音響弾性効果

音響弾性効果とは、弾性材料が初期の静的応力場にさらされた場合に、その音速（縦波速度と横波速度の両方）がどのように変化するかということです。これは、連続質量の材料における機械的応力と有限ひずみとの間の構成関係の非線形効果です。古典的な線形弾性理論では、ほとんどの弾性材料の小さな変形は、加えられた応力と結果として生じるひずみとの間の線形関係によって説明できます。この関係は、一般に一般化フックの法則として知られています。線形弾性理論には、2次の弾性定数（例、および）が含まれ、加えられた応力の影響を受けない、弾性材料内の一定の縦波および横波音速をもたらします。一方、音響弾性効果には、加えられた応力と結果として生じるひずみとの間の構成関係（非線形弾性理論^[1]）の高次展開が含まれ、材料の応力状態に依存する縦波および横波音速をもたらします。応力がかかっていない材料の限界では、線形弾性理論の音速が再現されます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$

音響弾性効果は、1925年にブリルアンによって研究されました。^[2]彼は、音波の伝播速度は加えられた静水圧に比例して減少することを発見しました。しかし、彼の理論の結果、音波は十分に大きな圧力で伝播を停止することになります。この逆説的な効果は、後に弾性パラメータは圧力の影響を受けないという誤った仮定によって引き起こされたことが示されました。^[3]

1937年、フランシス・ドミニク・マーナガン^[4]は、線形弾性理論を拡張して弾性等方性材料の有限変形も含めた数学理論を提示した。この理論には、3つの3次弾性定数、、が含まれていた。1953年、ヒューズとケリー^[5]は、マーナガンの理論を実験に使用して、静水圧と一軸圧縮を受けるポリスチレン、アームコ鉄、パイレックスなどのいくつかの弾性材料の高次弾性定数の数値を確立した。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

音響弾性効果は、非線形弾性材料の有限変形による効果です。これに関する最新の包括的な説明は、^[1]にあります。この本は、非線形弾性理論の応用と、大きな弾性変形が可能な固体材料の機械的特性の分析を扱っています。多結晶鋼のような圧縮性等方性超弾性材料に対する音響弾性理論の特殊なケース^[6]は、Ogden によって提示された非線形弾性理論からこのテキストに再現され、示されています。^[1]

このテキストでも^{[1]でも設定は}等温であり、熱力学については言及されていないことに注意してください。

超弾性材料は、コーシー弾性材料の特殊なケースであり、任意の点における応力は客観的であり、任意の参照構成に対する現在の変形状態によってのみ決定されます(変形の詳細については、「変形 (力学)」および「有限ひずみ」のページも参照)。ただし、応力によって行われる仕事は、変形の経路によって異なる場合があります。したがって、コーシー弾性材料は非保存的構造を持ち、応力はスカラー弾性ポテンシャル関数から導出できません。応力によって行われる仕事が変形の経路に依存しないコーシー弾性材料の特殊なケースは、グリーン弾性材料または超弾性材料と呼ばれます。このような材料は保存的であり、材料の応力はスカラー弾性ポテンシャル (より一般的にはひずみエネルギー密度関数として知られています) によって導出できます。

応力とひずみの構成関係は、選択された応力とひずみの形式に基づいて、さまざまな形式で表現できます。1番目の Piola-Kirchhoff 応力テンソル (公称応力テンソルの転置)を選択すると、圧縮性超弾性材料の構成方程式は、ラグランジュ グリーンひずみ( ) で次のように表現できます。 ここで は変形勾配テンソルであり、2 番目の式ではテンソルのインデックス表記にアインシュタインの総和規則を使用します。は超弾性材料のひずみエネルギー密度関数であり、単位質量あたりではなく単位体積あたりで定義されています。これにより、右辺に基準構成の質量密度を乗じる必要がなくなります。 ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}={\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{または}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,}$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho_{0}}$

スカラーひずみエネルギー密度関数が現在のひずみ におけるテイラー級数展開によって近似できると仮定すると、次のように表現できます (指数表記)。 材料が変形されていない状態 (つまり) でひずみエネルギー関数がゼロで最小値を持つという制約を課すと、ひずみエネルギー関数には定数項も線形項も存在しないことが明らかで、したがって次のようになります。 ここで は2 次弾性係数の 4 次テンソルで、 は3 次弾性係数 の 6 次テンソルです。 の対称性とスカラーひずみエネルギー密度関数を合わせると、2 次弾性係数は次の対称性を持つことになります。 これにより、独立した弾性定数の数が 81 から 36 に減ります。 さらに、べき乗展開により、2 次弾性係数にも主要な対称性があり、これにより、 独立した弾性定数の数がさらに 21 に減ります。 同じ議論を 3 次弾性係数にも適用できます。これらの対称性により、弾性係数をVoigt表記法（つまり、および） で表すこともできます。${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$$${\displaystyle W\およそ C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1} {3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots }$$${\displaystyle W(E_{ij}=0)=0}$$${\displaystyle W\about {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_ {kl}E_{mn}+\cdots ,}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle E_{ij}=E_{ji}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle C_{ijkl}}$$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},}$$$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij},}$$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{IJ}}$${\displaystyle C_{ijklmn}=C_{IJK}}$

変形勾配テンソルは、次のように成分形式で表すことができます。 ここで、は基準構成の座標から変形構成の座標への質点の変位です（有限ひずみ理論のページの図 2を参照）。構成関係にひずみエネルギー関数のべき乗展開を含め、ラグランジュひずみテンソルを有限ひずみテンソルのページで与えられた展開で置き換えると、次の構成方程式が得られます（有限ひずみのページで大文字が使用されているのに対し、このセクションでは小文字が使用されていることに注意してください） 。 ここで 、および高次の項は無視されています^{[7] [8]} （詳細な導出については^[9]を参照）。参考までに、この式 で高次の項を無視すると、次のように簡約されます 。これは一般化フックの法則のバージョンで、は応力の尺度、はひずみの尺度、はそれらの間の線形関係です。 $${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle E_{kl}}$${\displaystyle u}$ $${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},}$$${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}},}$${\displaystyle P_{ij}}$${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$

小さな動的（音響）変形が、すでに静的に応力を受けている材料を乱すと仮定すると、音響弾性効果は、より大きな有限変形に重ね合わされた小さな変形への影響と見なすことができます（small-on-large理論とも呼ばれます）。^[8]与えられた質点の3つの状態を定義しましょう。基準（応力を受けていない）状態では、点は座標ベクトルによって定義されますが、静的な初期応力状態（つまり、適用された予応力の影響下）では、同じ点は座標ベクトルを持ちます。最後に、小さな動的擾乱（音響応力場）下の質点が座標ベクトルを持つと仮定します。すると、質点の全変位（静的予応力と動的音響擾乱の両方の影響下）は、変位ベクトルで表すことができます。ここで、は 、 適用された予応力による静的（ラグランジュ）初期変位、および音響擾乱による（オイラー）変位をそれぞれ表します。 コーシーの第一運動法則（または線形運動量のバランス）は、小対大の仮定が成り立つと仮定して、 中間のラグランジュ変形の観点から導かれる。一定の物体力（つまり重力）の影響を無視した コーシーの第一運動法則 のラグランジュ形式を使用すると、次の式が得られる。${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x'}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {x}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$$${\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|\ll |{\boldsymbol {u}}^{(0)}|}$$$${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.}$$

このテキストでは、下付き/上付き文字の「0」は応力のない基準状態を表すために使用され、点線の変数は通常どおり変数の時間 ( ) 導関数であり、ラグランジュ座標${\displaystyle t}$系に関する発散演算子であることに注意してください。${\displaystyle \operatorname {Div} }$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

運動の法則の右側（時間依存部分）は、応力がかかっていない状態と初期変形状態の両方が静的であり、したがって であるという仮定の下では、 として表すこと ができ ます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$${\textstyle \partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(0)}/\partial t^{2}=\partial ^{2}{\boldsymbol {X}}/\partial t^{2}=0}$

左側（空間依存部分）については、に関する空間ラグランジアン偏微分は、連鎖律を使用し、変位ベクトル間の関係を介して変数を変更することによって、オイラー形式で展開できます。 ^[8] ここでは短縮形が使用されています。したがって 、さらに静的初期変形（プレストレス状態）が平衡状態にあると仮定すると、 となり、運動の法則は、上記の構成方程式と組み合わせて、静的初期変形と追加の動的擾乱との間の線形関係（つまり、 の高次項）に簡約できます。 ^[7]（詳細な導出については ^[9]を参照） ここで この表現は、線形波動方程式 として認識されます。形式の 平面波を考えます 。ここで、は伝播方向のラグランジアン単位ベクトル（つまり、波面に対して垂直な波数に平行）、は分極ベクトルと呼ばれる単位ベクトル（粒子の運動方向を記述する）、は位相波速度、は2回連続微分可能な関数（たとえば正弦関数）です。この平面波を上で導出した線形波動方程式に挿入すると、^[10]が得られます。 ここで、は音響テンソルとして導入され、は^[10]としてに依存します。 この式は伝播条件と呼ばれ、与えられた伝播方向に対して、平面波に対応する可能性のある波の速度と分極を決定します。波の速度は、特性方程式^[10]で決定できます。 ここで、は行列式、は単位行列です。 ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots }$$${\displaystyle u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j}}$$${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle u_{m,n}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)}$$${\displaystyle B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},}$$$${\displaystyle B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}=\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {m}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.}$$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ $${\displaystyle \det({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,}$$${\displaystyle \det }$${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

超弾性材料は対称的（ただし一般にはそうではない）であり、したがって固有値（）は実数である。波の速度も実数であるためには、固有値が正でなければならない。^[1]この場合、与えられた伝播方向 に対して、互いに直交する 3 つの実平面波が存在する。音響テンソルの 2 つの式から、^[10] とすべての非ゼロベクトル および に対する不等式（強楕円条件とも呼ばれる）は、均質平面波の速度が実数であることを保証することが明らかである。偏光は、粒子の動きが伝播方向と平行である縦波（圧縮波とも呼ばれる）に対応します。2 つの偏光は、粒子の動きが伝播方向と直交する横波（せん断波とも呼ばれる）に対応します。 ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle \rho _{0}c^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},}$$${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0}$

ラグランジュひずみテンソルのような2次等方性テンソル（つまり、どの座標系でも同じ成分を持つテンソル）には不変量があり、ここで はトレース演算子、 です。したがって、等方性材料のひずみエネルギー関数は、またはその重ね合わせで表すことができ、次のように書き直すことができます^[8] 。 ここで、は定数です。定数と は、ラメパラメータとしてよく知られている2次弾性係数であり、と はによって導入された3次弾性係数で、^[11]は Murnaghan によって導入されたおよび の代替ですが同等です。^{[4]これをひずみエネルギー関数の一般表現と組み合わせると、 [8]} であることがわかります。 ここで です。歴史的に、これらの3次弾性定数の異なる選択が使用されており、いくつかのバリエーションを表1に示します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle q\in \left\{1,2,3,\dots \right\}}$${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})=W(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}),\,k\in \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$ $${\displaystyle W={\frac {\lambda }{2}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{2}+\mu \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {C}{3}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{3}+B(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {A}{3}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{3}+\cdots ,}$$${\displaystyle \lambda ,\mu ,A,B,C}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle l,m,}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta I_{ijkl},\\C_{ijklmn}&=2C\delta _{ij}\delta _{kl}\delta _{mn}+2B(\delta _{ij}I_{klmn}+\delta _{kl}I_{mnij}+\delta _{mn}I_{ijkl})+{\frac {1}{2}}A(\delta _{ik}I_{jlmn}+\delta _{il}I_{jkmn}+\delta _{jk}I_{ilmn}+\delta _{jl}I_{ikmn}),\end{aligned}}\!\,}$$${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$

表2と表3は、文献に記載されているいくつかの鋼種の2次および3次の弾性定数を示しています。

圧縮性固体の直方体サンプルは、応力がかかっていない基準構成では、直交座標 で表すことができます。ここで、形状はラグランジュ座標系と一致し、 は基準構成における直方体の辺の長さです。直方体に -方向の一軸張力をかけると、純粋な均一ひずみで変形し、変形構成における物質点の座標は で表すことができ、 -方向 の伸びが得られます 。ここで は直方体の側面の現在の（変形された）長さ、 を表します。ここで、現在の構成と基準構成の辺の長さの比は で示され、 主伸縮と呼ばれます。等方性材料の場合、これは回転を伴わない変形に対応します（および回転である変形勾配テンソルの極分解を参照してください）。これは、主伸縮を固有値としてスペクトル表現するか、または同等に伸びで記述できます。 ${\displaystyle X_{i}\in [0,L_{i}],\,i=1,2,3}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}=\lambda _{1}X_{1},x_{2}=\lambda _{2}X_{2},x_{3}=\lambda _{3}X_{3}}$$${\displaystyle e_{i}\equiv l_{i}/L_{i}-1=\lambda _{i}-1}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle l_{i}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \lambda _{i}\equiv l_{i}/L_{i}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {RU}}={\boldsymbol {VR}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

-方向の一軸張力（ ）については、がいくらか増加すると想定します。側面に牽引力がない場合は（つまり）、横方向の伸びと は範囲 に制限されます。等方性対称性の場合、横方向の伸び（または収縮）も等しくなければなりません（つまり）。範囲は、全横方向収縮（ 、これは非物理的です）から横方向寸法に変化がない（ ）までの範囲に対応します。理論的には、範囲は、軸方向寸法の増加の結果として横方向寸法が増加するのに対応する よりも大きい値まで拡張できることに留意してください。ただし、この特性を示す材料（オーセチック材料と呼ばれる）はごくわずかです。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle P_{11}>0}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle P_{22}=P_{33}=0}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{2},e_{3}\in (-1,0]}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=0}$

強い楕円条件 ( ) が成り立つ場合、3 つの直交する偏光方向 ( は、与えられた伝搬方向 に対して非ゼロの実音速を与えます。以下では、適用された一軸張力、伝搬方向、および正規直交偏光ベクトルのセットの 1 つを選択して音速を導出します。 -方向に適用される一軸張力について、適用された張力に直交して伝搬する波 (たとえば、伝搬ベクトル で -方向)の音速を導出すると、正規直交偏光の 1 つの選択は となり 、3 つの音速を与えます 。ここで、音速の 最初のインデックスは伝搬方向 (ここでは-方向) を示し、2 番目のインデックスは選択された偏光方向 (は伝搬方向の粒子の動き、つまり縦波に対応し、伝搬方向に垂直な粒子の動き、つまり横波に対応します) を示します。 ${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}$$${\displaystyle \{{\boldsymbol {m}}\}={\begin{cases}\mathbf {m} _{1}=\mathbf {\hat {x}} _{1}=[1,0,0]&\|\,{\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{2}=\mathbf {\hat {x}} _{2}=[0,1,0]&\perp {\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{3}=\mathbf {\hat {x}} _{3}=[0,0,1]&\|\,{\textrm {to}}\,\mathbf {N} \end{cases}}}$$$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=B_{3333},\qquad \rho _{0}c_{31}^{2}=B_{1313},\qquad \rho _{0}c_{32}^{2}=B_{2323},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{ij}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$

音響テンソルの関連係数を展開し、2次および3次の弾性係数とをそれぞれ等方性等価物とに置き換えると、音速は次のように表される 。 ここで、 音響弾性係数は3次弾性定数の影響に関連する。^[18]${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle A,B,C}$$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=\lambda +2\mu +a_{33}e_{1},\qquad \rho _{0}c_{3k}^{2}=\mu +a_{3k}e_{1},\quad k=1,2}$$$${\displaystyle a_{33}=-{\frac {2\lambda (\lambda +2\mu )+\lambda A+2(\lambda -\mu )B-2\mu C}{\lambda +\mu }}}$$ $${\displaystyle a_{31}={\frac {(\lambda +2\mu )(4\mu +A)+4\mu B}{4(\lambda +\mu )}}}$$ $${\displaystyle a_{32}=-{\frac {\lambda (4\mu +A)-2\mu B}{2(\lambda +\mu )}}}$$

何らかの応力状態にある材料の音速、より具体的には音速の変化を測定するには、問題の材料を伝搬する音響信号の速度を測定します。これを行うにはいくつかの方法がありますが、それらはすべて音速の 2 つの物理的関係の 1 つを使用します。最初の関係は、信号が 1 つのポイントから別のポイント (通常は 2 つの音響トランスデューサ間の距離、または 1 つのトランスデューサから反射面までの距離の 2 倍) に伝搬するのにかかる時間に関連しています。これは「飛行時間」 (TOF) 測定と呼ばれることが多く、 という関係を使用します。ここで は信号が移動する距離、 はこの距離を移動するのにかかる時間です。2 番目の関係は、時間の逆数、つまり信号の周波数に関連しています。ここでの関係は で、は信号の周波数、は波長です。周波数を測定対象として使用する測定では、波長の数が信号が共鳴する長さと一致する音響共鳴現象を使用します。これら両方の方法は、測定する距離に依存しており、飛行時間法のように直接的に、または試料の物理的範囲にわたって共鳴する波長の数を一致させることによって間接的に測定します。 $${\displaystyle c={\frac {d}{t}}}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle c=f\lambda }$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$

一般に、固体内の音速を測定するトランスデューサ システムを設定する方法は 2 つあります。1 つは、2 つ以上のトランスデューサを使用して、1 つが送信機として機能し、もう 1 つが受信機として機能する設定です。音速測定は、トランスデューサで信号が生成されてから受信機で記録されるまでの時間を測定することで実行できます。このとき、音響信号がトランスデューサ間を移動した距離を知っている (または測定している) と仮定するか、逆に、波が共鳴する厚さがわかっている場合は共振周波数を測定します。もう 1 つのタイプの設定は、パルス エコー システムと呼ばれることがよくあります。このシステムでは、1 つのトランスデューサが試料の近くに配置され、送信機と受信機の両方として機能します。これには、生成された信号がトランスデューサに向かって反射される反射インターフェイスが必要です。トランスデューサは、反射信号を記録する受信機として機能します。一部の測定システムについては、 超音波テストを参照してください。

上で説明したように、固体内の特定の伝播方向に対して、粒子運動の 3 つの正規直交偏光 ( ) のセットが存在します。 トランスデューサを調査対象のサンプルに直接固定できる測定セットアップの場合、必要な偏光を励起するさまざまなタイプのトランスデューサ (必要な振動モードを持つ圧電トランスデューサなど) を適用することで、これらの 3 つの偏光 (1 つの縦波と 2 つの直交横波) を作成できます。 したがって、トランスデューサの種類の選択に応じて、時間依存または周波数依存の測定セットアップのいずれかを使用して、3 つの偏光すべてで音速を測定することができます。 ただし、トランスデューサを試験片に固定できない場合は、トランスデューサから試験片に音響エネルギーを伝達するための結合媒体が必要です。 この結合媒体として、水またはゲルがよく使用されます。 縦方向の音速の測定にはこれで十分ですが、流体は横波を運ばないため、試験片で横波の速度を生成して測定するには、入射縦波が流体/固体表面で斜めの角度で相互作用し、モード変換によって横波を生成する必要があります。このようなせん断波は、固体/流体表面で縦波に変換され、流体を通って記録トランスデューサーまで戻り、結合媒体を介したせん断波速度の測定も可能になります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

業界が保守および修理コストの削減に努める中、生産管理においても、また主要インフラの利用状況や状態を測定する手段としても、構造物の非破壊検査の重要性が高まっています。材料の応力を測定する測定技術はいくつかあります。しかし、光学測定、磁気測定、X 線回折、中性子回折を使用する技術は、いずれも表面または表面付近の応力やひずみの測定に限られています。音波は材料を容易に伝播するため、構造物の内部を調べる手段となり、そこでは応力とひずみのレベルが全体的な構造の完全性にとって重要となります。このような非線形弾性材料 (アルミニウムや鋼鉄などの一般的な建築材料を含む) の音速は応力に依存するため、音響弾性効果の応用例として、さまざまな音響プローブ (超音波検査など) を使用して音速の変化を測定し、荷重がかかった材料の内部の応力状態を測定することが挙げられます。

地震学は、地球を伝わる弾性波を研究するもので、地震研究や地球内部のマッピングなどに利用されています。地球内部はさまざまな圧力にさらされているため、音響信号はさまざまな応力状態の媒体を通過する可能性があります。そのため、音響弾性理論は、非線形波動の挙動を使用して地球物理学的特性を推定できる場合に実用的になる可能性があります。^[8]

その他の応用としては、医療用超音波検査や弾性組織における応力や圧力レベルを測定する エラストグラフィー（例えば^{[19] [20] [21]} ）があり、非侵襲的診断を強化する。

• 音響弾性測定
• 有限ひずみ
• 音速
• 超音波検査