ツェナー比

ゼナー比は、立方晶の異方性を定量化するために使用される無次元数です。異方性比と呼ばれることもあり、クラレンス・ゼナーにちなんで名付けられました。^{[ 1 ]}概念的には、材料が等方性からどれだけ離れているかを定量化します（値が1の場合は等方性材料を意味します）。

その数学的定義は^{[ 1 ] [ 2 ]である。}

${\displaystyle a_{r}={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}},}$

どこ${\displaystyle C_{ij}}$フォークト表記における弾性定数を指します。

立方体材料は、主軸に対する 90° 回転に対して不変な特殊な直交異方性材料です。つまり、材料は主軸に沿って同じです。これらの追加の対称性により、剛性テンソルは、次のような 3 つの異なる材料特性だけで記述できます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .}$

この行列の逆行列は一般的に^{[ 3 ]と表記されます。}

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .}$

どこ${\displaystyle {E}\,}$はヤング率です。${\displaystyle G\,}$はせん断弾性率であり、${\displaystyle \nu \,}$はポアソン比です。したがって、この比は立方体材料のせん断弾性率とその（等方性）等価物との間の関係と考えることができます。

${\displaystyle a_{r}={\frac {G}{E/[2(1+\nu )]}}={\frac {2(1+\nu )G}{E}}\equiv {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}.}$

ゼナー比は立方晶にのみ適用可能です。この制限を克服するために、弾性論とテンソル代数の変分原理から「普遍弾性異方性指数（AU）」^{[ 4 ]}が定式化されました。AUは現在、あらゆる種類の弾性結晶の異方性を定量化するために使用されています。

テンソル異方性指数 A ^{T [ 5 ]}は、完全異方性材料のゼナー比を拡張し、多成分複合材料では必ずしも見られない弾性結晶の内部対称性を示す材料用に設計された AU の制限を克服します。これは、完全異方性剛性テンソルの 21 個の係数すべてを考慮に入れ、剛性テンソル群間の方向の違いをカバーします。

それは2つの主要な部分から構成されています${\displaystyle A^{I}}$そして${\displaystyle A^{A}}$前者は三次テンソルに存在する成分を指し、後者は異方性テンソルに存在する成分を指すため、 ${\displaystyle A^{T}=A^{I}+A^{A}.}$この第1の要素には修正ゼナー比が含まれており、さらに、例えば直交異方性材料に存在する材料の方向差も考慮されています。この指標の第2の要素は${\displaystyle A^{A}}$これは、非立方体材料の場合にのみ非ゼロとなり、それ以外の場合はゼロとなる剛性係数の影響を扱っています。

${\displaystyle A^{I}=A^{I,z}+A^{I,cov}={\frac {2(C_{44}+C_{55}+C_{66})}{(C_{11}+C_{22}+C_{33})-(C_{12}+C_{13}+C_{23})}}+\sum _{i=1}^{3}{\alpha (C_{Gi})},}$

どこ${\displaystyle \alpha (C_{Gi})}$は、材料剛性の方向差を考慮した各剛性グループの変動係数です。${\displaystyle C_{G1}=[C_{11},C_{22},C_{33}],C_{G2}=[C_{44},C_{55},C_{66}],C_{G3}=[C_{12},C_{23},C_{13}].}$立方体材料では、グループ1～3の各剛性成分は等しい値を持つため、この式は立方体材料のゼナー比に直接帰着します。

この指標の2番目の構成要素${\displaystyle A^{A}}$内部構造に対称性がほとんどまたは全くない複雑な材料や複合材料の場合、 はゼロではない。このような場合、残りの剛性係数は 3 つのグループにまとめられ、ゼロではない。${\displaystyle C_{G4}=[C_{34},C_{45},C_{56}],C_{G5}=[C_{14},C_{25},C_{36}],C_{G6}=[C_{24},C_{35},C_{46},C_{15},C_{26},C_{16}].}$

• 異方性
• 直交異方性材料
• 線形弾性