平面応力

連続体力学では、特定の平面にわたって応力ベクトルがゼロである場合、材料は平面応力を受けていると言われます。薄いプレートの場合によくあるように、構造の要素全体でその状況が発生すると、応力状態を2次元のテンソル（3×3ではなく2×2行列として表すことができる）で表すことができるため、応力解析は大幅に簡素化されます。 ^[1]関連する概念である平面ひずみは、非常に厚いメンバーによく適用されます。

平面応力は、通常、薄い平板に平行な荷重力のみが作用する場合に発生します。状況によっては、緩やかに湾曲した薄い板にも応力解析の目的で平面応力があると想定されることがあります。たとえば、圧力のかかった流体で満たされた薄肉の円筒の場合です。このような場合、板に垂直な応力成分は、板に平行な応力成分に比べて無視できます。^[1]

しかし、他の状況では、薄板の曲げ応力を無視することはできません。2 次元領域を使用して解析を簡素化することはできますが、各ポイントの平面応力テンソルを曲げ項で補完する必要があります。

数学的には、材料のある点における応力は、3つの主応力（コーシー応力テンソルの固有値）のうちの1つがゼロである場合に平面応力である。つまり、応力テンソルが次の形をとる 直交座標系が存在する。

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

たとえば、、、およびに沿って10、40、および5 cmの長方形の材料ブロックを考えます。この材料ブロックは、対応する面全体に均一に分布する、大きさがそれぞれ10 Nと20 Nの反対の力のペアによって、方向に引き伸ばされ、方向に圧縮されます。ブロック内の応力テンソルは、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

より一般的には、最初の2つの座標軸を任意に選択し、ゼロ応力の方向に垂直にすると、応力テンソルは次のようになります。

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

したがって、2×2行列で表すことができる。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}}$

場合によっては、平面応力モデルは緩やかな曲面の解析に使用できます。たとえば、薄壁の円筒が、その縁に沿って均一に分布する軸方向の圧縮荷重を受け、加圧された流体で満たされているとします。内部圧力によって、壁に反作用のフープ応力、つまり円筒軸に垂直で表面に接する方向の引張応力が発生します。円筒は概念的に展開して、プレートに平行な一方向の引張荷重と他の方向の圧縮荷重を受ける平らで薄い長方形のプレートとして解析できます。

1 つの寸法が他の寸法に比べて非常に大きい場合、最長寸法方向の主ひずみは制約され、一定であると想定できます。つまり、その寸法に沿ったひずみは実質的にゼロになり、平面ひずみ条件が生じます (図 7.2)。この場合、すべての主応力はゼロではありませんが、最長寸法方向の主応力は計算で無視できます。したがって、応力の 2 次元解析 (例:貯水池によって負荷がかかった断面で解析された ダム)が可能になります。

対応するひずみテンソルは次のようになります。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\,\!}$

対応する応力テンソルは次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,\!}$

ここで、非ゼロ項はポアソン効果から生じます。しかし、この項を応力解析から一時的に除去して面内項のみを残すことで、解析を実質的に2次元に減らすことができます。^[1]${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$

平面応力または平面ひずみの状態にある連続体の点を考えます。この状態では、応力成分とその他のすべての応力成分はゼロです (図 8.1)。微小材料要素の静的平衡(図 8.2) から、水平方向と角度をなす単位ベクトル (つまり、方向の方向余弦) を通る平面に垂直な任意の平面上の法線応力とせん断応力は、次のように表されます。 ${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle y\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \cos \theta \,\!}$${\displaystyle x\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta \,\!}$

これらの式は、平面応力または平面ひずみ条件では、ある点における任意の 2 つの垂直方向の応力成分がわかっていれば、その点におけるすべての方向の応力成分を、つまり の関数として決定できることを示しています。 -平面に平行な方向の微小要素の単位面積を検討していることを覚えておくことが重要です。 ${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$${\displaystyle y\,\!}$${\displaystyle z\,\!}$

主方向（図 8.3）、つまりせん断応力成分がゼロとなる平面の方向は、せん断応力をゼロとする前の式を代入することで得られます。つまり、次の式が得られます。 ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta =0\,\!}$

そして我々は

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}\,\!}$

この式は、離れた2つの値を定義します（図8.3）。同じ結果は、法線応力が最大になる角度を見つけることによって得られます。つまり、${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle {\frac {d\sigma _{\mathrm {n} }}{d\theta }}=0\,\!}$

主応力と、または最小および最大の法線応力と は、の両方の値を の前の式に置き換えることによって得られます。 これは、 と の式を並べ替えることで実現できます。まず、最初の式の最初の項を転置し、各式の両辺を2乗してからそれらを加算します。 したがって、次の式が得られます。 ${\displaystyle \sigma _{1}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{2}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {min} }\,\!}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\,\!}$

${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=R^{2}\,\!}$

どこ

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\,\!}$

これは、座標 の点を中心とする半径 の円の方程式であり、モール円と呼ばれます。ただし、主応力 に対してせん断応力 が分かっているため、この方程式から次の式が得られます。 ${\displaystyle R\,\!}$${\displaystyle [\sigma _{\mathrm {avg} },0]\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {min} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})-{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

微小要素が主平面の方向に向いている場合、長方形要素に作用する応力は主応力であり、および です。次に、主応力の関数としての法線応力とせん断応力は、 とすることで決定できます。したがって、 ${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{1}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{y}=\sigma _{2}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\cos 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\sin 2\theta \,\!}$

すると、最大せん断応力は次の場合に発生します 。つまり、（図8.3） ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\,\!}$${\displaystyle \sin 2\theta =1\,\!}$${\displaystyle \theta =45^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

すると、せん断応力が最小になるのは、次の場合です （図8.3）。 ${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }\,\!}$${\displaystyle \sin 2\theta =-1\,\!}$${\displaystyle \theta =135^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

• 平面ひずみ