マッハ・ツェンダー干渉計

マッハ・ツェンダー干渉計は、単一光源からの光を分割して得られる2つの平行光線間の相対位相シフトの変化を測定するために使用される装置です。この干渉計は、とりわけ、サンプルや一方の経路の長さの変化によって引き起こされる2つの光線間の位相シフトを測定するために使用されてきました。この装置は、物理学者のルートヴィヒ・マッハ（エルンスト・マッハの息子）とルートヴィヒ・ツェンダーにちなんで名付けられました。ツェンダーが1891年の論文^{[ 1 ]}で提案したものが、マッハによって1892年の論文^{[ 2 ]}で改良されました。マッハ・ツェンダー干渉法は、光だけでなく電子でも実証されています^{[ 3 ]} 。マッハ・ツェンダー構成の汎用性により、特に基礎量子力学において、さまざまな研究テーマで使用されています。

マッハ・ツェンダー干渉計は、非常に柔軟な構成が可能な装置である。よく知られているマイケルソン干渉計とは異なり、十分に分離された各光路は一度だけ通過する。

光源のコヒーレンス長が短い場合は、2 つの光路を等しくするために細心の注意を払う必要があります。特に白色光では、すべての波長にわたって光路を同時に等しくする必要があります。そうしないと、干渉縞が見えません (単色フィルターを使用して単一の波長を分離する場合を除く)。図 1 に示すように、テスト セルと同じ種類のガラス (同じ光分散 を持つように) で作られた補償セルを、テスト セルに合わせるために参照ビームの光路に配置します。ビーム スプリッターの正確な向きにも注意してください。ビーム スプリッターの反射面は、テスト ビームと参照ビームが同じ量のガラスを通過するように向きます。この向きでは、テスト ビームと参照ビームはそれぞれ 2 回の前面反射を受け、同じ数の位相反転が生じます。その結果、テスト ビームと参照ビームの両方で光が同じ光路長を通過するため、建設的干渉が起こります。^{[ 4 ] [ 5 ]}

平行光源では、非局所的な干渉縞パターンが得られます。広範囲光源を使用すると、局所的な干渉縞が得られます。図 2 では、干渉縞を任意の目的の平面に局所化するように調整できることがわかります。^{[ 6 ] : 18}ほとんどの場合、干渉縞はテスト対象物と同じ平面に配置されるようになり、干渉縞とテスト対象物を一緒に撮影できます。

平行光ビームはハーフミラーによって分割される。分割された2つのビーム（「サンプルビーム」と「参照ビーム」）はそれぞれミラーで反射される。その後、2つのビームは2枚目のハーフミラーを通過し、2つの検出器に入射する。

誘電体における波の反射と透過に関するフレネル方程式は、屈折率の低い媒質を伝搬する波が屈折率の高い媒質で反射する場合、位相変化が生じるが、その逆の場合は生じないことを示唆している。鏡の前面で反射すると、鏡の背後にある媒質（ガラス）の屈折率が光が伝搬する媒質（空気）よりも高いため、180°の位相シフトが生じる。鏡の背面で反射する場合は、鏡の背後にある媒質（空気）の屈折率が光が伝搬する媒質（ガラス）よりも低いため、位相シフトは生じない。

光の速度は、真空の屈折率（ 1）よりも大きい屈折率を持つ媒質中では遅くなります。具体的には、その速度はv  = c / nで表されます。ここで、cは真空中の光速、nは屈折率です。これにより、( n − 1) ×移動距離に比例した位相シフトの増加が生じます。鏡が置かれたガラス板を通過する際に生じる一定の位相シフトをkとすると、鏡の裏側で反射する際に合計2kの位相シフトが生じます。これは、鏡の裏側に向かって進む光がガラス板に入り、k の位相シフトが生じ、その後、鏡の裏側には空気しかないため追加の位相シフトなしに鏡で反射し、再びガラス板を通過して戻り、追加のkの位相シフトが生じるためです。     

位相シフトに関する規則は、誘電体コーティングで構成されたビームスプリッターに適用され、金属コーティングを使用する場合や異なる偏光を考慮する場合は修正する必要があります。また、実際の干渉計では、ビームスプリッターの厚さが異なる場合があり、光路長が必ずしも等しいとは限りません。いずれにせよ、吸収がない場合、エネルギー保存則により、2 つの光路は半波長の位相シフトだけ異なる必要があります。また、特定の種類の測定で干渉計の性能を向上させるために、50/50 ではないビームスプリッターがよく使用されます。^{[ 4 ]}

図 3において、試料がない場合、試料光（SB）と参照光（RB）はともに検出器 1に同位相で到達し、建設的干渉が生じます。SBとRBはともに、前面反射2回とガラス板透過1回により、 （1 ×波長 ＋k ）の位相シフトを受けます。検出器2では、試料がない場合、試料光と参照光は半波長の位相差で到達し、完全な破壊的干渉が生じます。検出器2に到達するRBは、前面反射1回と透過2回により、 （0.5 ×波長＋2k ）の位相シフトを受けます。検出器2に到達するSBは、前面反射2回と背面反射1回により、（1 ×波長＋2k ）の位相シフトを受けます。したがって、試料がない場合、検出器1のみが光を受け取ります。試料を試料ビームの経路に配置すると、2つの検出器に入射するビームの強度が変化し、試料によって引き起こされる位相シフトを計算することができる。         

干渉計を通過する光子のモデルの一つでは、2つの可能な経路それぞれに確率振幅が割り当てられます。1つは左側から始まり、両方のビームスプリッターをまっすぐ通過して上部で終わる「下側」の経路、もう1つは下側から始まり、両方のビームスプリッターをまっすぐ通過して右側で終わる「上側」の経路です。したがって、光子を記述する量子状態はベクトルです。$\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$それは「下」の経路の重ね合わせです${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$そして「上」の道${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$つまり、${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$複雑な${\displaystyle \alpha ,\beta }$そのため${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$。

両方のビームスプリッターはユニタリ行列としてモデル化される${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$つまり、光子がビームスプリッターに当たると、確率振幅で同じ経路を進むか、${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$または、確率振幅で別の経路に反射される${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$上腕部の位相シフターは、ユニタリ行列としてモデル化される。${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$つまり、光子が「上側」の経路にある場合、相対位相が${\displaystyle \Delta \Phi }$、そしてそれが下側の経路にある場合は、変化しないままになります。

左側から干渉計に入射した光子は、最終的に次の状態で表される。

${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$

右側または上部で検出される確率はそれぞれ次のように表される。

${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u}|BPB|\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$

${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l}|BPB|\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$

したがって、マッハ・ツェンダー干渉計を用いてこれらの確率を推定することで、位相シフトを推定することができる。

光子がビームスプリッター間の「下側」または「上側」の経路のいずれかに確実に存在する場合、何が起こるかを考えてみるのは興味深い。これは、一方の経路を遮断するか、あるいは同等に最初のビームスプリッターを取り除くことによって実現できる（そして、必要に応じて左または下から光子を入射させる）。どちらの場合も、経路間の干渉はもはや起こらず、確率は次のように与えられる。${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$位相とは無関係に${\displaystyle \Delta \Phi }$このことから、光子は最初のビームスプリッターの後、どちらか一方の経路をたどるのではなく、2つの経路の真の量子重ね合わせによって記述されなければならないと結論づけることができる。^{[ 7 ]}

マッハ・ツェンダー干渉計は、比較的広く自由にアクセスできる作業空間と、干渉縞の位置を柔軟に調整できることから、風洞内の流れの可視化^{[ 8 ] [ 9 ]}や、一般的な流れの可視化研究において最適な干渉計となっています。空気力学、プラズマ物理学、熱伝達の分野では、気体の圧力、密度、温度変化を測定するために頻繁に使用されてい^ます。^{[ 6 ]： 18、93-95}

マッハ・ツェンダー干渉計は、様々な光ファイバー通信用途で使用される電子デバイスである電気光学変調器に用いられます。マッハ・ツェンダー変調器はモノリシック集積回路に組み込まれており、数ギガヘルツの周波数範囲にわたって、良好な特性と広帯域幅の電気光学振幅および位相応答を提供します。

マッハ・ツェンダー干渉計は、量子力学の最も直感に反する予測の1つである量子もつれとして知られる現象を研究するためにも使用されます。^{[ 10 ] [ 11 ]}

参照チャネルの光の特性を、物体チャネルの光を乱すことなく容易に制御できる可能性から、マッハ・ツェンダー構成はホログラフィック干渉法で普及しました。特に、オフアクシスで周波数シフトされた参照ビームを用いた光ヘテロダイン検出は、ビデオレートカメラを使用したショットノイズ限界ホログラフィー^{[ 12 ]} 、振動計測^{[ 13 ]} 、および血流のレーザードップラーイメージング^{[ 14 ]において良好な実験条件を保証します。}

光通信では、光の位相と振幅変調のための 電気光学変調器として使用されます。光コンピューティングの研究者は、複素数値ニューラルネットワークアルゴリズムを大幅に高速化するために、光ニューラルチップにマッハ・ツェンダー干渉計構成を使用することを提案しています。^{[ 15 ]}

マッハ・ツェンダー構成の汎用性により、反事実的確定性、量子もつれ、量子計算、量子暗号、量子論理、エリツァー・ヴァイドマン爆弾テスター、量子消去実験、量子ゼノン効果、中性子回折などの量子力学における幅広い基礎研究テーマで利用されている。

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• 古典干渉と量子干渉の両方のインタラクティブなシミュレーションであるMach-Zehnder - Virtual Lab by Quantum Flytrapについては、Migdał, Piotr; Jankiewicz, Klementyna; Grabarz, Paweł; Decaroli, Chiara; Cochin, Philippe (2022). "Visualizing quantum mechanics in an interactive simulation - Virtual Lab by Quantum Flytrap". Optical Engineering . 61 (8) 081808. arXiv : 2203.13300 . doi : 10.1117/1.OE.61.8.081808で説明されています。