直交異方性材料

物理理論では、物質の挙動は構成関係によって表される。多くの物理的挙動は、2階テンソルの形をとる線形物質モデルによって表すことができる。物質テンソルは2つのベクトル間の関係を示し、次のように記述できる。

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

どこ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$は物理量を表す2つのベクトルであり、${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$は2階の物質テンソルです。上記の式を直交座標系に関する成分で表すと、次のように書くことができます。

${\displaystyle f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.}$

上記の関係式では、繰り返し添え字についての総和が仮定されています。行列形式では、次のようになります。

${\displaystyle {\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

上記のテンプレートに当てはまる身体的問題の例を以下の表に示します。^{[ 2 ]}

材料マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$与えられた直交変換に関して対称性を持つ（${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$）その変換を受けても変化しない場合。このような変換の下での材料特性の不変性には、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

したがって、物質対称性の条件は（直交変換の定義を用いると）

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

直交変換はデカルト座標で次のように表すことができます。${\displaystyle 3\times 3}$マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$によって与えられた

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

したがって、対称条件は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

直交異方性材料は3つの直交対称面を持つ。3つの対称面の法線と一致する軸を持つ直交座標系を選択すると、変換行列は次のようになる。

${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

行列が${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ある物質が2つの直交平面に関する鏡映に対して不変であるならば、その物質は3つ目の直交平面に関する鏡映に対しても不変である。

反射について考えてみましょう${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}}$について${\displaystyle 1-2\,}$飛行機。それから

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}}$

上記の関係は、${\displaystyle K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0}$次に、反射について考えてみましょう。${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}}$について${\displaystyle 1-3\,}$飛行機。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

それはつまり${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$したがって、直交異方性材料の物性は行列によって記述される。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

線形弾性では、応力とひずみの関係は、考慮する材料の種類に依存します。この関係はフックの法則として知られています。異方性材料の場合、フックの法則は次のように記述できます^{[ 3 ]。}

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$は応力テンソルです。${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$はひずみテンソルであり、${\displaystyle {\mathsf {c}}}$は弾性剛性テンソルです。上記の式のテンソルを直交座標系に関する成分で表すと、次のように書くことができます。

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }}$

ここで、添え字が繰り返される場合は総和をとるものとします。応力テンソルとひずみテンソルは対称であり、線形弾性における応力-ひずみ関係はひずみエネルギー密度関数から導出できるため、線形弾性材料については以下の対称性が成り立ちます。

${\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.}$

上記の対称性により、線形弾性材料の応力-ひずみ関係は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

フォークト記法による別の表現は次のとおりである。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

または

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

剛性マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$上記の関係は点対称性を満たす。^{[ 4 ]}

剛性マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$は、対応する直交変換を受けても変化しない場合、与えられた対称条件を満たします。直交変換は、点、軸、または平面に関する対称性を表すことができます。線形弾性における直交変換には、回転と反射が含まれますが、形状変化変換は含まれません。直交座標では、次のように表すことができます。${\displaystyle 3\times 3}$マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$によって与えられた

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

フォークト表記では、応力テンソルの変換行列は次のように表すことができます。${\displaystyle 6\times 6}$マトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}}$^{[ 4 ]}によって与えられた

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

歪みテンソルの変換は、表記法の選択により若干異なる形式になります。この変換行列は

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

次のように証明できる。${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}}$。

連続体の弾性特性は直交変換の下で不変である${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$^{[ 4 ]}の場合に限り

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

直交異方性弾性材料は、3つの直交対称面を持つ。3つの対称面の法線と一致するような直交座標系を選択すると、変換行列は次のようになる。

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

行列が${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$線形弾性材料が2つの直交平面に関する反射に対して不変であるならば、3番目の直交平面に関する反射に対しても不変である。

反射を考慮すると${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}}$について${\displaystyle 1-2\,}$飛行機、それから

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

次に要件${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$^{[ 4 ]}​

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$

上記の要件は、以下の場合にのみ満たされます。

${\displaystyle C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.}$

次に反射について考えてみましょう${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}}$について${\displaystyle 1-3\,}$飛行機。その場合

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

不変性条件を再び用いると、次の追加要件が得られる。

${\displaystyle C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.}$

第三対称面に関する反射は、既に検討した面に関する反射と独立ではないため、これ以上の情報は得られません。したがって、直交異方性線形弾性材料の剛性行列は次のように記述できます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}}$

この行列の逆行列は一般的に^{[ 5 ]と表記される。}

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle {E}_{\rm {i}}\,}$は軸方向のヤング率です${\displaystyle i}$、${\displaystyle G_{\rm {ij}}\,}$は、方向のせん断弾性率です。${\displaystyle j}$法線が方向にある平面上${\displaystyle i}$、 そして${\displaystyle \nu _{\rm {ij}}\,}$は、方向の収縮に対応するポアソン比です。${\displaystyle j}$方向への延長が適用されるとき${\displaystyle i}$これらの12個の弾性定数のうち、独立しているのは9個だけです。

直交異方性線形弾性材料の応力-ひずみ関係は、フォークト表記で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

コンプライアンスマトリックス${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$は

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}}$

コンプライアンス行列は対称であり、ひずみエネルギー密度が正であるためには正定値でなければなりません。これは、シルベスターの基準から、行列のすべての主小行列式が正であることを意味します^{[ 6 ]}。

${\displaystyle \Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0}$

どこ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}}$は${\displaystyle k\times k}$主小行列${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$。

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}}$

この条件のセットは、^{[ 7 ]を意味することを示すことができます。}

${\displaystyle S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0}$

または

${\displaystyle E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0}$

しかし、ポアソン比の値には同様の下限値を設けることはできない。${\displaystyle \nu _{ij}}$[ ^{6 ]​}