学の領​​域では、慣性系、または慣性基準系とは、ニュートンの第一運動法則が成り立つ系のことである。^{[ 18 ]}しかし、特殊相対性原理は、慣性系の概念を一般化し、ニュートンの第一法則だけでなく、すべての物理法則を含むようにしている。

ニュートンは、第一法則は絶対空間に対して等速運動（回転も加速もしていない）している任意の基準系で有効であると考えました。実際問題として、「絶対空間」は恒星であると考えられていました^{[ 19 ] [ 20 ]。}相対性理論では、絶対空間または特権的なフレームの概念は放棄され、古典力学の分野では慣性系が次のように定義されます。^{[ 21 ] [ 22 ]}

慣性系とは、力が作用しない粒子の運動が一定の速度で直線的に行われるような座標系のことである。

したがって、慣性系に関して言えば、物体は物理的な力が加えられたときにのみ加速し、（ニュートンの第一運動法則に従って）正味の力がない場合は、静止している物体は静止し続け、運動している物体は等速運動、つまり直線上を一定の速度で運動し続けます。ニュートン慣性系は、ガリレオ対称群に従って相互に変換されます。

この規則が直線運動は正味の力がゼロであることを示していると解釈される場合、直線運動はさまざまな座標系で観測できるため、この規則は慣性座標系を特定しません。この規則が慣性座標系を定義すると解釈される場合、正味の力がゼロになるタイミングを判断できることが重要になります。この問題はアインシュタインによって要約されました。^{[ 23 ]}

慣性の原理の弱点は、それが循環論法を含んでいる点にある。つまり、物体が他の物体から十分に離れていれば、加速度なく運動する。そして、物体が他の物体から十分に離れていることは、加速度なく運動しているという事実によってのみわかるのである。

この問題にはいくつかのアプローチがあります。 1 つのアプローチは、すべての実在力は既知の方法で発生源からの距離とともに減少するため、物体がすべての発生源から十分に離れていれば力が存在しないことが保証されると主張することです。^{[ 24 ]}このアプローチの潜在的な問題は、遠方の宇宙が物質に影響を与える可能性があるという歴史的に長く続いている見解 (マッハの原理) です。 2 つのアプローチは、実在力のすべての実在発生源を特定し、それらを説明することです。 このアプローチの潜在的な問題は、何かを見落としたり、その影響を不適切に説明したりする可能性であり、これもまたマッハの原理と宇宙の不完全な理解による可能性があります。 3 番目のアプローチは、参照フレームを移動するときに力がどのように変換されるかを調べることです。 フレームの加速によって生じる仮想力は、慣性フレームでは消滅し、一般的には変換の規則が複雑です。 物理法則の普遍性と、法則が最も単純に表現されるフレームの要求に基づいて、慣性フレームは、そのような仮想力が存在しないことで区別されます。

ニュートンは運動法則の系の一つで相対性の原理を自ら明言した。^{[ 25 ] [ 26 ]}

ある空間に含まれる物体の運動は、その空間が静止しているか、直線的に等速で前進しているかに関わらず、互いに同じである。

この原理は、特殊原理とは2つの点で異なります。1つ目は、力学に限定されていること、2つ目は、単純性について言及していないことです。相互に移動する参照フレーム間で記述の形式が不変であるという特殊原理を共有しています。^{[ 27 ]}参照フレームを分類する際の仮想力の役割については、以下でさらに詳しく検討します。

日常生活でよくある状況を考えてみましょう。2台の車が一定の速度で道路を走行しています。図1を参照してください。ある特定の瞬間、2台の車は200メートル離れています。前の車は毎秒22メートル、後ろの車は毎秒30メートルで走行しています。2台目の車が1台目の車に追いつくのにかかる時間を調べたい場合、選択できる明らかな「基準系」が3つあります。^{[ 28 ]}

まず、道路脇から2台の車を観察してみましょう。私たちの「基準系」Sを次のように定義します。私たちは道路脇に立ち、2台目の車が私たちを通過する瞬間にストップウォッチを開始します。このとき、2台の車はd = 200 m離れています。どちらの車も加速していないので、次の式で位置を求めることができます。${\displaystyle x_{1}(t)}$は、時間t (秒)経過後の車の位置 (メートル) であり、${\displaystyle x_{2}(t)}$は時刻t後の車 2 の位置です。

${\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200+22t,\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t.}$

これらの式は、予想どおり、 t = 0 秒で最初の車が道路を 200m 進んだところにあり、2 台目の車がすぐ隣にあることを予測していることに注意してください。${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$したがって、我々は${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$そして解く${\displaystyle t}$つまり：

${\displaystyle 200+22t=30t,}$

${\displaystyle 8t=200,}$

${\displaystyle t=25\ \mathrm {秒} 。}$

あるいは、最初の車に位置する参照系S′ を選択することもできます。この場合、最初の車は静止しており、2 番目の車はv ₂ − v ₁ = 8 m/sの速度で後ろから接近しています。最初の車に追いつくには、前と同様に⁠ d / v ₂ − v ₁ ⁠ = ⁠ 200 / 8 ⁠秒、つまり 25 秒かかります。適切な参照系を選択することで、問題がどれほど簡単になるかに注目してください。3 番目に可能な参照系は、2 番目の車に固定されます。この例は、2 番目の車が静止しており、最初の車が8 m/sで後ろ向きに移動する点を除いて、先ほど説明したケースに似ています。

回転しながら加速し、複雑な動きをする基準系を選択することも可能だったが、それでは問題が不必要に複雑になるだけだった。ある座標系で測定された値を別の座標系に変換することは可能である。例えば、あなたの腕時計が現地標準時より5分進んでいるとしよう。もしあなたがそのことを知っていれば、誰かに時刻を尋ねられたときに、腕時計に表示されている時刻から5分を引けば正しい時刻を知ることができる。したがって、観測者がシステムについて行う測定は、観測者の基準系に依存する（実際には3時に到着したのに、5時5分に到着したと言うかもしれない）。

観察者の向きだけを考慮した簡単な例として、南北に走る道路の両側に、互いに向き合って立っている二人の人物を考えてみましょう。図2を参照してください。車が南に向かって二人の横を通り過ぎます。東を向いている人物にとっては、車は右に動いていました。しかし、西を向いている人物にとっては、車は左に動いていました。この食い違いは、二人がこのシステムを調査する際に、それぞれ異なる基準系を用いたためです。

相対運動をしている観測者を含む、より複雑な例として、道路脇に立って左から右へ通り過ぎる車を見ているアルフレッドを考えてみましょう。アルフレッドの基準系では、彼が立っている場所を原点、道路をx軸、前方の方向を正のy軸と定義します。彼から見ると、車はx軸に沿って正のx方向に速度vで移動しています。アルフレッドの基準系は、地球の自転や重力などの影響を無視して加速していないため、慣性系とみなされます。

次に、車を運転しているベッツィについて考えてみましょう。ベッツィは、自分の基準系を選択する際に、自分の位置を原点、右方向を正のx軸、前方方向を正のy軸と定義します。この基準系では、ベッツィは静止しており、周囲の世界が動いています。例えば、ベッツィがアルフレッドの横を通り過ぎるとき、アルフレッドは負のy方向に速度vで動いているように見えます。ベッツィが北に向かって運転している場合、北は正のy方向になります。東に曲がれば、東が正のy方向になります。

最後に、非慣性観測者の例として、キャンディスが車を加速させていると仮定します。キャンディスがアルフレッドのそばを通過する際、アルフレッドはキャンディスの加速度を測定し、負のx方向の加速度がaであることを確認しました。キャンディスの加速度が一定であると仮定すると、ベッツィはどのような加速度を測定するでしょうか。ベッツィの速度vが一定であれば、ベッツィは慣性系にあり、彼女の基準系におけるアルフレッドと同じ、負のy方向の加速度aを測定します。しかし、ベッツィが負のy方向に加速度Aで加速している場合（つまり、減速している場合）、キャンディスの加速度は負のy方向にa′ = a − Aとなり、アルフレッドが測定した値よりも小さくなります。同様に、彼女が正のy方向（加速している方向）に加速度Aで加速している場合、彼女はキャンディスの加速度を負のy方向のa′ = a + Aとして観測するでしょう。これはアルフレッドの測定値よりも大きな値です。

慣性系では、ニュートンの第一法則、慣性の法則が成り立つ。すなわち、あらゆる自由運動は一定の大きさと方向を持つ。^{[ 29 ]}粒子に対するニュートンの第二法則は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

ここで、Fは正味の力（ベクトル）、mは粒子の質量、aは静止した観測者によって測定される粒子の加速度（これもベクトル）である。力Fは、接触力、電磁力、重力、核力など、粒子に作用するすべての「実在する」力のベクトル和である。

対照的に、回転座標系（一種の非慣性座標系）において、軸を中心に角速度Ωで回転するニュートンの第二法則は、次の形式をとる。

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

これは慣性系の場合と同じように見えますが、力F ′ はFだけでなく、追加の項の合成力でもあります (この式の後の段落では、詳細な数式を用いずに要点を説明します)。

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

ここで、フレームの角回転は、回転軸の方向を指し、大きさが回転角速度Ωに等しいベクトルΩで表され、記号×はベクトル外積を表し、ベクトルx _Bは物体の位置を示し、ベクトルv _Bは回転する観測者による物体の速度（慣性観測者から見た速度とは異なる）である。

力F ′ に含まれる追加項は、この座標系における「仮想」力であり、その原因は座標系内のシステムの外部にあります。最初の追加項はコリオリ力、2番目は遠心力、3番目はオイラー力です。これらの項はすべて、次の性質を持ちます。Ω = 0のときに消滅します。つまり、慣性系（もちろん回転しません）ではゼロになります。回転座標系では、Ωの値に応じて大きさと方向が異なります。回転座標系では遍在します（状況に関係なくすべての粒子に影響を与えます）。そして、特に物質など、識別可能な物理的源に明らかな発生源はありません。また、仮想力は距離とともに減少しません（たとえば、核力や電気力とは異なります）。たとえば、回転座標系で回転軸から発生するように見える遠心力は、軸からの距離とともに増加します。

すべての観測者は実在する力Fについて同意する。慣性系以外の観測者のみが仮想的な力を必要とする。慣性系における物理法則は、不必要な力が存在しないため、より単純である。

ニュートンの時代には、恒星が基準系として用いられ、絶対空間に対して静止していると想定されていた。恒星に対して静止している、あるいは恒星に対して等速運動をしている基準系では、ニュートンの運動法則が成り立つと考えられていた。一方、恒星に対して加速している基準系、特に恒星に対して回転している基準系では、運動法則は単純な形では成り立たず、コリオリ力や遠心力といった仮想的な力を加える必要があった。ニュートンは、これらの力がどのように発見され、慣性系ではないことを観察者に明らかにできるかを示すために、2つの実験を考案した。1つは、重心を中心に回転する2つの球をつなぐ紐の張力の例、もう1つは、回転するバケツの中の水面の曲率の例である。どちらの場合も、回転する観測者に対してニュートンの第二法則を適用すると、遠心力とコリオリ力（球の場合は張力、回転するバケツの場合は放物線状の水面）を考慮に入れなければ、観測結果を説明することはできない。

現在では、恒星は固定されていないことが知られています。天の川銀河に存在する恒星は銀河とともに回転し、固有運動を示します。銀河の外にある恒星（かつて恒星と誤認されていた星雲など）も、宇宙の膨張と固有速度によって、独自の運動に参加しています。^{[ 30 ]}例えば、アンドロメダ銀河は秒速117kmで天の川銀河に衝突する軌道に乗っています 。^{[ 31 ]}慣性系の概念は、もはや恒星や絶対空間に結びついていません。むしろ、慣性系の識別は、その系における物理法則の単純さに基づいています。慣性系では、ニュートンの運動法則を記述する際に慣性力を導入する必要がなかったため、自然法則はより単純な形をとります。^{[ 32 ]}

実際には、恒星を基準とした参照系を慣性系のように使用しても、ほとんどずれは生じません。例えば、地球が太陽の周りを公転することによる遠心加速度は、太陽が銀河中心の周りを公転することによる遠心加速度の約3000万倍です。^{[ 33 ]}

さらに説明するために、「宇宙は回転しているのか？」という疑問を考えてみましょう。答えは、物理法則を使用して天の川銀河の形状を説明するかもしれませんが、[ ^{34 ]他}の観測の方がより決定的かもしれません。つまり、マイクロ波背景放射の異方性やビッグバン元素合成のように、より大きな不一致やより小さな測定不確実性を提供するかもしれません。^{[ 35 ] [ 36 ]}天の川の平坦さは、慣性系における回転速度に依存します。見かけの回転速度がすべて慣性系における回転に起因すると仮定すると、この回転の一部が実際には宇宙の回転によるものであり、銀河自体の回転には含まれないと仮定した場合とは異なる「平坦さ」が予測されます。物理法則に基づいて、1つのパラメータが宇宙の回転速度であるモデルが構築されます。回転を考慮したモデルの方が、回転を考慮しないモデルよりも物理法則が観測結果とより正確に一致する場合、他の関連する実験観測結果をすべて考慮した上で、回転の最適値を選択する傾向があります。回転パラメータのどの値も適切ではなく、理論が観測誤差の範囲内に収まらない場合は、物理法則の修正が検討されます。例えば、銀河の回転曲線を説明するために暗黒物質が持ち出されます。これまでのところ、観測結果は宇宙の回転が非常に遅く、100万年あたり1回転よりも速くはないことを示しています。6 × 10 ¹³年 (10 ⁻¹³  rad/年) ^{[ 37 ]}であり、回転があるかどうかについては議論が続いている。しかし、回転が発見された場合、宇宙に固定されたフレームでの観測の解釈は、古典物理学や特殊相対性理論におけるそのような回転に内在する仮想的な力について修正されるか、一般相対性理論における時空の曲率と測地線に沿った物質の運動として解釈される必要がある。^{[ 38 ]}

量子効果が重要となる場合、量子参照系において概念的な複雑さがさらに増す。

加速参照系はしばしば「プライム」フレームとして定義され、そのフレームに依存するすべての変数はプライムで表記されます。例: x′、y′、a′。

慣性座標系の原点から加速座標系の原点へのベクトルは、一般的にRと表記されます。両方の座標系に存在する対象点について、慣性座標系の原点からその点へのベクトルをr、加速座標系の原点からその点へのベクトルをr′と呼びます。

状況の幾何学的観点から

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '.}$

これを時間に関して1階微分と2階微分すると

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} ',}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '.}$

ここで、VとAは慣性系に対する加速系の速度と加速度であり、vとaは慣性系に対する注目点の速度と加速度である。

これらの式は、2 つの座標系間の変換を可能にします。たとえば、ニュートンの第二法則は次のように書くことができます。

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '.}$

力が加わることで加速運動が生じると、慣性の発現が起こります。減速時にバッテリーシステムを充電するように設計された電気自動車がブレーキに切り替わると、バッテリーが充電され、慣性の発現の物理的な強さが示されます。しかし、慣性の発現は加速（または減速）を妨げるものではありません。慣性の発現は、力による速度の変化に応じて起こるからです。回転座標系の観点から見ると、慣性の発現は力（遠心方向、または物体の運動に直交する方向、コリオリ効果）を及ぼしているように見えます。

一般的な加速参照系の例としては、回転と並進の両方を行う参照系が挙げられます（例えば、プレーヤーを持ち運んでいる間に再生されるCDに取り付けられた参照系など）。

この配置により、次の式が得られます（導出については「仮想力」を参照）。

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0},}$

または、加速座標系における加速度を求めるには、

$\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}.}$

質量mを掛けると

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {物理} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {オイラー} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {コリオリ} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {求心} }-m\mathbf {A} _{0},}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {オイラー} }=-m{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '}$(オイラー力)

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}$（コリオリ力）

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldsymbol {\omega }})}$（遠心力）

慣性系と非慣性系は、仮想力の有無によって区別できる。^{[ 2 ] [ 3 ]}

これが非慣性系にあることによる影響は、観測者が計算に仮想的な力を導入する必要があるということである…。

仮想力の存在は、物理法則が利用可能な最も単純な法則ではないことを示している。特殊相対性原理の観点からすると、仮想力が存在するフレームは慣性フレームではない。^{[ 39 ]}

非慣性系の運動方程式は、慣性系の運動方程式とは慣性力と呼ばれる追加項によって異なる。これにより、系の非慣性性を実験的に検出することが可能となる。

非慣性系にある物体は、いわゆる擬似力（仮想力）の影響を受けます。これは、物体に作用する物理的な力ではなく、基準系自体の加速度によって生じる力です。仮想力の例としては、回転する基準系における遠心力やコリオリ力などがあります。

ニュートン力学における慣性系の定義を適用するためには、「仮想的な」力と「実際の」力との区別を明確に理解する必要がある。

例えば、慣性系における静止物体を考えてみましょう。静止しているため、正味の力は作用しません。しかし、固定軸を中心に回転する系では、物体は円運動をしているように見え、向心力を受けます。回転する系が非慣性系であるとどのように判断できるでしょうか。この問題を解決するには 2 つのアプローチがあります。 1 つのアプローチは、仮想力 (コリオリ力と遠心力) の起源を探すことです。これらの力の発生源、関連する力の伝達体、発生源となる物体は存在しないことがわかります。^{[ 40 ]} 2 番目のアプローチは、さまざまな参照系を調べることです。任意の慣性系では、コリオリ力と遠心力は消滅するため、特殊相対性原理を適用すると、これらの力が消滅する系は同じ最も単純な物理法則を共有していると特定され、したがって回転する系は慣性系ではないと判断されます。

ニュートンは、図2と図3に示すように、回転する球体を用いてこの問題を自ら検証しました。彼は、球体が回転していない場合、結び紐の張力はどの基準系でもゼロと測定されることを指摘しました。^{[ 41 ]}球体が回転しているように見えるだけの場合（つまり、回転する基準系から静止した球体を見ている場合）、遠心力とコリオリ力が組み合わさって向心力が供給されるため張力は不要となり、紐の張力がゼロになるのは当然です。球体が実際に回転している場合、観測される張力は円運動に必要な向心力と正確に一致します。したがって、紐の張力を測定することで慣性系を特定できます。慣性系とは、その基準系で観測される運動に必要な向心力と紐の張力が正確に一致する基準系であり、異なる値ではありません。つまり、慣性系とは、仮想力が消滅する基準系です。

直線加速度については、ニュートンは直線加速度の検出不可能性という共通の考えを表現した。^{[ 26 ]}

物体が互いにどのような動きをしているかにかかわらず、平行線方向に等しい加速力によって押し出されると、それらの物体は、そのような力が全く作用していない場合と同じように、互いに動き続ける。

この原理は、慣性系の概念を一般化したものです。例えば、自由落下するエレベーターの中に閉じ込められた観測者は、たとえ重力によって加速していても、エレベーターの外の状況について何も知らなければ、自分自身が有効な慣性系であると主張するでしょう。つまり、厳密に言えば、慣性系は相対的な概念です。このことを念頭に置くと、慣性系は、互いに静止しているか一定速度で移動している系の集合として定義でき、単一の慣性系はこの集合の要素として定義されます。

これらの考え方が成り立つためには、観測対象が、その座標系自体が共有する基準となる共通の加速度を受けている必要がある。例えば、エレベーターの例では、すべての物体が同じ重力加速度を受け、エレベーター自体も同じ速度で加速するため、このような状況が当てはまる。

慣性航法システムは、慣性空間に対する加速度を決定するために、ジャイロスコープと加速度計の集合体を使用します。慣性空間でジャイロスコープが特定の向きに回転した後、角運動量保存の法則により、外部からの力が加えられない限り、その向きを維持する必要があります。 ^{[ 42 ] : 59} 3つの直交するジャイロスコープが慣性基準フレームを確立し、加速度計はそのフレームに対する加速度を測定します。加速度と時計を使用して、位置の変化を計算できます。したがって、慣性航法は外部入力を必要としない推測航法の一種であり、外部または内部の信号源によって妨害されることはありません。^{[ 43 ]}

航海船舶の航行に用いられるジャイロコンパスは、幾何学的な北を特定します。これは、地球の磁場を感知するのではなく、慣性空間を基準として行います。^{[ 44 ]}ジャイロコンパス装置の外側のケーシングは、局所的な鉛直線と一直線になるように保持されています。ジャイロコンパス装置内部のジャイロスコープホイールが回転すると、ジャイロスコープホイールの吊り下げ方によって、回転軸が徐々に地球の軸と一直線になります。地球の軸と一直線になることは、ジャイロスコープの回転軸が地球に対して静止し、慣性空間に対して方向を変える必要がない唯一の方向です。回転後、ジャイロコンパスはわずか15分ほどで地球の軸と一直線になる方向に到達できます。^{[ 45 ]}

Einstein'stheory of special relativity, like Newtonian mechanics, postulates the equivalence of all inertial reference frames. However, because special relativity postulates that the speed of light in free space is invariant, the transformation between inertial frames is the Lorentz transformation, not the Galilean transformation which is used in Newtonian mechanics.

The invariance of the speed of light leads to counter-intuitive phenomena, such as time dilation, length contraction, and the relativity of simultaneity. The predictions of special relativity have been extensively verified experimentally.^[46] The Lorentz transformation reduces to the Galilean transformation as the speed of light approaches infinity or as the relative velocity between frames approaches zero.^[47]

General relativity is based upon the principle of equivalence:^[48][49]

There is no experiment observers can perform to distinguish whether an acceleration arises because of a gravitational force or because their reference frame is accelerating.

This idea was introduced in Einstein's 1907 article "Principle of Relativity and Gravitation" and later developed in 1911.^[50] Support for this principle is found in the Eötvös experiment, which determines whether the ratio of inertial to gravitational mass is the same for all bodies, regardless of size or composition. To date no difference has been found to a few parts in 10¹¹.^[51] For some discussion of the subtleties of the Eötvös experiment, such as the local mass distribution around the experimental site (including a quip about the mass of Eötvös himself), see Franklin.^[52]

アインシュタインの一般相対性理論は、特殊相対性理論の「平坦な」ミンコフスキー空間を、非ゼロの曲率を生み出す計量に置き換えることで、名目上「慣性」効果と「非慣性」効果の区別を修正します。一般相対性理論では、慣性の原理は測地線運動の原理に置き換えられ、物体は時空の曲率によって決まるように運動します。この曲率の結果として、一般相対性理論では、互いに特定の速度で運動している慣性物体が、その速度を維持し続けるとは限りません。この測地線偏差の現象は、ニュートン力学や特殊相対性理論のように、慣性参照系が全体的に存在しないことを意味します。

しかし、一般理論は、曲率効果が重要ではなくなり、以前の慣性系に関する議論が再び適用できるほど十分に小さな時空領域では特殊理論に帰着します。 ^{[ 53 ] [ 54 ]}その結果、現代の特殊相対性理論は、現在では「局所理論」とだけ表現されることがあります。^{[ 55 ]}「局所」は、例えば、天の川銀河全体を包含することができます。天文学者のカール・シュヴァルツシルトは、互いに周回する星のペアの運動を観測しました。彼は、そのような系の星の2つの軌道が同一平面上にあり、2つの星の軌道の近日点が太陽系に対して同じ方向を指していることを発見しました。シュヴァルツシルトは、これは常に観測されていることを指摘しました。観測されたすべての二重星系の角運動量の方向は、太陽系の角運動量の方向に対して固定されています。これらの観測により、彼は銀河内部の慣性系は互いに回転しておらず、天の川の空間はほぼガリレオ的またはミンコフスキー的であると結論付けることができた。^{[ 56 ]}