線形弾性材料における応力-ひずみ関係
弾性 テンソルは、 線形弾性 材料 の 応力-ひずみ関係 を記述する 4階 テンソルです。 [1] 別名は 弾性率テンソル 、 剛性テンソル です。一般的な記号には 、 や などがあります 。
Ｃ
{\displaystyle \mathbf {C} }
はい
{\displaystyle \mathbf {Y} }
定義式は次のように書ける。
T
私 じゅう
=
Ｃ
私 じゅう け l
え
け l
{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
ここで 、 およびは コーシー応力テンソル と 微小ひずみテンソル の成分であり 、 および は 弾性テンソルの成分です。繰り返しインデックスの合計が暗黙的に求められます。 [注 1]この関係は、 フックの法則を 3D 連続体 に 一般化したものと考えることができます 。
T
私 じゅう
{\displaystyle T^{ij}}
え
け l
{\displaystyle E_{kl}}
Ｃ
私 じゅう け l
{\displaystyle C^{ijkl}}
3D における一般的な 4 階テンソルに は 3 4 = 81 個の独立成分があります が、弾性テンソルには最大 21 個の独立成分しかありません。 [3] この事実は、応力テンソルとひずみテンソルの対称性と、応力が 弾性エネルギー ポテンシャルから生じるという要件から導き出されます。 等方性材料の場合、弾性テンソルには 2 つの独立成分しかなく、 体積弾性率 と せん断弾性率 を選択できます 。 [3]
ふ
{\displaystyle \mathbf {F} }
ふ
私 じゅう け l
{\displaystyle F_{ijkl}}
意味 2つの2階テンソル間の最も一般的な線形関係 は
T
、
え
{\displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {E} }
T
i
j
=
C
i
j
k
l
E
k
l
{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
ここで、は 4階テンソルの成分である 。 [1] [注1] 弾性テンソルは、およびがそれぞれ応力テンソルとひずみテンソルである場合に、次のように定義 さ れる
。
C
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
コンプライアンス テンソルは、 逆 応力-ひずみ関係から定義されます。
K
{\displaystyle \mathbf {K} }
E
i
j
=
K
i
j
k
l
T
k
l
{\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}
両者の関係は
K
i
j
p
q
C
p
q
k
l
=
1
2
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
j
k
)
{\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}
クロネッカーのデルタは どこに あるか 。 [注 2]
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{n}^{m}}
特に明記しない限り、この記事では、 小さなひずみの限界において、線形弾性材料の応力-ひずみ関係から定義されると仮定します。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
特別なケース
等方性 等方性材料の場合、 次のように簡略化される。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
i
j
k
l
=
λ
(
X
)
g
i
j
g
k
l
+
μ
(
X
)
(
g
i
k
g
j
l
+
g
i
l
g
k
j
)
{\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}
ここで 、およびは 物質座標のスカラー関数であり
、は 物質の基準フレームにおける 計量テンソル である。 直交直交座標基底では、上限と下限のインデックスの区別はなく、計量テンソルはクロネッカーのデルタに置き換えることができる。
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
X
{\displaystyle X}
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
C
i
j
k
l
=
λ
(
X
)
δ
i
j
δ
k
l
+
μ
(
X
)
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
k
j
)
[Cartesian coordinates]
{\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}
最初の式を応力-ひずみ関係に代入し、繰り返し指数を合計すると次のようになる。
T
i
j
=
λ
(
X
)
⋅
(
T
r
E
)
g
i
j
+
2
μ
(
X
)
E
i
j
{\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}
ここで は のトレースです 。この形式では、 と は 第 1 および第 2 の Lamé パラメータ と同一視できます。同等の式は次のようになります。
T
r
E
≡
E
i
i
{\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
μ
{\displaystyle \mu }
λ
{\displaystyle \lambda }
T
i
j
=
K
(
X
)
⋅
(
T
r
E
)
g
i
j
+
2
μ
(
X
)
Σ
i
j
{\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}
ここで 体積弾性係数であり、
K
=
λ
+
(
2
/
3
)
μ
{\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }
Σ
i
j
≡
E
i
j
−
(
1
/
3
)
(
T
r
E
)
g
i
j
{\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}
はせん断テンソルの成分です 。
Σ
{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
立方晶 立方晶 の弾性テンソル は、
C
i
j
k
l
=
λ
g
i
j
g
k
l
+
μ
(
g
i
k
g
j
l
+
g
i
l
g
k
j
)
+
α
(
a
i
a
j
a
k
a
l
+
b
i
b
j
b
k
b
l
+
c
i
c
j
c
k
c
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}
ここで 、、、 は 結晶 単位胞 の互いに直交する3つの軸に対応する単位ベクトルである。 係数 、、、 は スカラーであり、座標に依存しないため、固有の材料定数である。したがって、立方対称性の結晶は3つの独立した弾性定数によって記述される。 [9]
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
α
{\displaystyle \alpha }
直交直交座標基底では、上付き添字と下付き添字の区別はなく、 クロネッカーデルタなので、式は次のように簡略化される。
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
C
i
j
k
l
=
λ
δ
i
j
δ
k
l
+
μ
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
k
j
)
+
α
(
a
i
a
j
a
k
a
l
+
b
i
b
j
b
k
b
l
+
c
i
c
j
c
k
c
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}
その他の結晶クラス 他の結晶対称クラス の成分についても同様の表現がある。 これらのいくつかの独立した弾性定数の数は表1に示されている。 [9]
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
プロパティ
対称性 弾性テンソルには、その定義式から直接導かれるいくつかの対称性がある 。 [11] 応力テンソルとひずみテンソルの対称性は、
T
i
j
=
C
i
j
k
l
E
k
l
{\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}
C
i
j
k
l
=
C
j
i
k
l
and
C
i
j
k
l
=
C
i
j
l
k
,
{\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}
通常、応力は弾性エネルギーポテンシャルから生じると想定されます 。
U
{\displaystyle U}
T
i
j
=
∂
U
∂
E
i
j
{\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}
これは
C
i
j
k
l
=
∂
2
U
∂
E
i
j
∂
E
k
l
{\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}
したがって、 最初のインデックスと 2 番目のインデックスのペアの交換に対して対称である必要があります。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
i
j
k
l
=
C
k
l
i
j
{\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}
上記の対称性により、独立したコンポーネントの数は81から21に減少します。材料に追加の対称性がある場合、この数はさらに減少します。 [9]
回転すると、成分は 次のように変化する。
C
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}}
C
i
j
k
l
′
=
R
i
p
R
j
q
R
k
r
R
l
s
C
p
q
r
s
{\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}
ここで、 は 回転基底の共変成分であり、 は対応する 回転行列
の要素です 。 同様の変換規則が他の線形変換にも当てはまります。
C
i
j
k
l
′
{\displaystyle C'_{ijkl}}
R
i
j
{\displaystyle R_{ij}}
不変条件 の成分は、 一般に基底の変化によって異なる値を取得します。ただし、特定の種類の変換では、不変量と呼ばれる、変化しない特定の成分の組み合わせがあります。不変量は、正式には グループ演算と呼ばれる、特定の変換セットに関して定義されます。たとえば、 SO(3) と呼ばれる適切な直交変換のグループに関する不変量は 、任意の3D回転の下で一定のままである量です。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
SO(3)に関して2つの線形不変量と7つの二次不変量を持つ。 線形不変量は
L
1
=
C
i
j
i
j
L
2
=
C
j
j
i
i
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}
そして二次不変量は
{
L
1
2
,
L
2
2
,
L
1
L
2
,
C
i
j
k
l
C
i
j
k
l
,
C
i
i
k
l
C
j
j
k
l
,
C
i
i
k
l
C
j
k
j
l
,
C
k
i
i
l
C
k
j
j
l
}
{\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}
これらの量は線型的に独立であり、つまり、他の量の線型結合として表現することはできない。また、追加の独立した線型不変量や二次不変量が存在しないという意味で完全でもある。
分解 テンソル解析における一般的な戦略は、テンソルをより単純な要素に分解し、個別に解析できるようにすることである。例えば、変位勾配テンソルは次 のように分解できる。
W
=
∇
ξ
{\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }
W
=
1
3
Θ
g
+
Σ
+
R
{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }
ここで は 階数0のテンソル（スカラー）で、 のトレースに等しい 。
は対称でトレースフリーである。 は 反対称である。 [13] 成分ごとに、
Θ
{\displaystyle \Theta }
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
Σ
{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
Σ
i
j
≡
W
(
i
j
)
=
1
2
(
W
i
j
+
W
j
i
)
−
1
3
(
T
r
W
)
g
i
j
R
i
j
≡
W
[
i
j
]
=
1
2
(
W
i
j
−
W
j
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}
ここで、対称化と反対称化はそれぞれ、 とで表されます 。この分解は回転に対して不変であるという意味において既約であり、連続体力学の概念的発展において重要なツールです。 [11]
(
i
j
)
{\displaystyle (ij)}
[
i
j
]
{\displaystyle [ij]}
弾性テンソルはランク4であり、その分解はランク2のテンソルよりも複雑で多様です。 以下にいくつかの例を示します。
M テンソルと N テンソル この分解は、中央の 2 つのインデックスの対称化と反対称化によって得られます。
C
i
j
k
l
=
M
i
j
k
l
+
N
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}
どこ
M
i
j
k
l
≡
C
i
(
j
k
)
l
=
1
2
(
C
i
j
k
l
+
C
i
k
j
l
)
N
i
j
k
l
≡
C
i
[
j
k
]
l
=
1
2
(
C
i
j
k
l
−
C
i
k
j
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}
この分解の欠点は、 とが の最初の2つの添え字の交換に対して対称ではないため、 の元々の対称性すべてに従わないことである 。さらに、これは既約ではないため、回転などの線形変換に対して不変ではない。
M
i
j
k
l
{\displaystyle M^{ijkl}}
N
i
j
k
l
{\displaystyle N^{ijkl}}
C
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}}
既約表現 既約表現は、任意の2つのインデックスの交換に対して不変である完全対称テンソルの概念を考慮することによって構築できます。完全対称テンソルは、 インデックスの
すべての 順列 を合計することによって 構築できます
。
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
4
!
=
24
{\displaystyle 4!=24}
S
i
j
k
l
=
1
4
!
∑
(
i
,
j
,
k
,
l
)
∈
S
4
C
i
j
k
l
=
1
4
!
(
C
i
j
k
l
+
C
j
i
k
l
+
C
i
k
j
l
+
…
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}
ここで は 4つの添え字のすべての順列の集合である。 の対称性により 、この和は
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} _{4}}
C
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}}
S
i
j
k
l
=
1
3
(
C
i
j
k
l
+
C
i
k
l
j
+
C
i
l
j
k
)
{\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}
違い
A
i
j
k
l
≡
C
i
j
k
l
−
S
i
j
k
l
=
1
3
(
2
C
i
j
k
l
−
C
i
l
k
j
−
C
i
k
l
j
)
{\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}
は非対称テンソル（反対称 ではない ）である。分解は 一意かつ に関して既約であることが示される 。言い換えれば、 またはに対する追加の対称化操作は、それを変更しないか、ゼロに評価するかのいずれかになる。また、任意の線形変換、つまり 一般線型群 に関しても既約である 。
C
i
j
k
l
=
S
i
j
k
l
+
A
i
j
k
l
{\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} _{4}}
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
G
(
3
,
R
)
{\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}
しかし、この分解は回転群 SO(3) に関して既約ではありません。代わりに、 3 つの既約部分に分解され、さらに 次の 2 つに分解されます。
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
C
i
j
k
l
=
S
i
j
k
l
+
A
i
j
k
l
=
(
(
1
)
S
i
j
k
l
+
(
2
)
S
i
j
k
l
+
(
3
)
S
i
j
k
l
)
+
(
(
1
)
A
i
j
k
l
+
(
2
)
A
i
j
k
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}
の成分に関する明示的な表現については Itin（2020） を参照。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
この表現は弾性テンソルの空間を部分空間の直和に分解します。
C
=
(
(
1
)
C
⊕
(
2
)
C
⊕
(
3
)
C
)
⊕
(
(
4
)
C
⊕
(
5
)
C
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}
寸法付き
21
=
(
1
⊕
5
⊕
9
)
⊕
(
1
⊕
5
)
{\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}
これらの部分空間はそれぞれ調和テンソル空間 と同型です 。 ここで、 は 階数 の 3D で完全に対称なトレースレステンソルの空間です 。特に、 および は に対応し 、 は に対応し 、 は に対応します 。
H
n
(
R
3
)
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}
H
n
(
R
3
)
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}
n
{\displaystyle n}
(
1
)
C
{\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}
(
4
)
C
{\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}
H
1
{\displaystyle \mathbb {H} _{1}}
(
2
)
C
{\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}
(
5
)
C
{\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}
H
2
{\displaystyle \mathbb {H} _{2}}
(
3
)
C
{\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}
H
4
{\displaystyle \mathbb {H} _{4}}
参照
^ ab ここで、上側と下側の添え字はそれぞれ 反変成分と共変成分を表しますが、 直交座標 ではこの区別は無視できます 。その結果、一部の参考文献では下側の添え字のみを使用して成分を表しています。 ^ 順方向と逆方向の応力-ひずみ関係を組み合わせると、 E ij = K ijpq C pqkl E kl となります。 C pqkl = C qpkl および C pqkl = C pqlk という小さな対称性のため、この式は K ijpq C pqkl を一意に決定しません 。 実際、 K ijpq C pqkl = a δ k i δ l j + (1 − a ) δ l i δ k j は、任意の0 ≤ a ≤ 1 に対して解となります 。 ただし、 a = 1/2のみが K の小さな対称性を保持する ため、これは物理的な観点からは正しい解です。
参考文献
^ Thorne & Blandford 2017、580ページ より。 ^ Thorne & Blandford 2017、581ページより。 ^ abcd ランドー＆リフシッツ 1970. ^ ab Thorne & Blandford 2017より。 ^ ソーン＆ブランドフォード2017、571頁。
文献
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![{\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[直交座標]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d188db9438d6cc19e04c91c09837b54812961069)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji} \right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921f866e55edc117fe767cdba73cdbd375ef0e9b)
![{\displaystyle [ij]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d30520e09683aad1e38713ce1a8182cde93c0ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d9401976ac8af3ff7e71483caaa117a0f65964)
