リュードベリ定数

分光法において、リュードベリ定数は、記号で表されます。$\displaystyle R_{\infty }}$重原子または${\displaystyle R_{\text{H}}}$水素の ε は、スウェーデンの物理学者ヨハネス・リュードベリにちなんで名付けられた、原子の電磁スペクトルに関連する物理定数です。この定数は、水素スペクトル系列のリュードベリの公式における経験的なフィッティングパラメータとして最初に現れましたが、ニールス・ボーアは後に、原子モデルに従って、より基本的な定数からその値を計算できることを示しました。

SIの2019年改訂前は、$\displaystyle R_{\infty }}$そして電子スピンg因子は最も正確に測定された物理定数であった。^{[ 1 ]}

定数は水素の場合、次のように表される。${\displaystyle R_{\text{H}}}$あるいは無限の核質量の極限では$\displaystyle R_{\infty }}$いずれの場合も、この定数は、水素原子から放出される光子の最大波数（逆波長）の極限値、あるいは、水素原子を基底状態からイオン化できる最低エネルギー光子の波数を表すために用いられる。水素のスペクトル系列は、水素のリュードベリ定数を用いて簡単に表すことができる。${\displaystyle R_{\text{H}}}$そしてリュードベリの公式。

原子物理学において、リュードベリエネルギー単位（記号Ry）は、リュードベリ定数に等しい波数を持つ光子のエネルギー、すなわち簡略化されたボーアモデルにおける水素原子のイオン化エネルギーに対応する。

ボーアモデルは、水素の原子スペクトル（水素スペクトル系列を参照）だけでなく、他の様々な原子やイオンのスペクトルも説明します。完全に正確ではありませんが、多くの場合、非常に良い近似であり、歴史的に量子力学の発展において重要な役割を果たしました。ボーアモデルは、電子が太陽の周りを惑星が公転するのと同様の方法で原子核の周りを公転すると仮定しています。

ボーアモデルの最も単純なバージョンでは、原子核の質量は電子の質量に比べて無限大であると考えられており、^{[ 7 ]}システムの重心、すなわち重心は原子核の中心に位置します。この無限質量近似は、${\displaystyle \infty }$添え字。ボーアモデルは、水素原子遷移の波長が（リュードベリの式を参照）であると予測する。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

ここで、n ₁とn ₂は任意の異なる正の整数 (1, 2, 3, ...) であり、${\displaystyle \lambda }$は放出または吸収された光の波長（真空中）であり、

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

どこ${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},}$Mは原子核の全質量である。この式は、電子の換算質量を代入することによって得られる。

リュードベリ定数は、最も精密に決定された物理定数の1つであり、相対標準不確かさは1.1 × 10 ⁻¹²。^{[ 2 ]}この精度は、それを定義する他の物理定数の値を制約します。^{[ 8 ]}

ボーアモデルは微細構造、超微細分裂、その他の効果により完全に正確ではないため、リュードベリ定数は$\displaystyle R_{\infty }}$水素原子の遷移周波数だけでは、非常に高い精度で直接測定することはできません。代わりに、リュードベリ定数は、3つの異なる原子（水素、重水素、反陽子ヘリウム）の原子遷移周波数の測定から推測されます。有限の原子核質量、微細構造、超微細分裂などの影響を考慮するために、量子電磁力学の枠組みでの詳細な理論計算が使用されます。最後に、リュードベリ定数の値は、$\displaystyle R_{\infty }}$は、測定値と理論との最適な一致から決定される。 ^{[ 9 ]}

リュードベリ定数は、以下の式のように表すこともできます。

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{2h}}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

エネルギー単位で

${\displaystyle {\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}},}$

どこ

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の静止質量です。
• ${\displaystyle e}$は電子の電荷であり、
• ${\displaystyle h}$プランク定数は、
• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$は換算プランク定数である。
• ${\displaystyle c}$は真空中の光速です。
• $\displaystyle \varepsilon _{0}}$は電気定数（真空誘電率）であり、
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$は微細構造定数である。
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$は電子のコンプトン波長であり、
• ${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$は電子のコンプトン周波数であり、
• $\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$は電子のコンプトン角周波数であり、
• ${\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}/{e^{2}m_{\text{e}}}}$はボーア半径です。
• ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$は古典的な電子半径です。

最初の式の最後の式は、水素原子をイオン化するために必要な光の波長が、原子のボーア半径の4π/α倍であることを示している。

2番目の式が重要なのは、その値が水素原子の原子軌道のエネルギーの係数となるからである。${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$。

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