スプリングシステム

工学や物理学において、ばねシステムまたはばねネットワークは、各頂点に位置があり、各辺に所定の剛性と長さのばねが配置されたグラフとして記述される物理モデルです。これはフックの法則を高次元に一般化したものです。この単純なモデルは、結晶格子からばねに至るまで、静的システムの姿勢を解くために使用できます。ばねシステムは、静力学の問題を解くための有限要素法の最も単純なケースと考えることができます。線形ばねと小さな変形（または一次元運動に限定）を仮定すると、ばねシステムは（場合によっては過剰決定）線形方程式系、または同等にエネルギー最小化問題として定式化できます。

1次元空間における3つのノードの単純なケースを考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}}$2 つのバネで接続されています。バネの公称長さLがそれぞれ 1 単位と 2 単位であることがわかっている場合、つまり${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$すると、このシステムは次のように解くことができる。

 2つのバネの伸びは、節点の位置の関数として次のように表される。

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} }$

どこ$\displaystyle B^{\top }}$は、方向付けられた入射行列の転置行列です。

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1&0\\1&-1\\0&1\end{bmatrix}},}$

各自由度を各バネが引っ張る方向に関連付けます。バネにかかる力は

${\displaystyle F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L} }$

ここで、Wは各バネの剛性を表す対角行列です。次に、節点にかかる力は、左から乗算することで与えられます。${\displaystyle B}$平衡状態を見つけるために、これをゼロに設定します。

${\displaystyle F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0}$

これにより、線形方程式が得られます。

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L} }$。

さて、マトリックス${\displaystyle BWB^{\top }}$は特異です。なぜなら、すべての解は剛体並進を除いて等価だからです。ディリクレ境界条件を規定しましょう。${\displaystyle x_{1}=2}$。

例として、Wを単位行列とすると、

${\displaystyle BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}}$

ラプラシアン行列です。${\displaystyle x_{1}=2}$我々は持っています

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$。

2を左辺に組み込むと

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$。

そして、既に知っているシステムの行を削除して単純化すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}}$。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$。

そうすれば解決できる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}}$。

つまり、${\displaystyle x_{1}=2}$規定どおり、${\displaystyle x_{2}=3}$最初のスプリングのたるみを残して、${\displaystyle x_{3}=5}$2番目のバネを緩めたままにする。

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