ラザフォード散乱実験

ラザフォードの実験以前の原子構造の主流モデルは、J. J. トムソンによって考案された。^{[ 2 ] : 123}トムソンは陰極線の研究を通じて電子を発見し^{[ 3 ]}、電子は原子内に存在し、電流は電子が連続して隣接する原子に飛び移ることであると提唱した。論理的には、電子の負の電荷を相殺し、それらの電子を一緒に保持するために、相応の量の正の電荷が存在しなければならない。この正の電荷の源が何であるか全く分からなかったため、トムソンは暫定的に、正の電荷は原子のあらゆる場所に存在すると提唱し、単純化のために球形を採用した。^{[ 2 ] : 123 [ 4 ]}トムソンは、静電気力のバランスにより、電子はこの球全体にほぼ均等に分布すると想像した。トムソンはまた、電子はこの球の中を動き回ることができると信じており、その点において、球の物質を液体に例えた。^{[ 5 ]}正の球は物質的なものというよりは抽象的なものだった。彼は電子に対応する正に帯電した素粒子を提案したわけではない。

トムソンは、発光スペクトルや原子価など、原子の他の既知の特性を予測できる完全かつ安定したモデルを開発することはできなかった。^{[ 6 ]}日本の科学者、長岡半太郎は、反対の電荷は互いに貫通できないという理由でトムソンのモデルを否定した。^{[ 7 ]}彼は代わりに、電子が土星の環のように正電荷の周りを軌道運動すると提唱した。^{[ 8 ]}しかし、このモデルも不安定であることが知られていた。^{[ 9 ] : 303}

アルファ粒子は、特定の放射性元素から自発的に放出される正電荷を帯びた粒子です。アルファ粒子は非常に小さいため目に見えませんが、蛍光スクリーン、写真乾板、または電極を用いて検出することができます。ラザフォードは1899年にアルファ粒子を発見しました。^{[ 10 ]} 1906年、彼はアルファ粒子ビームが磁場と電場によってどのように偏向されるかを研究し、アルファ粒子は基本的に2つの電子を剥ぎ取られたヘリウム原子であると推論しました。^{[ 11 ]}トムソンとラザフォードは、アルファ粒子の内部構造については何も知りませんでした。当時、科学者はヘリウム原子（他の元素の原子も同様）がいくつの電子を持っているかを正確には知らなかったため、2つの電子を剥ぎ取られたヘリウム原子には、まだ10個ほどの電子が残っているかもしれないと考えていました。^{[ 9 ] : 280}

トムソンのモデルは、当時入手可能だった実験的証拠と一致していた。トムソンはベータ粒子の散乱を研究し、粒子が多数の原子と連続的に相互作用することで生じる小角偏向をモデル化した。粒子が原子の電子や正の背景球と相互作用するたびにわずかな偏向が生じるが、このような衝突が多数重なることで偏向が大きくなる可能性がある。^{[ 9 ] : 274}アルファ粒子の散乱も同様であると予想された。^{[ 9 ] : 281}ラザフォードのチームは、多重散乱モデルは不要であることを示した。原子の中心にあるコンパクトな電荷からの単一散乱で、すべての散乱データを説明できるというのである。^{[ 9 ] : 289}

アーネスト・ラザフォード

ハンス・ガイガー

アーネスト・マースデン

アーネスト・ラザフォードは、マンチェスターのビクトリア大学（現在のマンチェスター大学）のラングワージー物理学教授でした^{[ 12 ]： 188} 。彼は放射線の研究ですでに数々の栄誉を受けていました。彼はアルファ線、ベータ線、ガンマ線の存在を発見し、これらが原子の崩壊の結果であることを証明しました。1906年、彼はドイツの物理学者ハンス・ガイガーの訪問を受け、ガイガーに感銘を受け、滞在して研究を手伝ってほしいと頼みました。 アーネスト・マースデンは、ガイガーの下で学んでいた物理学の学部生でした。^{[ 13 ]}

1908年、ラザフォードはアルファ粒子の電荷と質量を独立して決定しようと試みた。そのためには、アルファ粒子の数を数え、その総電荷を測定する必要があった。その比率から、単一のアルファ粒子の電荷が求められる。アルファ粒子は小さすぎて目に見えないが、ラザフォードは電離によって生じる電流パルスの連鎖反応であるタウンゼント放電について知っていた。この原理に基づき、ラザフォードとガイガーは、低圧ガスを封入したガラス管内に2つの電極を配置した単純な計数装置を設計した（1908年の実験を参照）。ガスを通過するアルファ粒子はそれぞれ電流パルスを発生させ、これを検出して計数することができた。これはガイガー・ミュラー計数管の先駆けとなった。^{[ 9 ]： 261}

ガイガーとラザフォードが作ったカウンターは、アルファ粒子が検出室内の空気分子との衝突によって強く偏向されすぎたため、信頼性に欠けることが判明した。アルファ粒子の軌道が非常に多様であったため、ガスを通過する際に生成されるイオンの数がすべて同じではなく、そのため測定値が不安定になった。ラザフォードは、アルファ粒子は重すぎてそれほど強く偏向されることはないと考えていたため、この結果に困惑した。ラザフォードはガイガーに、物質がアルファ線をどの程度まで散乱できるかを調査するように依頼した。^{[ 14 ]}

彼らが設計した実験では、金属箔にアルファ粒子のビームを照射し、箔の厚さと材質に応じて粒子がどのように散乱するかを観察した。彼らは蛍光スクリーンを使用して粒子の軌跡を測定した。アルファ粒子がスクリーンに衝突するたびに、小さな閃光が生じた。ガイガーは暗い実験室で何時間も作業し、顕微鏡を使用してこれらの小さな閃光を数えた。^{[ 15 ]}金属箔については、さまざまな金属を試したが、金は最も展延性に優れた金属であるため、箔を非常に薄くできることから、金を好んだ。 ^{[ 16 ] : 127} アルファ粒子の源として、ラザフォードが選んだ物質はラジウムで、ウランよりも数千倍放射能が高い。^{[ 17 ]}

1909年の実験で、ガイガーとマースデンは、金属箔がアルファ粒子をあらゆる方向に散乱させ、時には90°を超えることも発見した。^{[ 18 ]： 4}これはトムソンのモデルによれば不可能だったはずである。^{[ 18 ]： 4}トムソンのモデルによれば、すべてのアルファ粒子はまっすぐ通過するはずだった。

トムソンの原子モデルでは、原子を満たし電子を包み込む正電荷の球は透過性があり、電子はその中を動き回ることができる。したがって、内部の静電気力が許せば、アルファ粒子はこの球を通過できるはずである。トムソン自身は、アルファ粒子が原子との衝突でどのように散乱されるかを研究しなかったが、ベータ粒子の散乱については研究した。^{[ 9 ]： 277}彼は、ベータ粒子が原子を通過する際に非常に小さな偏向しか受けないことを計算し、^{[ 19 ]}連続して多くの原子を通過した後でも、全体の偏向は依然として1°未満であるはずだとした。^{[ 20 ]}アルファ粒子は通常、ベータ粒子よりもはるかに大きな運動量を持っているため、同様にわずかな偏向しか受けないはずである。^{[ 21 ]}

観測された極端な散乱により、ラザフォードは原子モデルを修正せざるを得ませんでした。^{[ 22 ] : 25} トムソンのモデルの問題点は、電荷が拡散しすぎて、そのような反発を引き起こすのに十分な強い静電気力を生み出すことができなかったことです。したがって、電荷はより集中している必要がありました。ラザフォードの新しいモデルでは、正電荷は原子の体積全体を満たすのではなく、原子全体よりも少なくとも 10,000 倍小さい小さな原子核を構成します。はるかに小さな体積に集中したすべての正電荷は、その表面付近ではるかに強い電場を生成します。原子核は原子の質量の大部分も担っています。これは、アルファ粒子がどれだけ近くを通過するかに応じて、最大 180° までアルファ粒子を偏向させることができることを意味します。電子はこの原子核を取り囲み、原子の体積全体に広がっています。電子の負電荷は拡散しており、その合計質量は小さいため、アルファ粒子への影響は無視できます。^{[ 23 ]}

ラザフォードは自身のモデルを検証するため、金箔から散乱されるアルファ粒子の強度を様々な角度で予測する科学モデルを開発した。このモデルでは、すべての正電荷が原子の中心に集中していると仮定した。このモデルは1913年に行われた実験で検証された。彼のモデルは、トムソンのベータ散乱の結果とガイガーおよびマースデンのアルファ散乱の結果の両方を説明した。^{[ 9 ]： 285}

ラザフォードの現在では有名な1911年の論文は、最初の数年間はほとんど反響を呼ばなかった。^{[ 12 ]： 192} この論文は、粒子散乱が物理学の主要なツールとなる以前の時代に、主にアルファ粒子散乱について論じたものであった。彼が用いた確率的手法と、それに伴う複雑な観測結果の集合は、すぐには説得力のあるものではなかった。^{[ 9 ]： 304}

原子核物理学

最初の影響は、散乱実験への新たな注目を促すことでした。例えば、 CTR ウィルソンによる霧箱からの最初の結果はアルファ粒子の散乱を示しており、これも 1911 年に発表されました。^{[ 24 ] [ 9 ] : 302}時が経つにつれて、粒子散乱は理論物理学と実験物理学の主要な側面になりました。^{[ 25 ] : 443} ラザフォードの「断面積」の概念は、現在、実験粒子物理学の記述を支配しています。^{[ 2 ] : 247}歴史家のシルヴァン S. シュウェバーは、ラザフォードのアプローチが、物理学におけるすべての相互作用と測定を散乱過程として見る方向への転換を示したと示唆しています。^{[ 26 ] : xiv}原子核 - ラザフォードが 1912 年に導入した用語^{[ 12 ] : 192} - が原子核の受け入れられたモデルになった後、ラザフォードのアルファ粒子の散乱の分析は、原子核物理学という新しい物理学の分野を生み出しました。^{[ 12 ]： 223}

ラザフォードが原子の性質を発見する最初のステップは、アルファ粒子を理解するための研究から始まった。^{[ 22 ] : 17 [ 25 ] : 435} 1906年、ラザフォードは、雲母のシートを通過するアルファ粒子が、シートによって最大2度偏向されることに気づいた。ラザフォードは、狭いスリットの先に写真乾板が付いた密閉管に放射性線源を入れた。スリットの半分は薄い雲母の層で覆われていた。磁場に敏感であることが知られているベータ線の影響を排除するために、管の周囲の磁場は10分ごとに変更された。 ^{[ 23 ]}管はさまざまな量まで真空にされ、一連の画像が記録された。最も低い圧力では、開いたスリットの画像は鮮明であったが、雲母で覆われたスリットまたはより高い圧力での開いたスリットの画像はぼやけていた。ラザフォードは、1906年に発表した論文^{[ 35 ]}で、これらの結果をアルファ粒子散乱^{[ 9 ] : 260}として説明した。彼はすでにこの観測が原子モデルに及ぼす影響を理解しており、「このような結果は、物質の原子が非常に強い電気力の源でなければならないという事実を明確に示している」^{[ 35 ] : 145 [ 22 ]と述べている。}

ガイガーによる 1908 年の論文「物質による α 粒子の散乱について」では、次の実験について説明されています。ガイガーは、長さが 2 メートル近くある長いガラス管を製作しました。管の一端には、α 粒子の発生源として「ラジウム放射」(R) が置かれていました。 ^{[ 22 ] : 20} 管の反対側の端は、蛍光スクリーン (Z) で覆われていました。管の中央には、 幅 0.9 mm のスリットがありました。R からの α 粒子はスリットを通過し、スクリーン上に光る斑点を作りました。顕微鏡 (M) を使用して、スクリーン上のシンチレーションを数え、その広がりを測定しました。ガイガーは、α 粒子が妨げられないように管からすべての空気を抜き、スリットの形状に対応するきれいでくっきりとした像をスクリーン上に残しました。ガイガーは次に管に空気を少し入れると、光る斑点はより拡散しました。ガイガーは空気を抜き、AAのスリットの上に金箔を1枚または2枚置いた。これもスクリーン上の光のパッチを広げ、2層にすると広がりが大きくなった。^{[ 22 ] : 20} この実験は、空気と固体物質の両方がアルファ粒子を著しく散乱させることができることを示した。^{[ 36 ] [ 22 ] : 20}

初期のアルファ粒子散乱実験の結果は混乱を招くものであった。スクリーン上の粒子の角度分布は、装置の形状や内部圧力によって大きく変化した。ラザフォードは、ガイガーの下で物理学を学んでいた学部生アーネスト・マースデンに、予想外ではあったものの、拡散反射または後方散乱したアルファ粒子を探すよう提案した。マースデンの最初の粗雑な反射器は成果を上げたため、ガイガーは彼がより洗練された装置を作るのを手伝った。彼らは、8000回のアルファ粒子衝突のうち1回が拡散反射であることを実証できた。^{[ 22 ] : 23}この割合は小さいものの、トムソンの原子模型では説明できないほど大きかった。^{[ 9 ] : 264}

これらの実験では、放射性線源（A）から放出されたアルファ粒子が金属反射板（R）に反射し、鉛板（P）の反対側にある蛍光スクリーン（S）に到達する様子が観察された。

これらの結果は、1909 年の論文「α 粒子の拡散反射について」 [ ^{37 ]で}発表され、ガイガーとマースデンは、α 粒子が実際に 90° より遠くまで散乱することを証明した実験について説明しました。彼らの実験では、「ラジウム放射」（ラドン）、「ラジウム A」（実際のラジウム）、および「ラジウム C」（ビスマス-214）を含む小さな円錐形のガラス管 (AB) を用意し、その開口部を雲母で密封しました。これが彼らの α 粒子放出体でした。次に、鉛板 (P) を設置し、その背後に蛍光スクリーン (S) を置きました。管は板の反対側に保持され、管から放出された α 粒子がスクリーンに直接衝突しないようにしました。一部の α 粒子が空気分子に反射して板の周りを回ったため、スクリーンにいくつかのシンチレーションが見られました。次に、鉛板の側面に金属箔 (R) を置きました。彼らは鉛、金、錫、アルミニウム、銅、銀、鉄、プラチナを用いて実験を行った。アルファ粒子が箔に当たって跳ね返り、プレートの反対側のスクリーンに当たるかどうかを調べるため、管を箔に向けて照射したところ、スクリーン上のシンチレーション数が増加することが観察された。シンチレーション数を数えると、金のような原子量の大きい金属は、アルミニウムのような原子量の小さい金属よりも多くのアルファ粒子を反射することがわかった。^{[ 37 ] [ 22 ]： 20}

ガイガーとマースデンは、反射されたアルファ粒子の総数を推定したいと考えました。以前のセットアップでは、管内に複数の放射性物質（ラジウムとその崩壊生成物）が含まれていたため、放出されるアルファ粒子の飛程が異なり、また管がどのくらいの割合でアルファ粒子を放出しているかを正確に把握することが困難であったため、この目的には適していませんでした。今回は、鉛板上に少量のラジウムC（ビスマス214）を置き、白金反射板（R）で反射させてスクリーンに当てました。反射板に当たったアルファ粒子の約8,000分の1がスクリーンに反射したと結論付けました。^{[ 37 ]}薄い箔からの反射を測定することで、この効果は表面効果ではなく体積効果によるものであることを示しました。^{[ 23 ]}金属箔を妨げられることなく通過する膨大な数のアルファ粒子と比べると、この少数の大角反射は奇妙な結果であった^{[ 2 ] : 240}これは非常に大きな力が関与していることを意味していた^{[ 23 ]}

ガイガーによる1910 年の論文^{[ 38 ]}「物質による α 粒子の散乱」では、α 粒子が偏向する最も可能性の高い角度が、通過する物質、物質の厚さ、および α 粒子の速度によってどのように変化するかを測定する実験について説明しています。彼は、空気を抜き取った気密ガラス管を製作しました。一方の端には、「ラジウム放射」（ラドン-222）を含む球状容器 (B) がありました。水銀を用いて、B 内のラドンを細いガラス管に送り込み、その端 A は雲母で塞がれていました。管のもう一方の端には、蛍光性の硫化亜鉛スクリーン (S) がありました。スクリーン上のシンチレーションを数えるために使用した顕微鏡は、バーニア付きの垂直ミリメートルスケールに固定されており、ガイガーはスクリーン上の光の閃光がどこに現れるかを正確に測定し、それによって粒子の偏向角を計算することができました。 Aから放出されたアルファ粒子は、Dにある小さな円形の穴によってビーム状に絞り込まれた。ガイガーは、閃光領域がどのように変化するかを見るために、DとEの光線の経路に金属箔を置いた。彼は金、錫、銀、銅、アルミニウムを試した。また、Aに雲母やアルミニウムのシートを追加することで、アルファ粒子の速度を変えることもできた。^{[ 38 ]}

ガイガーは測定結果から以下の結論に至った。^{[ 18 ]： 5}

• 最も可能性の高い偏向角は、材料の厚さとともに増加する。
• 最も可能性の高い偏向角は、物質の原子量に比例する。
• アルファ粒子の速度が速くなるにつれて、最も可能性の高い偏向角は減少する。

これらの実験結果を踏まえ、ラザ​​フォードは1911年に「物質によるα粒子とβ粒子の散乱と原子の構造」と題する画期的な論文を発表し、その中で、非常に小さく強い電荷からの単一散乱は、主に小角散乱と、わずかではあるが測定可能な量の後方散乱を予測することを示した。^{[ 2 ]： 252 [ 1 ]}数学的計算の目的で、彼はこの中心電荷が正であると仮定したが、これを証明することはできず、理論を発展させるには他の実験を待たなければならないと認めた。^{[ 1 ]： 688}

ラザフォードは、原子の中心にある一点にすべての正電荷と原子質量の大部分が集中している場合、箔がアルファ粒子をどのように散乱するかをモデル化した数式を開発した。散乱データから、ラザフォードは中心電荷q _{n を}約 +100 単位と推定した。^{[ 39 ]}

ラザフォードの論文では、トムソンのプラムプディングモデルと長岡の土星モデルによる散乱に関する議論以外に、電子配置については何も触れられていない。^{[ 9 ]： 303}彼は、トムソンモデルによって予測される散乱結果は単一散乱によっても説明できるが、トムソンモデルでは大きな角度の散乱は説明できないことを示している。彼は、コンパクトな電荷を持つ長岡モデルは散乱データと一致すると述べている。しかし、土星モデルは以前に別の理由で却下されていた。軌道電子を持つ原子のいわゆるラザフォードモデルは、1911年の論文でラザフォードによって提案されたものではない。^{[ 9 ]： 304}

1913年の論文「大きな角度におけるα粒子の偏向の法則」^{[ 40 ]}の中で、ガイガーとマースデンは、ラザフォードの式を実験的に検証しようとした一連の実験について述べている。ラザフォードの式は、特定の角度Φで観測される1分あたりのシンチレーションの数が次の式に比例すると予測している。^{[ 18 ] : 11}

1. cosec ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠
2. 箔の厚さ
3. 中心電荷の二乗の大きさQ _n
4. 1 / ( mv ² ) ²​​

彼らの1913年の論文では、これら4つの関係をそれぞれ証明した4つの実験について述べている。^{[ 25 ]： 438}

この装置は、金属箔（F）によって生成されたアルファ粒子の散乱パターンを正確に測定するように設計されました。顕微鏡（M）とスクリーン（S）は回転シリンダーに固定されており、箔の周囲を一周移動させることができました。^{[ 40 ]}

散乱が偏向角によってどのように変化するかを調べるため (つまり、s ∝ csc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠の場合)、ガイガーとマースデンは、回転台に取り付けられた中空の金属円筒からなる装置を製作した。円筒内部には金属箔 (F) とラドンを含む放射線源 (R) があり、円筒が独立して回転できるように、独立した柱 (T) に取り付けられていた。この柱は、円筒から空気を排出するための管でもあった。対物レンズが蛍光硫化亜鉛スクリーン (S) で覆われた顕微鏡 (M) が円筒の壁を貫通し、金属箔に向けられていた。彼らは銀箔と金箔で実験を行った。回転台を回転させることで、顕微鏡を箔の周りを一周させることができ、ガイガーは最大 150° まで偏向したアルファ粒子を観察し、数えることができた。実験誤差を補正すると、ガイガーとマースデンは、特定の角度Φによって偏向されるアルファ粒子の数は確かにcsc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠に比例することを発見した。^{[ 40 ]}

この装置は、箔の厚さ、材料の原子量、アルファ粒子の速度に応じて散乱パターンがどのように変化するかを測定するために使用されました。中央の回転ディスクには、箔で覆うことができる6つの穴がありました。^{[ 40 ]}

ガイガーとマースデンは、散乱が箔の厚さによってどのように変化するか（つまり、s ∝ tかどうか）をテストした。彼らは、6 つの穴が開けられた円盤 (S) を作成した。穴は、厚さの異なる金属箔 (F) で覆われるか、対照として何も覆われなかった。この円盤は、2 枚のガラス板 (B と C) の間にある真鍮のリング (A) で密封された。円盤は、ロッド (P) によって回転させることができ、各窓をアルファ粒子源 (R) の前に移動させることができた。背面のガラス板には、硫化亜鉛スクリーン (Z) があった。ガイガーとマースデンは、スクリーン上に現れるシンチレーションの数は、厚さが小さい限り、確かに厚さに比例することを発見した。^{[ 40 ]}

ガイガーとマースデンは、散乱パターンが原子核電荷の二乗によってどのように変化するかを測定するために、この装置を再利用しました（つまり、s ∝ Q _n ²の場合）。ガイガーとマースデンは、金属の原子核の正電荷が何であるかを知りませんでした（彼らは原子核の存在を発見したばかりでした）が、それが原子量に比例すると仮定し、散乱が原子量の二乗に比例するかどうかをテストしました。ガイガーとマースデンは、ディスクの穴を金、錫、銀、銅、アルミニウムの箔で覆いました。彼らは、それぞれの箔の阻止能を、空気の等価厚さに等しいとすることで測定しました。彼らは、それぞれの箔がスクリーン上で1分間に生成するシンチレーションの数を数えました。彼らは、1 分あたりのシンチレーション数をそれぞれの箔の空気当量で割り、さらに原子量の平方根で割りました (ガイガーとマースデンは、阻止能が同じ箔の場合、単位面積あたりの原子数は原子量の平方根に比例することを知っていた)。このようにして、ガイガーとマースデンは、各金属について、一定数の原子が生成するシンチレーション数を取得しました。次に、各金属について、この数を原子量の二乗で割り、比率がほぼ同じであることがわかりました。このようにして、彼らはs ∝ Q _n ^{2 で}あることを証明しました。^{[ 40 ]}

最後に、ガイガーとマースデンは、散乱がアルファ粒子の速度によってどのように変化するか（つまり、s ∝ 1 / v ⁴の場合）をテストした。同じ装置を使用して、アルファ粒子源の前に雲母のシートを追加してアルファ粒子を減速させた。実験誤差の範囲内で、シンチレーションの数は確かに1 / v ⁴に比例することがわかった。^{[ 40 ]}

1911年の論文（上記参照）で、ラザフォードは原子の中心電荷が正であると仮定したが、負電荷でも彼の散乱モデルは同様に適合しただろう。^{[ 41 ]} 1913年の論文で、ラザフォードは、さまざまなガス中のアルファ粒子の散乱を調べた実験の結果に基づいて、「原子核」（彼が今そう呼んでいる）は実際に正に帯電していると宣言した。^{[ 42 ]}

1917年、ラザフォードと助手ウィリアム・ケイは、水素や窒素などの気体中をアルファ粒子が通過する様子を研究し始めた。この実験では、アルファ粒子のビームを水素に照射し、検出器である硫化亜鉛スクリーンを、気体に吸収されるアルファ粒子の到達範囲のすぐ外側に慎重に配置した。それにもかかわらず、スクリーン上にシンチレーションを引き起こす何らかの荷電粒子を検出した。ラザフォードはこれを、アルファ粒子が水素原子核をビームの方向に前方に叩きつけ、後方には叩きつけないと解釈した。^{[ 41 ]}

ラザフォードは、アルファ粒子と原子の正面衝突を想定することから解析を開始する。これにより、両者間の最小距離が決定され、この値は彼の計算全体を通して使用されることになる。^{[ 1 ]： 670}

外部力が作用せず、アルファ粒子が初期状態で原子核から遠く離れていると仮定すると、アルファ粒子と原子核の電荷間の逆二乗法則により、粒子が原子核に近づくにつれて得る位置エネルギーが与えられる。アルファ粒子と原子核が正面衝突する場合、アルファ粒子の運動エネルギーはすべて位置エネルギーに変換され、粒子は停止して方向転換する。^{[ 18 ]： 5}

粒子が一定の距離で停止する$\displaystyle r_{\text{min}}}$中心から、位置エネルギーは元の運動エネルギーと一致する：^{[ 43 ]： 620 [ 44 ]： 320}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{min}}}}}$$

どこ

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

並べ替え: ^{[ 1 ] : 671}$${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}}}}$$

アルファ粒子の場合：

• m（質量）=6.644 24 × 10 ⁻²⁷  kg =3.7273 × 10⁹ ^eV  / c²^​
• q _a (アルファ粒子の場合) = 2 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  C =3.2 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _g (金の場合) = 79 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  C =1.27 × 10 ⁻¹⁷  C
• v（初速度）=2 × 10⁷ m/s （この例の場合^）

この点におけるアルファ粒子から原子核の中心までの距離（r _min）は、原子核半径の上限値である。これらを代入すると、約の値が得られる。2.7 × 10 ⁻¹⁴  m、または 27 fm。（実際の半径は約 7.3 fm です。）金原子の原子核の半径が 7.3 fm の場合、アルファ粒子は原子核の中心から 27 fm より奥まで侵入するのに十分なエネルギーを持たないため、これらの実験では原子核の実際の半径は得られません。    

ラザフォードの1911年の論文^{[ 1 ]}は、正電荷を持つ球体との正面衝突に適した、やや異なる公式から始まっている。

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

ラザフォードの表記では、eは素電荷、Nは原子核の電荷数(現在では原子番号とも呼ばれる)、Eはアルファ粒子の電荷です。ラザフォードの時代の慣習では、電荷は静電単位、距離はセンチメートル、力はダイン、エネルギーはエルグで測定されていました。現代の慣習では、電荷はクーロン、距離はメートル、力はニュートン、エネルギーはジュールで測定されます。クーロンを使用するには、式にクーロン定数( k )を使用する必要があります。ラザフォードは、bを転換点距離 (上記ではr _minと呼ばれています) として使用し、Rは原子の半径です。最初の項は、上記で使用したクーロン反発です。この形式は、アルファ粒子が正電荷を貫通できると仮定しています。ラザフォードの論文の当時、トムソンのプラムプディングモデルは、上記で見つけたr _minの数千倍大きい原子の半径を持つ正電荷を提案していました。図1は、このポテンシャルが原子の大きさに比べてどれほど集中しているかを示しています。ラザフォードの研究結果の多くは、この転換点距離r _minで表されており、結果を簡略化し、単位の必要性をこの転換点の計算に限定しています。

正面衝突の結果から、ラザフォードはアルファ粒子の散乱が原子の中心付近、原子の半径の 10,000 分の 1 の半径で起こることを知っています。電子の影響は無視できます。彼は衝突でエネルギー損失がないと仮定することから始めます。つまり、標的原子の反跳を無視します。彼は論文の後半でこれらの問題を再検討します。^{[ 1 ] : 672} これらの条件下では、アルファ粒子と原子は中心力を介して相互作用します。これは、アイザック・ニュートンが最初に研究した物理的問題です。 ^{[ 45 ]} 中心力は粒子間の線に沿ってのみ作用し、この場合のクーロン力のように力が逆二乗で変化すると、詳細な理論がケプラー問題という名前で開発されました。^{[ 46 ] : 76}ケプラー問題のよく知られた解は軌道と呼ばれ、束縛されていない軌道は双曲線です。したがって、ラザフォードは、図2に示すように、アルファ粒子は原子の中心付近の反発力に対して双曲線軌道を描くと提唱した。

アルファ粒子問題に双曲線軌道解を適用するために、ラザフォードは双曲線のパラメータを散乱幾何学とエネルギーの観点から表現します。彼は角運動量保存則から始めます。質量の粒子が${\displaystyle m}$初速度${\displaystyle v_{0}}$原子から遠い場合、原子の中心周りの角運動量は$\displaystyle mbv_0$どこ${\displaystyle b}$は衝突パラメータであり、アルファ粒子の軌道と原子との間の横方向の距離です。図2のAで示される最接近点では、角運動量は次のようになります。${\displaystyle mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$したがって^{[ 9 ]： 270}

$${\displaystyle mbv_{0}=mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{A}}={\frac {bv_{0}}{r_{\text{A}}}}}$$

ラザフォードは、同じ2点間でもエネルギー保存の法則を適用している。

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{A}}^{2}+{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{A}}}}}$$

左辺と右辺の最初の項は、2 つの点における粒子の運動エネルギーです。最後の項は、最も接近した点 (A) におけるアルファ粒子と原子間のクーロン力による位置エネルギーです。q a_はアルファ粒子の電荷、q _gは原子核の電荷、kはクーロン定数です。^{[ 47 ]}

エネルギー方程式は次のように書き換えることができる。

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{\text{A}}}}\right)}$$

^{便宜上、この式[ 1 ] : 674}の非幾何学的物理変数は変数に含めることができる。${\displaystyle r_{\text{min}}}$これは正面衝突シナリオにおける最接近点であり^{[ 1 ]：671}で、この記事の前のセクションで検討した。

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

これにより、ラザフォードはエネルギー方程式を次のように簡略化できる。

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

これにより、次の2つの連立方程式が残ります。${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}}$1つ目は運動量保存方程式から、2つ目はエネルギー保存方程式から導出される。${\displaystyle v_{\text{A}}}$そして${\displaystyle v_{0}}$新しい式で${\displaystyle r_{\text{min}}}$:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{\text{A}}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

次のステップは、次の式を見つけることです。${\displaystyle r_{\text{A}}}$図2より、${\displaystyle r_{\text{A}}}$は双曲線SOとOAに関連する2つの距離の合計です。次の論理を用いると、これらの距離は角度で表すことができます。${\displaystyle \Phi }$および影響パラメータ${\displaystyle b}$。

双曲線の離心率は、双曲線の形状を表す値です。これは、焦点距離を半長軸の長さで割ることによって計算できます。図2によれば、半長軸の長さは⁠ SO / OA ⁠です。図3に示すように、離心率は次の値にも等しくなります。${\displaystyle \sec \Phi }$、 どこ${\displaystyle \Phi }$は長軸と漸近線の間の角度です。^{[ 48 ]： 219}したがって：

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

図2からわかるように、焦点距離SOは

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\cdot \csc \Phi }$$

そのため

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cdot \cot \Phi }$$

SOとOAのこれらの式を用いると、距離は${\displaystyle r_{\text{A}}}$は次のように表すことができます${\displaystyle \Phi }$そして、半角公式として知られる三角関数の恒等式を用いて簡略化される：^{[ 39 ]： 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{A}}&={\text{SO}}+{\text{OA}}\\\\&=b\cdot \csc \Phi +b\cdot \cot \Phi \\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}\end{aligned}}}$$

コタンジェント倍角公式として知られる三角関数の恒等式と前の式を適用すると、${\displaystyle r_{\text{A}}}$物理的変数と幾何学的変数の間のより単純な関係を示す。

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}\\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\\\&=b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \cot \Phi \end{aligned}}}$$

粒子の散乱角は${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$そのため${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$反射公式として知られる三角関数の恒等式を用いると、 θとbの関係は次のように解ける。 ^{[ 1 ]： 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=2b\cdot \cot {\frac {\pi -\theta }{2}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}\\[1ex]\\\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}\end{aligned}}}$$

これは次のように並べ替えることができます

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv_{0}^{2}b}}}$$

ラザフォードは、この表に示すようないくつかの例となる値を挙げている。^{[ 1 ]： 673}

ラザフォードのこの散乱問題へのアプローチは、古典力学の教科書^{[ 49 ] : 151 [ 50 ] : 240 [ 51 ] : 400}で標準的な扱いとして残っている。

実験結果と比較するためには、衝突パラメータと散乱角の関係を確率対角度の関係に変換する必要がある。散乱断面積は角度ごとの相対強度を与える。^{[ 46 ]： 81}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{number of particles scattered into solid angle }}\mathrm {d} \Omega {\text{ per unit time}}}{\text{incident intensity}}}}$$

古典力学では、散乱角${\displaystyle \theta }$入射粒子の初期運動エネルギーと衝突パラメータbによって一意に決定される。^{[ 46 ] : 82}したがって、 の間の角度に散乱される粒子の数は${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$bとb + dbの間の関連する衝突パラメータを持つ粒子の数と同じでなければならない。入射強度Iの場合、これは次のことを意味する。

$${\displaystyle 2\pi Ib\cdot \left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \cdot \sigma (\theta )\cdot I\cdot \sin(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta }$$

したがって、断面積は散乱角に応じて次のように変化する。

$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

上記の単一散乱結果から角度の関数としての衝突パラメータb ( θ )を用いると、ラザフォード散乱断面積が得られる。 ^{[ 46 ]： 84}

$${\displaystyle \sigma (\Theta )={\frac {\csc ^{4}{\frac {\Theta }{2}}}{4}}\cdot {\left({\frac {2q_{\text{n}}q_{\text{a}}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• ${\displaystyle \sigma (\theta )}$= 偏向角によって散乱されるアルファ粒子の相対数${\displaystyle \theta }$
• q _n = 原子核の正電荷
• q _a = アルファ粒子の正電荷
• m = アルファ粒子の質量
• v = アルファ粒子の速度

この式は、ガイガーが翌年に測定した結果を予測した。小さな角度への散乱確率は、大きな角度への散乱確率を大きく上回り、これは空虚な空間に囲まれた小さな原子核を反映している。しかし、まれな近接遭遇では、単一の標的で大きな角度の散乱が発生する。^{[ 52 ]： 19}

断面積公式の開発の最後に、ラザフォードは、この結果は単一散乱に適用されるため、薄い箔を用いた測定が必要であることを強調している。薄い箔の場合、散乱の程度は箔の厚さに比例し、ガイガーの測定結果と一致する。^{[ 1 ]}

1910年、トムソンはベータ粒子散乱のモデル^{[ 19 ]}を発表し、プラムプディングモデルでは、ベータ粒子は一連の原子衝突の後、大きな角度で散乱される可能性があると予測した。ラザフォードのモデルは、原子の正電荷を原子全体に分散させるのではなく、中心点に集中させることで、より強い散乱を生み出した。そのため、たった1つの原子との衝突でも、トムソンのモデルよりもベータ粒子に大きな影響を与える可能性がある。ラザフォードは、密度と箔の厚さの影響を含めた解析を完了し、薄い箔は多重衝突散乱ではなく、単一衝突散乱によって支配されると結論付けた^{[ 9 ]： 298}

しかし、トムソンの散乱モデルでは、ベータ粒子よりもはるかに大きな運動量を持つアルファ粒子の場合には、大きな散乱を説明することができなかった。 たとえ複数回の衝突があったとしても、アルファ粒子が測定可能な量だけ偏向する可能性は非常に低く、意味がないほどである。

ラザフォードの解析では、アルファ粒子の軌道は原子の中心で方向転換するものの、出口速度は低下しないと仮定した。^{[ 2 ]： 253}これは、中心に集中した電荷が無限の質量を持つか、あるいは固定されていると仮定することに相当する。ラザフォードは、アルミニウムのような軽い原子と金のような重い原子からの散乱を比較することで、この仮定の限界について論じている。集中した電荷が軽い場合、相互作用から反動して運動量を得る一方、アルファ粒子は運動量を失い、結果として減速する。^{[ 39 ]：676}

現代の手法では、この種のクーロン散乱を重心基準系で解析します。2 つの粒子 (「物体」とも呼ばれる) の 6 つの座標は、2 つの粒子間の 3 つの相対座標と、空間 (実験室系と呼ばれる) 内を移動する 3 つの重心座標に変換されます。相互作用は相対座標でのみ発生し、ラザフォードが解いたのと同等の 1 体問題^{[ 46 ] : 58 を}与えますが、質量と散乱角の解釈が異なります。

アルファ粒子の質量ではなく、反跳を考慮したより正確な式では換算質量を使用する：^{[ 46 ]： 80}

$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

ラザフォードのアルファ粒子が質量197の金から散乱する場合、換算質量はアルファ粒子の質量に非常に近い値となる。

$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$

質量が27の軽量アルミニウムの場合、その効果はより顕著になる。

$${\displaystyle \mu _{\text{Al}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

質量に13%の差がある。ラザフォードはこの差に注目し、より軽い原子を用いて実験を行うことを提案した。^{[ 1 ]： 677}

2つ目の効果は散乱角の変化です。相対座標系または重心系における角度を実験室系における角度に変換する必要があります。^{[ 46 ]： 85} 添え字Lで表される実験室系では、一般的な中心ポテンシャルの散乱角は次のようになります。

$${\displaystyle \tan \Theta _{\text{L}}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$$

ラザフォードが使用した金のような重い粒子の場合、${\displaystyle {\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}={\tfrac {4}{197}}\approx 0.02}$ほぼすべての角度で無視できます。すると、実験室と相対角度は同じになります。${\displaystyle \Theta _{\text{L}}\approx \Theta }$。

散乱角の変化は、実験との比較に必要な微分断面積の式を変化させる。一般に、計算は複雑である。金原子からのアルファ粒子散乱の場合、断面積に対するこの影響は非常に小さい。^{[ 46 ]： 88}

1919年、ラザフォードは水素原子からのアルファ粒子の散乱を分析し、^{[ 53 ]}換算質量補正を施しても1911年の式の限界を示した。^{[ 54 ] : 191}ヘリウム、マグネシウム、アルミニウムでも同様の小さなずれが見られ、^{[ 55 ]}これらの場合、アルファ粒子が原子核を貫通しているという結論に至った。これにより、原子核の大きさの最初の推定が可能になった。^{[ 2 ] : 255}後に、より重い原子核に衝突するアルファ粒子のサイクロトロン加速に基づく実験により、アルファ粒子と原子核表面との相互作用の分析データが得られた。しかし、アルファ粒子をより深く押し込むエネルギーでは、アルファ粒子は原子核に強く吸収され、より複雑な相互作用となる。^{[ 54 ] : 228 [ 25 ] : 441}

ラザフォードによるアルファ粒子散乱の扱いは古典力学に基づいているように見えるが、粒子は亜原子サイズである。しかし、この理論の重要な側面は、最終的には運動量とエネルギーの保存則に基づいている。これらの概念は古典領域と量子領域の両方に等しく適用される。ラザフォードによって展開された散乱の考え方は、中性子-陽子散乱のような亜原子弾性散乱問題にも適用される。^{[ 46 ]： 89}

半径Rの純粋な正電荷 (電子なし) の球体のそばをアルファ粒子が通過する場合を考えます。球体はアルファ粒子よりもはるかに重いため、反跳は考慮しません。球体の位置は固定されています。アルファ粒子は球体の端にわずかに触れる程度に近づき、その端は球体の電場が最も強い場所です。

この記事の前半では、入射する荷電粒子が固定位置にある別の荷電粒子（つまり無限質量の粒子）によってどのように偏向されるかをモデル化した方程式を提示した。

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

この式は、図4の特殊なケースにおいて、衝突パラメータbを球の半径Rと同じ値に設定することで、偏向角を計算するために使用できます。アルファ粒子が球を貫通しない限り、電荷の球と点電荷の間に違いはなく、これはシェル定理として知られる数学的結果です。

• q _g = 金原子の正電荷 =79 q _e  =1.26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = アルファ粒子の電荷 =2 q _e  =3.20 × 10 ⁻¹⁹  C
• R = 金原子の半径 =1.44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = アルファ粒子の速度 =1.53 × 10⁷ ^m  /s
• m = アルファ粒子の質量 =6.64 × 10⁻²⁷ kg^​ 
• k =クーロン定数=8.987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²

$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ degrees}}}$$

これは、最大偏向が非常に小さく、金原子の正の球を通過するアルファ粒子の経路がほぼ直線になることを示しています。したがって、さらに小さくなる平均偏向を計算する際には、粒子が球を通過する経路を長さLの弦として扱います。

正電荷が均一に分布した球体内部において、アルファ粒子が球体を通過する経路上の任意の点でアルファ粒子に及ぼされる力は^{[ 57 ] [ 58 ]： 106である。}

$${\displaystyle F={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

この力の横方向成分は

$${\displaystyle F_{\text{y}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}}$$

したがって、運動量の横方向の変化p _yは次のようになる。

$${\displaystyle \Delta p_{\text{y}}=F_{\text{y}}t={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

偏向角${\displaystyle \theta _{2}}$は

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{\text{y}}}{p_{\text{x}}}}={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

ここでp _xは平均水平運動量であり、アルファ粒子が球面を横切る際に水平方向の力が方向を変えるため、最初は減少し、その後回復します。偏向は非常に小さいため、${\displaystyle \tan \theta _{2}}$同等に扱うことができる${\displaystyle \theta _{2}}$コードの長さ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$ピタゴラスの定理によれば。

平均偏向角${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$球全体にわたるbとLの値に対応する角度を合計し、球の断面積で割ります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{2}&={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b\\[1ex]\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\end{aligned}}}$$

これは、トムソンが1910年の論文で発表した公式と一致する。

半径Rの原子を長さLの経路に沿って通過するアルファ粒子を考えます。正の球の影響は無視し、原子電子の影響のみを分離します。正の球の場合と同様に、電子による偏向は非常に小さく、経路は実質的に直線になると予想されます。

この記事の前半部分では、入射する荷電粒子が固定位置にある別の荷電粒子によってどのように偏向されるかをモデル化した方程式を示した。

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

mとvは入射粒子の質量と速度であり、bは衝突パラメータである。

アルファ粒子の軌道から任意の距離s以内にある電子の場合、その平均距離は⁠ s / 2 ⁠になります。したがって、電子あたりの平均偏向は

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}{\tfrac {s}{2}}}}\approx {\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}}$$

ここで、q _eは素電荷である。アルファ粒子の軌道の周囲にあるこの任意の効果円筒内のすべての電子による平均正味偏向は、

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

ここで、N ₀は単位体積あたりの電子の数であり、${\displaystyle \pi s^{2}L}$これはこの円柱の体積です。

Lを直線として 扱うと、${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$ここで、bはこの線の中心からの距離です。${\displaystyle {\sqrt {L}}}$したがって

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

平均たわみを求めるには${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$、 交換する${\displaystyle {\sqrt {L}}}$方程式において${\displaystyle \theta _{1}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{1}&={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}\\[1ex]\\&={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\end{aligned}}}$$

ここでNは原子内の電子の数であり、${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$。

上記で説明したトムソン方程式を、アルファ粒子が金原子に衝突する場合に適用し、以下の値を使用します。

• q _g = 金原子の正電荷 =79 q _e  =1.26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = アルファ粒子の電荷 =2 q _e  =3.20 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _e =素電荷=1.602 × 10⁻¹⁹ C^​ 
• R = 金原子の半径 =1.44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = アルファ粒子の速度 =1.53 × 10⁷ ^m  /s
• m = アルファ粒子の質量 =6.64 × 10⁻²⁷ kg^​ 
• k =クーロン定数=8.987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²
• N = 金原子中の電子の数 = 79

アルファ粒子が原子電子によって偏向される平均部分角度は、次のように表される。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radians or }}0.004{\text{ degrees}}}$$

そして、正の球によって引き起こされる平均部分たわみは次のようになります。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radians or 0.007 degrees}}}$$

単一の原子衝突による正味の偏向角は次のとおりです。

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ degrees}}}$$

平均的には、正の球と電子はどちらも、1回の衝突ではほとんど偏向しません。トムソンのモデルは、原子の電子と正の球からの多数の単一散乱事象を組み合わせたものです。各衝突は、全散乱角を増減させる可能性があります。一連の衝突がすべて同じ方向に並ぶことは非常にまれです。結果は、ランダムウォークと呼ばれる標準的な統計問題に似ています。原子との1回の衝突におけるアルファ粒子の平均偏向角が${\displaystyle {\bar {\theta }}}$すると、 n回の衝突後の平均偏向は

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

アルファ粒子がn回の偏向後に合計90°以上偏向する確率は、次式で与えられる。

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

ここで、eはオイラー数（≈2.71828...）です。厚さ1.5マイクロメートルの金箔は、約10,000個の原子の厚さになります。原子あたりの平均偏向が0.008°の場合、10,000回の衝突後の平均偏向は0.8°になります。アルファ粒子が90°以上偏向する確率は^{[ 58 ]： 109です。}

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

トムソンのプラムプディングモデルでは、アルファ粒子が1万回の衝突後に90度以上偏向する可能性は数学的にはあり得るものの、そのような事象が発生する確率は非常に低く、検出不可能である。ガイガーとマースデンは1909年に行った実験で、アルファ粒子が戻ってくることを検出するはずはなかったが、実際には検出してしまった。