フックの法則

物理学において、フックの法則は、バネをある距離 ( x )だけ伸ばすか縮めるのに必要な力( F ) はその距離に対して直線的に増減するという経験法則である。つまり、F _s = kxであり、k はバネに特有の定数 ( つまりバネの剛性) であり、x はバネの可能な総変形量に比べて小さい。この法則は、17 世紀のイギリスの物理学者ロバート・フックにちなんで名付けられた。彼は 1676 年にこの法則をラテン語のアナグラムとして初めて述べた。^{[1] [2]}彼は 1678 年にこのアナグラムの解法を次のように発表した^{。 [3]} ut tensio, sic vis (「伸びた分だけ力も大きくなる」または「伸びた分は力に比例する」)。フックは 1678 年の著作で、1660 年からこの法則に気づいていたと述べている。

フックの方程式は、高層ビルに吹く風や、ギターの弦を弾く音楽家など、弾性体が変形する他の多くの状況でも（ある程度）成り立ちます。この方程式が仮定できる弾性体または材料は、線形弾性またはフック型と呼ばれます。

フックの法則は、バネやその他の弾性体が加えられた力に対して実際に示す反応の一次線形近似にすぎません。力が何らかの限界を超えると、この法則は最終的に破綻します。なぜなら、永久変形や状態変化を起こさずに、ある最小サイズを超えて圧縮したり、最大サイズを超えて引き伸ばしたりすることはできないからです。多くの材料は、弾性限界に達するずっと前から、フックの法則から著しく逸脱します。

一方、フックの法則は、力と変形が十分に小さい限り、ほとんどの固体に対して正確な近似値となります。このため、フックの法則は科学と工学のすべての分野で広く使用されており、地震学、分子力学、音響学など多くの分野の基礎となっています。また、バネ秤、圧力計、検流計、機械式時計のテンプの基本原理でもあります。

現代の弾性理論では、フックの法則を一般化して、弾性物体または材料のひずみ(変形) は、それに加えられた応力に比例すると述べています。ただし、一般的な応力とひずみには複数の独立した要素があるため、「比例係数」は単一の実数ではなく、実数の 行列で表すことができる線形マップ(テンソル) になる可能性があります。

この一般的な形式では、フックの法則により、複雑な物体のひずみと応力の関係を、その物体を構成する材料の固有の特性の観点から推測することが可能になります。たとえば、均一な断面を持つ均質な棒は、伸ばされると単純なバネのように動作し、剛性kは断面積に正比例し、長さに反比例することが推測できます。

単純ならせんばねを考えてみましょう。このばねの片端は固定された物体に取り付けられており、自由端はF _sの大きさの力で引っ張られています。ばねは平衡状態に達し、長さはそれ以上変化していないものとします。ばねの自由端が「リラックス」した位置（伸びていないとき）から変位した量をxとします。フックの法則では、 F s = k x {\displaystyle F_{s}=kx} または、同等の式が成り立ちます。 ここで、 k はばねの特性を表す正の実数です。コイル間に隙間があるばねは圧縮することができ、圧縮についても同じ式が成り立ちます。その場合、F _sとx は両方とも負になります。 ^[4]$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$

この式によれば、変位xの関数として作用する力F _sのグラフは、原点を通る直線となり、その傾きはk になります。

バネに関するフックの法則は、バネの自由端を引っ張る物体にバネが及ぼす復元力がF _{s で}あるという慣例に基づいても述べられます。その場合、復元力の方向は変位の方向と反対なので、式は次のようになります。 $${\displaystyle F_{s}=-kx}$$

フックの法則のねじり類似法則は、ねじりバネに適用されます。これは、物体を回転させるために必要なトルク (τ) が、平衡位置からの角度変位 (θ) に正比例することを述べています。これは、物体に加えられるトルクと、ねじりによる結果として生じる角度変形との関係を説明しています。数学的には、次のように表現できます。

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

どこ：

• τ はニュートンメートルまたは N·m で測定されるトルクです。
• k はねじり定数（N·m/ラジアンで測定）であり、ねじりバネの剛性または角度変位に対する抵抗を特徴付けます。
• θ は平衡位置からの角度変位（ラジアンで測定）です。

線形の場合と同様に、この法則はトルクが角変位に比例することを示しており、負の符号はトルクが角変位と反対方向に作用し、システムを平衡状態に戻す復元力を提供することを示しています。

フックのバネの法則は、変形と応力の両方が正と負の両方をとることができる単一の数値で表現できる限り、任意の複雑さを持つあらゆる弾性物体に通常適用されます。

たとえば、2 枚の平行なプレートに取り付けられたゴムのブロックが、伸張や圧縮ではなくせん断によって変形する場合、せん断力F _sとプレートの横方向の変位x はフックの法則に従います (変形が十分に小さい場合)。

フックの法則は、両端で支えられた真っ直ぐな鉄筋またはコンクリートの梁（建物で使用されているものなど）が、中間点に置かれた重りFによって曲げられる場合にも適用されます。この場合の変位x は、梁の横方向の偏差であり、荷重がかかっていない形状に対して測定されます。

軸に沿って伸張または圧縮されるらせんばねの場合、加えられた（または復元する）力と結果として生じる伸張または圧縮は同じ方向（前述の軸の方向）になります。したがって、F _sとx がベクトルとして定義されている場合でも、フックの方程式は有効であり、力のベクトルは伸張ベクトルに固定スカラーを乗じたものであることがわかります。

弾性体の中には、方向の異なる力を受けると、一方向に変形するものがあります。一例として、垂直でも水平でもない横方向の荷重によって曲がる、正方形でない長方形の断面を持つ水平の木製梁が挙げられます。このような場合、変位xの大きさは、力F _sの方向が同じである限り（そしてその値が大きすぎない限り）、力 F s の大きさに比例します。したがって、フックの法則のスカラーバージョンF _s = − kxが成り立ちます。ただし、力のベクトルと変位のベクトルは方向が異なるため、互いのスカラー倍数にはなりません。さらに、それらの大きさの比k は、ベクトルF _sの方向によって異なります。

しかし、このような場合、力と変形ベクトルが十分に小さい限り、それらの間には固定された線形関係が存在することがよくあります。つまり、ベクトルからベクトルへの関数 κが存在し、任意の実数α、βおよび任意の変位ベクトルX ₁、X _{2に対して、} F = κ ( X )、およびκ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ )が成り立ちます。このような関数は (2 次)テンソルと呼ばれます。

任意の直交座標系に関して、力と変位ベクトルは、実数の 3 × 1行列で表すことができます。次に、それらを結ぶテンソルκ は、実係数の 3 × 3 行列κで表すことができ、変位ベクトルを乗じると、力のベクトルが得られます。 つまり、i = 1, 2, 3の場合です。したがって、フックの法則F = κ X は、 XとF が可変方向のベクトルである場合にも成立すると言えます。ただし、オブジェクトの剛性は、単一の実数kではなく、テンソルκです。 $${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$

連続した弾性材料（ゴムのブロック、ボイラーの壁、鉄の棒など）内部の材料の応力とひずみは、数学的にはフックのバネの法則に似た線形関係で結びついており、その名前で呼ばれることが多いです。

しかし、ある点の周りの固体媒体のひずみ状態は、単一のベクトルでは説明できません。同じ物質の塊は、それがどんなに小さくても、異なる方向に沿って同時に圧縮、伸張、せん断される可能性があります。同様に、その塊の応力は、同時に押す、引っ張る、せん断することもあります。

この複雑さを捉えるためには、点の周りの媒体の関連状態を、2 つの 2 次テンソル、つまりひずみテンソル ε (変位Xの代わり) と応力テンソル σ (復元力Fの代わり) で表す必要があります。連続媒体に対するフックのバネの法則の類似物は、次のようになります。ここで、cは 4 次テンソル (つまり、2 次テンソル間の線形写像) で、通常は剛性テンソルまたは弾性テンソルと呼ばれます。次のように書くこともできます。ここで、テンソルsはコンプライアンステンソルと呼ばれ、前述の線形写像の逆を表します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$

デカルト座標系では、応力テンソルとひずみテンソルは 3 × 3 行列で表すことができます。9 つの数値σ _ijと 9 つの数値ε _{kl の}間の線形マッピングであるため、剛性テンソルcは3 × 3 × 3 × 3 = 81 個の実数c _ijklの行列で表されます。フックの法則によれば、 i 、 j = 1,2,3です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$

これら 3 つのテンソルは、一般に媒体内の点ごとに変化し、時間とともに変化することもあります。ひずみテンソルε は、点の近傍における媒体粒子の変位を指定するだけですが、応力テンソルσ は、媒体の隣接する小片が互いに及ぼす力を指定します。したがって、これらは材料の組成や物理的状態とは無関係です。一方、剛性テンソルcは、材料の特性であり、温度、圧力、微細構造などの物理的状態変数に依存することがよくあります。

σ、ε、cの固有の対称性により、後者の弾性係数のうち独立したものは 21 個のみです。^[6] この数は、材料の対称性によってさらに減少します。斜方晶の場合は 9 個、六方晶の場合は 5 個、立方晶の場合は 3 個です。^[7]等方性媒体（どの方向でも同じ物理的特性を持つ）の場合、 c は、体積弾性率 Kとせん断弾性率 Gという2 つの独立した数値にのみ減少します。これらは、それぞれ体積変化とせん断変形に対する材料の抵抗を定量化します。

フックの法則は2つの量の間の単純な比例関係であるため、その公式と結果は、流体の運動や電界による誘電体の分極を記述する法則など、他の多くの物理法則と数学的に類似しています。

特に、弾性応力とひずみを関連付けるテンソル方程式σ = cε は、粘性流体の流れにおける粘性応力テンソルτとひずみ速度テンソルε̇を関連付ける方程式τ = με̇と完全に類似しています。ただし、前者は静的応力 (変形量に関連) に関連し、後者は動的応力 (変形 速度に関連) に関連します。

SI 単位では、変位はメートル (m) で測定され、力はニュートン(N または kg·m/s ² ) で測定されます。したがって、バネ定数kとテンソルκの各要素は、ニュートン毎メートル (N/m) またはキログラム毎秒の 2 乗 (kg/s ² ) で測定されます。

連続媒体の場合、応力テンソルσの各要素は力を面積で割った値です。したがって、圧力の単位、つまりパスカル(Pa、N/m ²、kg/(m·s ² )) で測定されます。ひずみテンソルεの要素は無次元です(変位を距離で割った値)。したがって、 c _ijklの要素も圧力の単位で表されます。

力によって変形された後、その物質の分子または原子が安定した平衡の初期状態に戻り、すぐに元の形状に戻る物体は、多くの場合、フックの法則に従います。

フックの法則は、特定の荷重条件下では一部の材料にのみ適用されます。ほとんどの工学用途では、鋼鉄は線形弾性挙動を示します。フックの法則は、鋼鉄の弾性範囲全体にわたって有効です(つまり、降伏強度以下の応力に対して)。アルミニウムなどの他の材料の場合、フックの法則は弾性範囲の一部に対してのみ有効です。これらの材料には比例限界応力が定義されており、それ以下では線形近似に関連する誤差は無視できます。

ゴムは、その弾性が応力に依存し、温度と荷重率に敏感であるため、一般に「非フック」材料と見なされます。

大変形の場合のフックの法則の一般化は、新フック固体とムーニー・リブリン固体のモデルによって提供されます。

弾性材料の棒は線形バネとして考えることができます。棒の長さはL、断面積はAです。その引張応力 σ は、弾性係数Eによって、その分数伸びまたはひずみεに比例します。 $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

弾性率は、多くの場合、一定であると考えられます。つまり、 （つまり、長さの変化率）であり、 次のようになります。 $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

長さの変化は次のように表される。 $${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

バネに蓄えられた位置エネルギーU _el ( x )は、バネを徐々に圧縮するのに必要なエネルギーを加算することで得られます。つまり、力と変位の積分です。外力は変位と同じ方向を向いているため、バネの位置エネルギーは常に非負です。代入すると、$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$${\displaystyle x=F/k}$$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

このポテンシャルU _{el は、} Ux平面上の放物線として視覚化することができ、U _el ( x ) = ⁠1/2⁠ kx ²。バネが正のx方向に伸びると、位置エネルギーは放物線状に増加します (バネが圧縮されるときも同じことが起こります)。位置エネルギーの変化は一定の割合で変化するため、 変位と加速度がゼロの場合でも U の変化は一定であることに注意してください$${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$

緩和された力の定数（一般化されたコンプライアンス定数の逆）は、通常の「固定された」力の定数とは対照的に、分子系に対して一意に定義されるため、それを使用することで、化学反応の反応物、遷移状態、および生成物に対して計算された力場の間で意味のある相関関係を作成できます。位置エネルギーが内部座標で2次形式で記述できるのと同様に、一般化された力で記述することもできます。 結果として得られる係数はコンプライアンス定数と呼ばれます。 標準モード解析を行う必要がなく、分子の任意の内部座標のコンプライアンス定数を直接計算する方法があります。^{[8]緩和された力の定数（逆コンプライアンス定数）が共有}結合強度記述子として適していることは、1980年に早くも実証されました。 最近、非共有結合強度記述子としての適性も実証されました。^[9]

バネの端に取り付けられた質量m は、調和振動子の典型的な例です。質量をわずかに引っ張ってから放すと、システムは平衡位置を中心に正弦波振動運動を開始します。バネがフックの法則に従い、摩擦とバネの質量を無視できる限り、振動の振幅は一定のままです。その周波数f は振幅とは無関係で、バネの質量と剛性のみによって決まります。 この現象により、船や人々のポケットに入れて持ち運べる 正確な機械式時計や腕時計 の製造が可能になりました。$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

質量m が力定数kのバネに取り付けられ、自由空間で回転する場合、バネの張力 ( F _t ) によって必要な向心力( F _c )が供給されます。 F _t = F _cかつx = rで あるため、次のようになります。 ω = 2π f とすると、上記と同じ周波数方程式が導かれます。 $${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$$${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

等方性材料は、空間の方向に依存しない特性を特徴とする。従って、等方性材料を含む物理方程式は、それらを表すために選択された座標系に依存しない必要がある。ひずみテンソルは対称テンソルである。テンソルのトレースはどの座標系からも独立しているため、対称テンソルの最も完全な座標フリー分解は、定数テンソルとトレースレス対称テンソルの和として表すことである。^[10]したがって、インデックス表記では次の式で表される。 ここで、δ _{ij は}クロネッカーのデルタである。直接テンソル表記では次の式で表される。 ここで、Iは2次単位テンソルである。 $${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

右側の最初の項は定数テンソル（体積ひずみテンソルとも呼ばれる）であり、2 番目の項はトレースレス対称テンソル（偏差ひずみテンソルまたはせん断テンソルとも呼ばれる）です。

等方性材料に対するフックの法則の最も一般的な形式は、次の 2 つのテンソルの線形結合として表すことができます。 ここで、Kは体積弾性係数、G はせん断弾性係数です。 $${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

弾性係数の関係を利用すると、これらの式はさまざまな方法で表現することもできます。等方性材料に対するフックの法則の一般的な形式は、直接テンソル表記で表現され、 ^[11] で、λ = K − ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$2/3⁠ G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂およびμ = G = c ₁₂₁₂はラメ定数、 Iは第 2 階の恒等テンソル、 I は第 4 階の恒等テンソルの対称部分です。 指数表記では、 逆の関係は^{[12]です。 したがって、関係}ε = s  : σ におけるコンプライアンステンソルはです。 ヤング率とポアソン比 を使用すると、等方性材料に対するフックの法則は次のように表すことができます。 これは、工学においてひずみが応力テンソルで表される形式です。 展開された形式の式は、 ここでEはヤング率、 νはポアソン比です。 （ 3-D 弾性を参照）。 $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$

行列形式では、等方性材料に対するフックの法則は次のように表すことができます 。ここで、 γ _ij = 2 ε _ijは工学的せん断ひずみです。逆の関係は次のように表すことができます 。これは 、ラメ定数のおかげで簡略化できます。 ベクトル表記では、これは次のように表されます。 ここで、Iは恒等テンソルです。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$

平面応力条件下では、σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0となる。この場合、フックの法則は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

ベクトル表記では、これは次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

逆関係は通常、簡約形式で表されます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

平面ひずみ条件では、ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0となる。この場合、フックの法則は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

コーシー応力テンソルの対称性( σ _ij = σ _ji ) と一般化フックの法則 ( σ _ij = c _ijkl ε _kl )は、 c _ijkl = c _jiklを意味します。同様に、微小ひずみテンソルの対称性は、 c _ijkl = c _ijlkを意味します。これらの対称性は、剛性テンソルcのマイナー対称性と呼ばれます。これにより、弾性定数の数が 81 から 36 に減少します。

さらに、変位勾配とコーシー応力は仕事共役であるため、応力-ひずみ関係はひずみエネルギー密度汎関数 ( U ) から導くことができ、 微分次数の任意性はc _ijkl = c _klijを意味します。これらは剛性テンソルの主要な対称性と呼ばれます。これにより、弾性定数の数が 36 から 21 に減ります。主要な対称性とマイナーな対称性は、剛性テンソルに 21 個の独立したコンポーネントしかないことを示しています。 $${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

フックの法則の異方性形式を行列表記（フォークト表記とも呼ばれる）で表現すると便利な場合が多い。これを行うには、応力テンソルとひずみテンソルの対称性を利用し、それらを正規直交座標系（e ₁、e ₂、e ₃） の6次元ベクトルとして表現する。 すると、剛性テンソル（c）は次のように表され 、フックの法則は次のように書かれる。 同様に、コンプライアンステンソル（s）は次のように書かれる。 $${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}$$$${\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}$$

線形弾性材料を基準構成から別の構成に回転させた場合、回転構成における剛性テンソルの成分が基準構成の成分と関係^[13] によって関連付けられると、材料は回転に対して対称になります。 ここで、l _abは直交回転行列[ L ]の成分です。同じ関係は反転にも当てはまります。 $${\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}$$

行列表記では、変換された基底（回転または反転）が参照基底と 次 のように関係付けられている場合、さらに、物質が変換[ L ] に関して対称である場合、 $${\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}$$$${\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}$$$${\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}$$

直交異方性材料は3つの直交対称 面を持つ。基底ベクトル（e ₁、e ₂、e ₃）が対称面の法線である場合、座標変換関係は次式を意味する。 この関係の逆は一般に次のように表される^{[14] [ページ必要]} 。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$