弾性エネルギー

弾性エネルギーとは、物質または物理システムが、加えられた仕事によって弾性変形を受けるときに、その構成に蓄えられる機械的エネルギーのことです。弾性エネルギーは、物体が一時的に圧縮、伸張、または一般的に何らかの方法で変形されるときに発生します。弾性理論は主に固体および材料の力学の形式論を開発します。^{[ 1 ]}弾性位置エネルギー方程式は、機械的平衡位置の計算に使用されます。このエネルギーは、電池や粘土の化学的位置エネルギーによって物体が元の形状に戻る（再形成）ときに、運動エネルギーや音エネルギーなどの他の形態のエネルギーに変換されるため、位置エネルギーです。

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\デルタ x^{2}}$$

弾性の本質は可逆性にある。弾性材料に力が加わると、材料にエネルギーが伝達され、そのエネルギーを周囲に放出することで元の形状に戻ることができる。しかし、すべての材料には、内部構造が破壊されたり不可逆的に変化したりすることなく耐えられる変形の程度に限界がある。そのため、固体材料の特性評価には、通常はひずみという形で、その弾性限界の指定が含まれる。弾性限界を超えると、材料は、加えられた機械的仕事から得られたエネルギーのすべてを弾性エネルギーの形で蓄えることはなくなる。

物質の弾性エネルギーは、静的な配置エネルギーです。これは主に原子核間の距離の変化によって蓄えられるエネルギーに対応します。熱エネルギーは、物質内の運動エネルギーのランダムな分布であり、平衡配置を中心とした物質の統計的なゆらぎをもたらします。ただし、相互作用があります。たとえば、一部の固体では、ねじれ、曲げ、その他の歪みによって熱エネルギーが発生し、物質の温度が上昇することがあります。固体中の熱エネルギーは、フォノンと呼ばれる内部弾性波によって運ばれることがよくあります。孤立した物体のスケールで大きな弾性波は、通常、巨視的な振動を引き起こします。弾性は一般的に固体や物質の力学に関連付けられていますが、古典熱力学の初期の文献でさえ、「流体の弾性」を上記の序論で提供された広い定義と互換性のある方法で定義および使用しています。^{[ 2 ] : 107 et seq.}

固体には、複雑な挙動を示すこともある複雑な結晶性物質が含まれる。対照的に、圧縮性流体、特に気体の挙動は、ほとんど複雑さを伴わずに弾性エネルギーの本質を示している。単純な熱力学的公式は次のとおりである。${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$ここで、dU は回復可能な内部エネルギーUの微小変化、Pは対象となる材料サンプルに加わる均一圧力 (単位面積あたりの力)、dV は内部エネルギーの変化に対応する体積の微小変化です。マイナス符号は、正の圧力による圧縮下でdVが負となり、内部エネルギーも増加するためです。反転すると、システムが行う仕事は、体積増加の正のdVに対応する内部エネルギーの変化の負の値になります。システムは、周囲に対して仕事をするときに蓄積された内部エネルギーを失います。圧力は応力であり、体積変化は材料内の点の相対的な間隔の変化に対応します。上記の式の応力-ひずみ-内部エネルギーの関係は、複雑な結晶構造を持つ固体材料の弾性エネルギーの定式化で繰り返されます。

機械システムの構成要素は、システムに力が加えられた際に変形すると、弾性位置エネルギーを蓄えます。エネルギーは、外部の力が物体を変位または変形させる際に、仕事によって物体に伝達されます。伝達されるエネルギー量は、力と物体の変位のベクトル内積です。システムに力が加えられると、その力は内部で構成要素に分配されます。伝達されたエネルギーの一部は、獲得した速度の運動エネルギーとして蓄えられることがありますが、構成要素の変形によって弾性エネルギーが蓄積されます。

代表的な弾性部品はコイルばねです。ばねの線形弾性特性は、ばね定数と呼ばれる比例定数によって規定されます。この定数は通常kで表され（フックの法則も参照）、コイルの形状、断面積、変形前の長さ、およびコイルを構成する材料の性質に依存します。ある一定の変形範囲内では、k は一定であり、変位と、その変位におけるばねによって生じる復元力の大きさとの比の負の値として定義されます。

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

変形後の長さは、L の場合の結果である可能性があり、変形前の長さL _oよりも大きい場合も小さい場合もあるため、 k を正に保つには、F _{r を}復元力のベクトル成分として与える必要があり、その符号はL > L _{oの場合は負、} L < L _oの場合は正になります。変位を次のように略記すると$${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$するとフックの法則は通常の形式で記述できる。$${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

バネに吸収され保持されるエネルギーは、フックの法則を使用して復元力を計算することで、加えられた力の尺度として導き出すことができます。これには、ほとんどの場合において十分に正しい仮定、つまり、ある瞬間において加えられた力の大きさが一定であるという仮定が必要です。

微小変位dxごとに、加えられる力は単純にkxであり、これらの積はばねへの微小エネルギー伝達dUである。したがって、変位ゼロから最終長さ L までばねに蓄えられる全弾性エネルギーは、積分である。$${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

ヤング率Y (弾性率λと同じ)、断面積A ₀、初期長さl ₀の材料を長さだけ伸ばすと、${\displaystyle \Delta l}$: $${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$ここで、U _eは弾性位置エネルギーである。

単位体積あたりの弾性ポテンシャルエネルギーは次式で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$ どこ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$これは材料のひずみです。

一般的に、弾性エネルギーは、ひずみテンソル成分ε _ijの関数としての単位体積あたりの自由エネルギーfで与えられる。$${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$ ここで、λとμはラメ弾性係数であり、アインシュタインの総和規約を使用する。応力テンソル成分とひずみテンソル成分の間の熱力学的関係に注目すると、^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$ ここで添え字Tは温度が一定に保たれていることを示し、フックの法則が成り立つ場合、弾性エネルギー密度は次のように書けることがわかります。 $${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

物質は、引き伸ばし、せん断、曲げ、ねじりなど、さまざまな方法で変形する可能性があります。それぞれの変形は、変形した物質の弾性エネルギーに寄与します。直交座標系では、ひずみによる単位体積あたりの弾性エネルギーは、以下の寄与の合計となります。 $${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$ どこ${\displaystyle C_{ijkl}}$は、弾性テンソルまたは剛性テンソル^{[ 3 ]}と呼ばれる4階テンソルであり、機械システムの弾性係数の一般化である。${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$は歪みテンソルです（アインシュタインの総和表記法は、繰り返し添え字に対する総和を意味します）。${\displaystyle C_{ijkl}}$材料の結晶構造に依存する: 一般的には、対称性のため${\displaystyle \sigma }$そして${\displaystyle \varepsilon }$弾性テンソルは21個の独立した弾性係数から構成されます。^{[ 4 ]}この数は材料の対称性によってさらに減らすことができます。斜方晶系結晶の場合は9個、六方晶系構造の場合は5個、立方晶系の場合は3個です。^{[ 5 ]}最後に、等方性材料の場合、独立したパラメータは2つだけであり、${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$、 どこ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$はラメ定数であり、${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。

ひずみテンソル自体は、全回転に対して不変性をもたらすようなあらゆる方法で歪みを反映するように定義できますが、弾性テンソルが通常表現される際の最も一般的な定義では、ひずみは、すべての非線形項を省略した変位勾配の対称部分として定義されます。 $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$ どこ${\displaystyle u_{i}}$は、${\displaystyle i}$方向と${\displaystyle \partial _{j}}$は偏微分です${\displaystyle j}$第 1 方向。注意: $${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$ 総和を意図していない箇所。完全なアインシュタイン記法では、インデックスの上げ下げペアについて総和をとりますが、弾性テンソルおよびひずみテンソルの成分の値は通常、すべてのインデックスを下げて表されます。したがって、（ここでのように）一部の文脈では、繰り返されるインデックスがそのインデックスの値の総和を意味しないことに注意してください（${\displaystyle j}$この場合）ですが、単にテンソルの単一の成分にすぎません。

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• Eshelby, JD (1975年11月)「弾性エネルギー運動量テンソル」Journal of Elasticity . 5 ( 3–4 ): 321–335 . doi : 10.1007/BF00126994 . S2CID 121320629 .