ムーニー＝リブリンは堅実

連続体力学において、ムーニー・リブリン固体^{[ 1 ] [ 2 ]} は、ひずみエネルギー密度関数が${\displaystyle W\,}$これは、左コーシー・グリーン変形テンソルの2つの不変量の線形結合である。${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$このモデルは1940年にメルビン・ムーニーによって提唱され、 1948年にロナルド・リブリンによって不変量を用いて表現された。

非圧縮性ムーニー・リブリン材料のひずみエネルギー密度関数は^{[ 3 ] [ 4 ]である。}

${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,}$

どこ${\displaystyle C_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$は経験的に決定された材料定数であり、${\displaystyle {\bar {I}}_{1}}$そして${\displaystyle {\bar {I}}_{2}}$は、​${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}}$（ユニモジュラーコンポーネント${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$^{[ 5 ]} ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$変形勾配であり、${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$非圧縮性材料の場合、${\displaystyle J=1}$。

ムーニー・リブリンモデルは、一般化リブリンモデル（多項式超弾性モデル^{[ 6 ]}とも呼ばれる）の特殊なケースであり、その形式は次のようになる。

${\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {1}{D_{m}}}~(J-1)^{2m}}$

と${\displaystyle C_{00}=0}$どこ${\displaystyle C_{pq}}$は歪み応答に関連する材料定数であり、${\displaystyle D_{m}}$は体積応答に関連する材料定数である。圧縮性ムーニー・リブリン材料の場合${\displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}$そして私たちは

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}}$

もし${\displaystyle C_{01}=0}$我々は、ムーニー・リブリン固体の特殊な場合であるネオ・フック固体を​​得る。

微小ひずみの極限における線形弾性との整合性を保つためには、

${\displaystyle \kappa =2/D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})}$

どこ${\displaystyle \kappa }$は体積弾性率であり、${\displaystyle \mu }$はせん断弾性率です。

応力のない基準配置を持つ圧縮性超弾性材料におけるコーシー応力は、次式で与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$

圧縮可能なムーニー・リブリン材料の場合、

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}={\frac {2}{D_{1}}}(J-1)}$

したがって、圧縮性ムーニー・リブリン材料におけるコーシー応力は次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}$

代数計算の後、圧力は次のように表されることが示される。

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)\,.}$

ストレスは次のように表現できます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

上記の式は、しばしばユニモジュラーテンソルを用いて記述される。${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

非圧縮性のムーニー・リブリン材料の場合${\displaystyle J=1}$そこには${\displaystyle p=0}$そして${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}}$。 したがって

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.}$

以来${\displaystyle \det J=1}$ケイリー・ハミルトンの定理は、

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.}$

したがって、コーシー応力は次のように表すことができる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}}$

どこ${\displaystyle p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,}$

主伸長に関して、非圧縮性超弾性材料のコーシー応力差は次のように与えられる。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

非圧縮性のムーニー・リブリン材料の場合、

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

したがって、

${\displaystyle \lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})}$

以来${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$.私たちは書くことができます

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

すると、コーシー応力差の式は次のようになる。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)}$

一軸伸長を受ける非圧縮性ムーニー・リブリン材料の場合、${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$そして${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$すると、真の応力（コーシー応力）の差は次のように計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}}$

単純張力

単純な張力の場合、${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$そうすれば、次のように書ける

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)}$

別の表記法では、コーシー応力は次のように表される。${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$そしてストレッチとして${\displaystyle \alpha }$書くことができる

${\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)}$

また、単純引張下の非圧縮性ムーニー・リブリン材料の工学的応力（単位基準面積あたりの力）は、以下を用いて計算できる。 ${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}}$したがって

${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)}$

定義すると

${\displaystyle T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta$ :={\cfrac {1}{\alpha }}}

それから

${\displaystyle T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.}$

傾斜${\displaystyle T_{11}^{*}}$対${\displaystyle \beta }$行は値を示します${\displaystyle C_{2}}$切片は${\displaystyle T_{11}^{*}}$軸は値を示します${\displaystyle C_{1}}$ムーニー・リブリン固体モデルは通常、ネオ・フック固体モデルよりも実験データによく適合するが、追加の経験定数が必要となる。

等二軸引張の場合、主伸長は${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda }$さらに、材料が非圧縮性である場合、${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}}$コーシー応力差は、次のように表すことができる。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)}$

二軸等方引張に関する方程式は、一軸圧縮に関する方程式と等価である。

^{純粋なせん断変形は、 [ 7 ]}のような伸張を加えることによって実現できる。

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

したがって、純せん断に対するコーシー応力差は次のように表すことができる。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)}$

したがって

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

純粋なせん断変形の場合

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1}$

したがって${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$。

単純せん断変形の変形勾配は次の形式をとる^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$は変形面における基準直交基底ベクトルであり、せん断変形は次式で与えられる。

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

行列形式では、変形勾配と左コーシー・グリーン変形テンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

コーシー応力は次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}}$

線形弾性との整合性を保つために、明らかに${\displaystyle \mu =2(C_{1}+C_{2})}$どこ${\displaystyle \mu }$はせん断弾性率です。

ゴム状材料の弾性応答は、ムーニー・リブリンモデルに基づいてモデル化されることが多い。定数${\displaystyle C_{1},C_{2}}$上記の式から予測される応力を実験データに当てはめることで決定されます。推奨される試験は、一軸引張、等二軸圧縮、等二軸引張、一軸圧縮、せん断については平面引張と平面圧縮です。2 パラメータのムーニー・リブリン モデルは、通常、100% 未満のひずみに対して有効です。^{[ 8 ]}

• 有限ひずみ理論
• 連続体力学