単純せん断

単純せん断は、材料内の平行な面が平行のまま一定の距離を維持しながら、互いに対して移動する 変形です。

流体力学において、単純せん断は、速度ベクトルの 1 つの成分のみがゼロ以外の値を持つ 変形の特殊なケースです。

${\displaystyle V_{x}=f(x,y)}$

${\displaystyle V_{y}=V_{z}=0}$

そして、速度の勾配は一定であり、速度自体に対して垂直です。

${\displaystyle {\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}={\dot {\gamma }}}$、

ここでせん断速度は: ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}=0}$

この変形の変位勾配テンソルΓには、ゼロでない項が 1 つだけあります。

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

単純せん断は、純粋せん断ひずみと速度の組み合わせです。${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$1/2⁠そして、⁠の速度で回転する${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$1/2⁠ : ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} \\{\mbox{simple shear}}\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}0&{{\tfrac {1}{2}}{\dot {\gamma }}}&0\\{{\tfrac {1}{2}}{\dot {\gamma }}}&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} \\{\mbox{pure shear}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}0&{{\tfrac {1}{2}}{\dot {\gamma }}}&0\\{-{{\tfrac {1}{2}}{\dot {\gamma }}}}&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} \\{\mbox{solid rotation}}\end{matrix}}}$

単純せん断を表す数学モデルは、物理的限界に制限されたせん断マッピングです。これは、行列で表される基本的な線形変換です。このモデルは、一定の断面積を持つ長いチャネルのさまざまな深さでの層流速度を表すことができます。制限されたせん断変形は、地震による被害を制限するための建物の免震など、振動制御にも使用されます。

固体力学では、単純せん断変形は、変形中に長さと方向が変化しない、所定の基準方向を持つ線要素の集合が存在する等容積平面変形として定義されます。 ^[1]この変形は、材料の剛体回転の存在によって純粋なせん断 と区別されます。 ^{[2] [3]}ゴムが単純せん断下で変形する場合、その応力-ひずみ挙動はほぼ線形です。^[4]ねじれを受ける棒は、単純せん断を受ける物体の実用的な例です。^[5]

e _{1 が}変形中に線要素が変形しない固定基準方向であり、e 1 − e 2 が変形面である場合、_単純 せん断 における_変形勾配は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

変形勾配は次のようにも書ける。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}.}$

線形弾性において、せん断応力（ ）はせん断ひずみ（ ）と次の式で関係付けられる： ^[6]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \tau =\gamma G\,}$

ここで、材料の せん断弾性率は次のように表される。${\displaystyle G}$

${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$

ここではヤング率、 はポアソン比です。これらを組み合わせると ${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \tau ={\frac {\gamma E}{2(1+\nu )}}}$

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