ネオフック立体

新フック固体^{[1] [2]}は、フックの法則に似た超弾性材料モデルであり、大きな変形を受ける材料の非線形応力-ひずみ挙動を予測するために使用できます。このモデルは、不変量を使用して1948年にロナルド・リブリンによって提案されましたが、ムーニーは1940年に伸張形式ですでにバージョンを説明しており、ウォールは1942年にフックモデルとのせん断での同等性を指摘していました。

線形弾性材料とは対照的に、ネオフック材料の応力-ひずみ曲線は線形ではありません。代わりに、適用される応力とひずみの関係は最初は線形ですが、ある時点で応力-ひずみ曲線は平坦になります。ネオフックモデルは、材料を歪ませている間にエネルギーが熱として散逸的に放出されることを考慮せず、変形のすべての段階で完全な弾性が想定されます。物理材料をモデル化するために使用されることに加えて、圧縮下での安定性と高度に非線形な動作により、ネオフック材料は、第3媒体接触法などの仮想媒体アプローチでよく選択されます。

ネオフックモデルは、架橋ポリマー鎖の統計熱力学に基づいており、プラスチックやゴムのような物質に使用できます。架橋ポリマーは、応力が加えられたときにポリマー鎖が互いに相対的に動くことができるため、ネオフックのように動作します。ただし、ある時点でポリマー鎖は共有結合架橋が許す最大点まで引き伸ばされ、材料の弾性率が劇的に増加します。ネオフック材料モデルは、大きなひずみでの弾性率の増加を予測せず、通常、20%未満のひずみに対してのみ正確です。^[3] このモデルは、2軸応力状態にも不十分であり、Mooney-Rivlinモデルに取って代わられました。

3次元記述における非圧縮性ネオフック材料 のひずみエネルギー密度関数は

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}-3)}$

ここで は物質定数であり、 は右コーシー・グリーン変形テンソルの最初の不変量（トレース）である。すなわち、 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}$

主要な区間はどこにあるか。^[2]${\displaystyle \lambda _{i}}$

圧縮性ネオフック材料 の場合、ひずみエネルギー密度関数は次のように表される。

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$

ここでは材料定数、 は変形勾配である。2次元では、ひずみエネルギー密度関数は ${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-2-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

圧縮性ネオフック材料にはいくつかの代替定式化が存在する。例えば、

${\displaystyle W=C_{1}~({\bar {I}}_{1}-3)+\left({\frac {C_{1}}{6}}+{\frac {D_{1}}{4}}\right)\!\left(J^{2}+{\frac {1}{J^{2}}}-2\right)}$

ここで、 は右コーシー・グリーン変形テンソルの等容積部の最初の不変量です。 ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}I_{1}}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {C}}}=(\det {\boldsymbol {C}})^{-1/3}{\boldsymbol {C}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {C}}}$

線形弾性との一貫性を保つために、

${\displaystyle C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {{\lambda }_{L}}{2}}}$

ここで、は第1ラメパラメータであり、はせん断弾性率または第2ラメパラメータです。^[4]およびの代替定義は、特にAbaqusなどの商用有限要素解析ソフトウェアで使用されることがあります。^[5]${\displaystyle {\lambda }_{L}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle D_{1}}$

圧縮性オグデンネオフック材料の場合、コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}\left(2C_{1}({\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {F}}^{-T})+2D_{1}(J-1)J{\boldsymbol {F}}^{-T}\right){\boldsymbol {F}}^{T}}$

ピオラ・キルヒホッフ応力の第一項はここです。右辺を簡略化すると次の式が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$

これは微小ひずみの場合、次の式に等しい。

${\displaystyle \approx 4C_{1}{\boldsymbol {\varepsilon }}+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

フックの法則との比較により、およびであることがわかります。 ${\displaystyle C_{1}={\tfrac {\mu }{2}}}$${\displaystyle D_{1}={\tfrac {\lambda _{L}}{2}}}$

圧縮性リブリン新フック材料の場合、コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

ここで左コーシー・グリーン変形テンソルであり、 ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.}$

微小ひずみ（） の場合${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

フックの法則との比較により、およびであることがわかります。 ${\displaystyle \mu =2C_{1}}$${\displaystyle \kappa =2D_{1}}$

非圧縮性のネオフック材料の場合、${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}}$

ここで、は未定の圧力です。 ${\displaystyle p}$

圧縮性新フック型超弾性材料の場合、コーシー応力の主成分は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3}$

したがって、主応力間の差は

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})}$

主伸張に関して、非圧縮性超弾性材料のコーシー応力差は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

非圧縮性ネオフックアン材料 の場合、

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

したがって、

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}}$

これにより

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}}$

一軸伸張を受ける圧縮性材料の場合、主な伸張は

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}}$

したがって、圧縮性ネオフック材料の真の（コーシー）応力は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

応力差は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

材料が拘束されていない場合は、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

の2つの式を等しくすると、の関数としての関係が得られる。すなわち、 ${\displaystyle \sigma _{11}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

または

${\displaystyle D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0}$

上記の方程式は、ニュートン・ラプソン反復根探索法を使用して数値的に解くことができます。

一軸伸張では、そして。したがって、 ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

側面に牽引力がないものと仮定すると、次のように書ける。 ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)=2C_{1}\left({\frac {3\varepsilon _{11}+3\varepsilon _{11}^{2}+\varepsilon _{11}^{3}}{1+\varepsilon _{11}}}\right)}$

ここで は工学的ひずみである。この式は、次のように別の表記法で書かれることが多い。 ${\displaystyle \varepsilon _{11}=\lambda -1}$

${\displaystyle T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)}$

上記の式は、真応力（伸長力と変形断面積の比）に対するものです。工学応力の場合、式は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

小さな変形の場合は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle \sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon }$

したがって、一軸伸長における新フック固体の等価ヤング率は であり、これは線形弾性（非圧縮性の場合は）と一致します。 ${\displaystyle 3\mu }$${\displaystyle E=2\mu (1+\nu )}$${\displaystyle \nu =0.5}$

等二軸伸長の場合

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

ストレスの違いは

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

材料が平面応力状態にある場合、 ${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

と の間にも関係があります: ${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

または、

${\displaystyle \left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0}$

この方程式はニュートン法を使って解くことができます。 ${\displaystyle J}$

非圧縮性材料の場合、主コーシー応力の差は次の式で表される。 ${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

平面応力条件下では、

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

純粋な膨張の場合

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}}$

したがって、圧縮性ネオフック材料の主コーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)}$

材料が非圧縮性である場合、主応力は任意の値になります。 ${\displaystyle \lambda ^{3}=1}$

下の図は、大きな三軸伸張または圧縮を達成するには、極めて高い応力が必要であることを示しています。同様に、比較的小さな三軸伸張状態は、ゴムのような材料に非常に高い応力を発生させる可能性があります。応力の大きさは、体積弾性率に非常に敏感ですが、せん断弾性率には敏感ではありません。

単純せん断の場合、基準基底に対する成分による変形勾配は^{[2]の形式となる。}

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

ここで、せん断変形である。従って、左コーシー・グリーン変形テンソルは ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

この場合、したがって、。さて、 ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

したがってコーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

非圧縮性ネオフック材料のコーシー応力の関係式を用いると、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}}$

このように、ネオフック固体は、せん断応力がせん断変形に対して線形依存性を示し、法線応力差がせん断変形に対して二次依存性を示します。単純せん断における圧縮性および非圧縮性のネオフック材料の Cauchy 応力の式は同じ量を表し、未知の圧力を決定する手段を提供します。 ${\displaystyle p}$

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