横等方性

横等方性（極性異方性とも呼ばれる）材料とは、等方性平面に垂直な軸に対して対称な物理的特性を持つ材料のことである。この横断面は無限の対称面を持つため、この平面内では、材料特性はあらゆる方向で同じである。地球物理学では、垂直横等方性（VTI）は放射状異方性とも呼ばれる。

この種の材料は六方対称性を示す（ただし、厳密には6階以上のテンソルではこれは当てはまらなくなる）ため、（4階の）弾性テンソルの独立定数の数は5つに減少する（完全な異方性固体の場合、独立定数は合計21個）。電気抵抗率、透磁率などの（2階の）テンソルには、2つの独立定数がある。

横等方性材料の例

横等方性材料の一例として、断面が円形の繊維からなるいわゆる軸上一方向繊維複合材積層板が挙げられます。一方向複合材では、励起の波長が長い（周波数が低い）場合、繊維方向に垂直な面を等方面とみなすことができます。右の図では、繊維は $x_{2}$ 軸は、等方性平面に垂直な軸である。

岩石の地質層は、その有効特性に関して、横等方性であると解釈されることが多い。岩石学において、このような層の有効弾性特性を計算する手法は、バッカス・アップスケーリングと呼ばれ、以下に説明する。

材料対称性行列

材料マトリックス ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ 与えられた直交変換に関して対称性を持つ（ ${\boldsymbol {A}}$ ）その変換を受けても変化しない場合。このような変換の下での材料特性の不変性には、

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

したがって、物質対称性の条件は（直交変換の定義を用いると）

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

直交変換はデカルト座標で次のように表すことができます。 $3\times 3$ マトリックス ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ によって与えられた

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

したがって、対称条件は行列形式で次のように表すことができます。

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

横等方性材料の場合、マトリックス ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ 形式は

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.

どこで $x_{3}$ 軸は対称軸である。材料マトリックスは、どの角度の回転に対しても不変である。 $\theta$ について $x_{3}$ -軸。

物理学において

物理学における線形材料構成関係は、次の形式で表現できる。

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

どこ $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ は物理量を表す2つのベクトルであり、 ${\boldsymbol {K}}$ は2階の物質テンソルです。行列形式では、

{\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

上記のテンプレートに当てはまる身体的問題の例を以下の表に示します。^{[ 1 ]}

使用 $\theta =\pi$ で ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ 行列は、 $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$ . 使用 $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ につながる $K_{11}=K_{22}$ そして $K_{12}=-K_{21}$ エネルギー制限は通常、 $K_{12},K_{21}\geq 0$ したがって、我々は $K_{12}=K_{21}=0$ したがって、横等方性材料の物性は行列によって記述される。

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

線形弾性において

材料対称性の条件

線形弾性では、応力とひずみはフックの法則によって関連付けられます。

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

または、フォークト記法を用いると、

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

線形弾性材料における材料対称性の条件は次のとおりです。^{[ 2 ]}

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}

どこ

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

弾性テンソル

特定の値を使用して $\theta$ 行列において ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ [ ³^] 4階の弾性剛性テンソルは、2インデックスのフォークト表記で次のように表せることが示せる^。

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.

弾性剛性マトリックス $C_{ij}$ 5つの独立した定数があり、それらは以下の方法でよく知られた工学的弾性係数と関連付けられています。これらの工学的弾性係数は実験的に決定されます。

コンプライアンス行列（弾性剛性行列の逆行列）は

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}

どこ ${\displaystyle \Delta$ 。工学表記では、

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}

これら2つのコンプライアンス行列の形式を比較すると、縦方向のヤング率は次のように表されることがわかります。

E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})

同様に、横方向のヤング率は

E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})

面内せん断弾性率は

G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}

極軸に沿った荷重に対するポアソン比は

\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})

。

ここで、Lは縦方向（極方向）を表し、Tは横方向を表す。

地球物理学において

地球物理学では、地殻の岩石層は局所的に極性異方性（横等方性）であるという仮定が一般的です。これは地球物理学的に興味深い最も単純なケースです。バッカスアップスケーリング^{[ 4 ]}は、長波長地震波に対する層状媒体の実効横等方性弾性定数を決定するためによく使用されます。

バッカス近似における仮定は以下のとおりです。

すべての材料は線形弾性です
固有のエネルギー散逸源（摩擦など）がない
波長が無限大の極限で有効であるため、層の厚さが波長よりはるかに小さい場合にのみ良好な結果が得られる。
層の弾性特性の分布に関する統計は定常的であり、すなわち、これらの特性には相関的な傾向は見られない。

波長が短い場合、地震波の挙動は平面波の重ね合わせによって記述される。横等方性媒質は、3種類の弾性平面波を支持する。

準P波（偏光方向が伝搬方向とほぼ等しい）
準S波
S波（準S波、対称軸、および伝搬方向に対して直交する方向に偏光している）。

このような媒体における波動伝搬問題の解は、フーリエ合成を用いてこれらの平面波から構築することができる。

バッカス法によるスケールアップ（長波長近似）

均質で等方性の材料の層状モデルは、バックアスによって提案された横等方性媒体にスケールアップすることができる。^{[ 4 ]}

バックアスは等価媒質理論を提示し、不均質媒質を実際の媒質における波動伝播を予測する均質媒質に置き換えることができると述べた。^{[ 5 ]}バックアスは、波長よりもはるかに細かいスケールでの層状構造が影響を及ぼし、多数の等方性層を、無限波長極限における静的荷重下で実際の媒質とまったく同じように振る舞う均質な横等方性媒質に置き換えることができることを示した。

各層が $i$ 5つの横等方性パラメータによって記述される $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$ 行列を指定する

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}

有効媒質の弾性係数は次のようになります。

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}

どこ

{\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}

$\langle \cdot \rangle$ これは、すべての層における体積加重平均を表します。

これには等方性層が含まれます。層が等方性である場合 $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$ 、 $a_{i}=c_{i}$ そして $d_{i}=e_{i}$ 。

短波長および中波長近似

線形弾性横等方性媒体における波動伝播問題の解は、準P波、準S波、および準S波に直交する偏光を持つS波の解を重ね合わせることによって構築できる。しかし、速度の角度変化に関する方程式は代数的に複雑であり、平面波速度は伝播角の関数となる。 $\theta$ ^{[ 6 ]}材料を通過する弾性波の方向依存波速はクリストッフェル方程式を使用して求めることができ、 ^[⁷^]で与えられる。

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}

どこ ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ は対称軸と波の伝播方向との間の角度であり、 $\rho$ 質量密度と $C_{ij}$ これらは弾性剛性行列の要素です。トムセンパラメータは、これらの式を簡略化し、理解しやすくするために使用されます。

トムセンパラメータ

トムセンパラメータ^{[ 8 ]}は、例えば地球物理学などで見られる横等方性材料を特徴づける弾性係数の無次元の組み合わせである。弾性剛性マトリックスの成分に関して、これらのパラメータは次のように定義される。

{\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}

ここで、インデックス3は対称軸を示します（ $\mathbf {e} _{3}$ これらのパラメータは、関連するP波速度およびS波速度と併せて、弱異方性層状媒体における波の伝播を特徴づけるために使用できます。経験的に、ほとんどの層状岩石層のトムセンパラメータは1よりはるかに小さい値です。

この名称は、ヒューストン大学の地球物理学教授であるレオン・トムセンに由来しており、彼は1986年の論文「弱い弾性異方性」の中でこれらのパラメータを提唱した。

波の速度を表す簡略化された式

地球物理学では、弾性特性の異方性は通常弱く、 $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$ 上記の波の速度の正確な式をこれらの微小量で線形化すると、次のように簡略化されます。

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}

どこ

V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}

P波とS波の速度は対称軸の方向です（ $\mathbf {e} _{3}$ （地球物理学では、これは通常、垂直方向ですが、常にそうとは限りません。） $\delta$ さらに線形化することは可能だが、それによってさらなる単純化が実現するわけではない。

波の速度に関する近似式は、物理的に解釈できるほど単純であり、ほとんどの地球物理学的応用において十分な精度を備えている。これらの式は、異方性が弱くない状況においても有用である。

参考文献

↑ミルトン、GW（2002）。複合材料の理論。ケンブリッジ大学出版局。
↑ Slawinski, MA (2010). Waves and Rays in Elastic Continua (PDF) . World Scientific. 2009年2月10日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。
↑これらの値を使用できます $\theta =\pi$ そして $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ 横等方性材料の剛性マトリックスの導出について述べる。計算を容易にするために、特定の値を選択する。
1 2 Backus, GE (1962), 水平層状構造によって生じる長波弾性異方性, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
↑ Ikelle, Luc T. および Amundsen, Lasse (2005)、石油地震学入門、SEG 地球物理学調査 No. 12
↑ Nye, JF (2000).結晶の物理的性質：テンソルと行列による表現. オックスフォード大学出版局.
↑ G. Mavko、T. Mukerji、J. Dvorkin。『岩石物理学ハンドブック』ケンブリッジ大学出版局、2003年（ペーパーバック）。ISBN 0-521-54344-4
↑ Thomsen, Leon (1986). "Weak Elastic Anisotropy". Geophysics . 51 (10): 1954–1966 . Bibcode : 1986Geop...51.1954T . doi : 10.1190/1.1442051 .

[Milton-1] ミルトン、GW（2002）。複合材料の理論。ケンブリッジ大学出版局。

[Slawinski-2] Slawinski, MA (2010). Waves and Rays in Elastic Continua (PDF) . World Scientific. 2009年2月10日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

[note1-3] これらの値を使用できます $\theta =\pi$ そして $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ 横等方性材料の剛性マトリックスの導出について述べる。計算を容易にするために、特定の値を選択する。

[Backus-4] 1 2 Backus, GE (1962), 水平層状構造によって生じる長波弾性異方性, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440

[5] Ikelle, Luc T. および Amundsen, Lasse (2005)、石油地震学入門、SEG 地球物理学調査 No. 12

[6] Nye, JF (2000).結晶の物理的性質：テンソルと行列による表現. オックスフォード大学出版局.

[7] G. Mavko、T. Mukerji、J. Dvorkin。『岩石物理学ハンドブック』ケンブリッジ大学出版局、2003年（ペーパーバック）。ISBN 0-521-54344-4

[T86-8] Thomsen, Leon (1986). "Weak Elastic Anisotropy". Geophysics . 51 (10): 1954–1966 . Bibcode : 1986Geop...51.1954T . doi : 10.1190/1.1442051 .

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