大統一理論

大統一理論( GUT ) は、素粒子物理学におけるモデルであり、電磁力、弱い力、強い力(標準モデルの3 つのゲージ相互作用) を高エネルギーで 1 つの力に統合するものです。この統一された力は直接観測されたことはありませんが、多くの GUT モデルでその存在が理論化されています。これら 3 つの相互作用の統一が可能であれば、これら 3 つの基本的な相互作用がまだ区別されていなかった非常に初期の宇宙に大統一時代があった可能性が高まります。

実験により、高エネルギーでは、電磁相互作用と弱い相互作用が単一の複合電弱相互作用に統合されることが確認されています。^[1] GUTモデルは、さらに高いエネルギーでは、強い相互作用と電弱相互作用が1つの電子核相互作用に統合されると予測しています。この相互作用は、1つの大きなゲージ対称性と、したがって複数の力のキャリアによって特徴付けられますが、1つの統合された結合定数によって特徴付けられます。重力を電子核相互作用と統合すると、大統一理論ではなく、より包括的な万物の理論（TOE）が提供されます。したがって、GUTは多くの場合、TOEへの中間ステップと見なされます。

大統一モデルによって予測される新しい粒子は、質量が極めて高い（ GeVのGUT スケール（プランク スケールのGeVより 3 桁小さい））と予想されており、予測される粒子ハドロン衝突実験の範囲をはるかに超えています。したがって、大統一モデルによって予測される粒子を直接観測することはできず、代わりに、大統一の影響は、以下の間接的な観測を通じて検出される可能性があります。 ${\displaystyle 10^{16}}$${\displaystyle 10^{19}}$

• 陽子崩壊、
• 素粒子の電気双極子モーメント、
• あるいはニュートリノの性質^[2 ]

パティ・サラムモデルなどのいくつかのGUTは、磁気単極子の存在を予測します。

大統一理論は標準モデルに存在する複雑さを克服する単純さを提供すると期待されるかもしれないが、現実的なモデルは、観測されたフェルミオン質量と混合角を再現するために、追加の場と相互作用、さらには空間の追加の次元を導入する必要があるため、依然として複雑である。この困難は、従来の大統一理論モデルを超えたファミリー対称性の存在^{[説明が必要]}に関連している可能性がある。このため、また、これまで大統一理論の効果が観測されていないため、一般的に受け入れられている大統一理論モデルは存在しない。

ゲージ対称性として1 つの単純群を使用して 3 つの相互作用を統一するのではなく、半単純群を使用して統一するモデルは、同様の特性を示す可能性があり、大統一理論と呼ばれることもあります。

歴史的に、最初の真のGUTは、単純リー群 SU(5)に基づいて、1974年にハワード・ジョージとシェルドン・グラショーによって提案されました。 ^[3]ジョージ・グラショーモデルに先立って、1974年にアブドゥス・サラムとジョゲシュ・パティによって半単純リー代数パティ・サラムモデルが提案されました。 ^[4]パティ・サラムはゲージ相互作用を統一するアイデアの先駆者でした。

GUTという頭字語は、1978年にCERNの研究者ジョン・エリス、アンジェイ・ブラス、メアリー・K・ガイヤール、ディミトリ・ナノポロスによって初めて造られましたが、論文の最終版^[5]では、解剖学的にはあまり重要でないGUM（Grand Unification Mass）が採用されました。その年の後半、ナノポロスが論文でこの頭字語を初めて使用しました^{[6] 。 [7]}

電子と陽子の電荷が極めて正確に互いに打ち消し合うように見えるという事実は、我々が知っているようなマクロな世界が存在するために不可欠であるが、素粒子のこの​​重要な特性は、素粒子物理学の標準モデルでは説明されていない。標準モデルにおける強い相互作用と弱い相互作用の記述は、離散的な電荷のみを許容する単純な対称群SU(3)とSU(2)によって支配されるゲージ対称性に基づいているが、残りの要素である弱い超電荷相互作用は、原理的に任意の電荷割り当てを許容するアーベル対称性U(1)によって記述される。 ^{[注 1]}観測された電荷の量子化、すなわち、既知のすべての素粒子が「基本」電荷の 3 分の 1 の正確な倍数である電荷を持っているという仮定は、超電荷相互作用、およびおそらく強い相互作用と弱い相互作用が、標準モデルを含む単一のより大きな単純な対称群によって記述される 1 つの大統一相互作用に埋め込まれている可能性があるという考えにつながった。これにより、すべての素粒子電荷の量子化された性質と値が自動的に予測される。これにより、観測される基本的な相互作用の相対的な強さ、特に弱い混合角の予測も得られるため、大統一化により、理想的には独立した入力パラメータの数が削減されますが、観測によっても制約されます。

大統一は、19 世紀のマクスウェルの電磁気学の場の理論による電気力と磁気力の統一を彷彿とさせますが、その物理的な意味合いと数学的構造は質的に異なります。

SU(5)は最も単純なGUTである。標準モデルを含み、最初の大統一理論の基礎となった最小の単純リー群は、

${\displaystyle {\rm {SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)}}}$。

このようなグループ対称性により、光子、W ボソン、Z ボソン、グルーオンなど、いくつかの既知の粒子を単一の粒子場の異なる状態として再解釈できます。ただし、拡張された「大統一」対称性の最も単純な選択によって、正しい素粒子の一覧が得られるかどうかは明らかではありません。現在知られているすべての物質粒子がSU(5)の最小グループ表現の 3 つのコピーに完全に適合し、観測された正しい電荷を直ちに運ぶという事実は、大統一理論が実際に自然界で実現される可能性があると人々が信じる最初の最も重要な理由の 1 つです。

SU(5)の2 つの最小の既約表現は5 (定義表現) と10です。(これらの太字の数字は表現の次元を示します。) 標準割り当てでは、5には右巻きのダウンタイプ クォークカラー三重項と左巻きのレプトンアイソスピン二重項の電荷共役が含まれ、10には6 つのアップタイプ クォーク成分、左巻きのダウンタイプ クォークカラー三重項、および右巻きの電子が含まれます。このスキームは、既知の 3 つの物質世代のそれぞれについて再現する必要があります。この物質内容では理論に異常がないことは注目に値します。

仮想的な右巻きニュートリノはSU(5)のシングレットであり、その質量はいかなる対称性によっても禁じられていないことを意味する。自発的な電弱対称性の破れを必要とせず、それがその質量が重い理由を説明する^{[説明が必要]}（シーソー機構を参照）。

標準モデルを含む次の単純なリー群は

${\displaystyle {\rm {SO(10)\supset SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)}}}$。

ここで、物質の統一はさらに完全である。なぜなら、既約 スピノル 表現 16にはSU(5)の5と10、および右巻きニュートリノが含まれており、したがって、ニュートリノ質量を持つ拡張標準モデルの1世代の完全な粒子内容であるからである。これは、既知の物質粒子のみ（ヒッグスセクターを除く） を含むスキームで物質の統一を達成する最大の単純群である。

異なる標準モデルのフェルミオンはより大きな表現でグループ化されるため、GUTはフェルミオンの質量間の関係を具体的に予測します。たとえば、SU(5)とSO(10)の電子とダウンクォーク、ミューオンとストレンジクォーク、タウレプトンとボトムクォークの関係などです。これらの質量関係のいくつかは近似的に成り立ちますが、ほとんどは成り立ちません（Georgi-Jarlskogの質量関係を参照）。

SO(10)のボソン行列は、SU(5)の10 + 5表現から15 × 15行列を取り、右巻きニュートリノ用に余分な行と列を追加することによって求められます。ボソンは、20 個の荷電ボソン (2 個の右巻き W ボソン、6 個の質量のある荷電グルーオン、12 個の X/Y 型ボソン) のそれぞれにパートナーを追加し、さらに重い中性 Z ボソンを追加して合計 5 個の中性ボソンにすることで求められます。ボソン行列には、各行と各列にボソンまたはその新しいパートナーが含まれます。これらのペアが組み合わさって、SO(10)のよく知られた 16D ディラックスピノル行列が作成されます。

E ₈  × E ₈ヘテロティック弦理論を含む弦理論のいくつかの形式では、 6次元カラビ・ヤウ多様体上での自発的コンパクト化後の結果として得られる4次元理論は、群E ₆に基づく GUT に似ています。注目すべきことに、E ₆は、理論がカイラルフェルミオン（つまり、すべての弱く相互作用するフェルミオン）を含むための要件である複素表現を持つ唯一の例外的な単純リー群です。したがって、他の4つ（ G ₂、F ₄、E ₇、およびE ₈）は GUT のゲージ群にはなり得ません。^[要出典]

高次のSU(N) GUTに自然に現れるベクトル状の分裂多重項粒子スペクトルを持つ標準モデルの非カイラル拡張は、砂漠の物理を大幅に修正し、超対称性を使用しなくても、従来の3つのクォーク-レプトン族の現実的な（弦スケールの）大統一につながります（以下を参照）。一方、超対称SU(8) GUTで出現する新しい失われたVEVメカニズムにより、ゲージ階層（二重項-三重項分裂）問題とフレーバーの統一の問題の同時解決が議論される可能性があります。^[8]

4つのファミリー/世代を持つGUT、SU(8)：フェルミオンの世代が3ではなく4であると仮定すると、合計64種類の粒子になります。これらは、SU(8)の64 = 8 + 56の表現にまとめることができます。これは、世代数に作用するいくつかの重いボソンを伴うSU(5)理論であるSU(5) × SU(3) _F × U(1)に分割できます。

4つのファミリー/世代を持つGUT、O(16) : 再び4世代のフェルミオンを想定すると、128個の粒子と反粒子をO(16)の単一のスピノル表現にまとめることができます。

シンプレクティックゲージ群も考えられます。たとえば、Sp(8) (シンプレクティック群の記事ではSp(4)と呼ばれています) は、 4 × 4の四元数ユニタリ行列による表現を持ち、これは16次元の実数表現を持つため、ゲージ群の候補として考えられます。Sp (8)には 32 個の荷電ボソンと 4 個の中性ボソンがあります。そのサブグループにはSU(4)が含まれるため、少なくともSU(3) × U(1)のグルーオンと光子を含めることができます。ただし、この表現では、カイラルフェルミオンに作用する弱ボソンを持つことはおそらく不可能です。フェルミオンの四元数表現は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e+i\ {\overline {e}}+j\ v+k\ {\overline {v}}\\u_{r}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {r}} }+j\ d_{\mathrm {r} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {r}} }\\u_{g}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {g}} }+j\ d_{\mathrm {g} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {g}} }\\u_{b}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {b}} }+j\ d_{\mathrm {b} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {b}} }\\\end{bmatrix}}_{\mathrm {L} }}$

フェルミオンの四元数表現のさらなる複雑さは、左乗算と右乗算の 2 種類の乗算があることです。これらを考慮する必要があります。左手と右手の4 × 4四元数行列を含めることは、単位四元数による 1 回の右乗算を含めることと同等であり、これにより SU(2) が 1 つ追加され、中性ボソンが 1 つ追加され、荷電ボソンが 2 つ追加されます。したがって、左手と右手の4 × 4四元数行列のグループは、標準モデルのボソンを含む Sp(8) × SU(2)です。

${\displaystyle \mathrm {SU(4,\mathbb {H} )_{L}\times \mathbb {H} _{R}=Sp(8)\times SU(2)\supset SU(4)\times SU(2)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)} }$

が四元数値のスピノル、がSp(8)から得られる四元数エルミート4×4行列、が純粋なベクトル四元数（どちらも4ベクトルボソン）の場合、相互作用項は次のようになります 。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \ A_{\mu }^{ab}\ }$${\displaystyle \ B_{\mu }\ }$

${\displaystyle \ {\overline {\psi ^{a}}}\gamma _{\mu }\left(A_{\mu }^{ab}\psi ^{b}+\psi ^{a}B_{\mu }\right)\ }$

16 個のフェルミオンの世代は、各要素が 8 ベクトルである8 元数の形にすることができることに留意してください。3 世代を、対角要素に特定の追加を加えた 3x3 エルミート行列に配置すると、これらの行列は例外的な (グラスマン)ジョルダン代数を形成します。これは、詳細に応じて、例外的なリー群 ( F ₄、E ₆、E ₇、またはE ₈ ) のいずれかの対称群を持ちます。

${\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}a&e&\mu \\{\overline {e}}&b&\tau \\{\overline {\mu }}&{\overline {\tau }}&c\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \ [\psi _{A},\psi _{B}]\subset \mathrm {J} _{3}(\mathbb {O} )\ }$

それらはフェルミオンなので、ジョルダン代数の反交換子は交換子になる。E _{6 は}サブグループO(10)を持ち、したがって標準モデルを含むのに十分大きいことが知られている。たとえば、 E _{8ゲージ群には、8 つの中性ボソン、120 の荷電ボソン、および 120 の荷電反ボソンが含まれる。} E ₈の最小多重項の 248 個のフェルミオンを説明するには、これらに反粒子が含まれる (したがってバリオン生成がある)、新しい未発見の粒子が含まれる、または粒子のスピン方向の要素に影響を与える重力のような (スピン接続) ボソンが含まれる必要がある。 これらはそれぞれ理論的な問題を抱えている。

リー 3 代数やリー超代数などの他の構造も提案されています。これらはいずれもヤン＝ミルズ理論に適合しません。特にリー超代数は誤った^{[説明が必要]}統計を持つボソンを導入します。しかし、 超対称性はヤン＝ミルズ理論に適合します。

力の統一は、量子場理論における力の結合パラメータのエネルギースケール依存性（繰り込み群の「実行」と呼ばれる）によって可能となり、これにより、通常のエネルギーでは大きく異なる値を持つパラメータが、はるかに高いエネルギースケールで単一の値に収束することが可能になる。^[2]

標準モデルの 3 つのゲージ結合の再正規化群の実行は、ハイパーチャージが SU(5)またはSO(10) GUTと一致するように正規化されている場合、ほぼ同じポイントで一致することがわかっています。SU(5) またはSO(10) GUT は、まさに単純なフェルミオン統一につながる GUT 群です。他のリー群は異なる正規化につながるため、これは重要な結果です。ただし、標準モデルの代わりに超対称拡張MSSM を使用すると、一致ははるかに正確になります。この場合、強い相互作用と電弱相互作用の結合定数は、GUT スケールとしても知られる 大統一エネルギーで一致します。

${\displaystyle \Lambda _{\text{GUT}}\approx 10^{16}\,{\text{GeV}}}$。

この一致は偶然ではないと一般に考えられており、実験的に超対称性のパートナー粒子が観測されていないにもかかわらず、超対称性理論をさらに研究する主な動機の1つとしてしばしば引用されている。また、ほとんどのモデル構築者は、階層問題を解決するため、つまり、放射補正に対して電弱ヒッグス質量を安定化するため、単に超対称性を仮定している。 ^[9]

右巻きニュートリノのマヨラナ質量はSO(10)対称性によって禁じられているため、SO(10) GUTは右巻きニュートリノのマヨラナ質量が、それらのモデルで対称性が自発的に破れるGUTスケールに近くなると予測する。超対称GUTでは、このスケールは、シーソー機構を介して軽い、主に左巻きニュートリノ（ニュートリノ振動を参照）の現実的な質量を得るために望ましいものよりも大きくなる傾向がある。これらの予測は、いくつかのGUTが他のフェルミオン質量比を予測する ゲオルギ–ヤールスコグ質量関係とは無関係である。

いくつかの理論が提案されていますが、現在広く受け入れられているものはありません。重力を含むすべての基本的な力を包含するさらに野心的な理論は、万物の理論と呼ばれています。一般的な主流の GUT モデルには次のものがあります。

• Pati-Salam モデル— SU(4) × SU(2) × SU(2)
• Georgi-Glashow モデル— SU(5) ;反転したSU (5) — SU(5) × U(1)
• SO(10)モデル；および反転SO(10) — SO(10) × U(1)
• E ₆モデル;三位一体化— SU(3) × SU(3) × SU(3)
• 最小左-右モデル— SU(3) _C × SU(2) _L × SU(2) _R × U(1) _{B − L}
• 331モデル— SU(3) _C × SU(3) _L × U(1) _X
• キラルカラー

まったくGUTではない:

注: これらのモデルはリー代数を参照しており、リー群を参照しているわけではありません。リー群は単なるランダムな例である可能性があります。 ${\displaystyle [{\text{SU}}(4)\times {\text{SU}}(2)\times {\text{SU}}(2)]/\mathbb {Z} _{2},}$

最も有望な候補はSO(10)である。^{[10] [11]} （極小）SO(10)はエキゾチックフェルミオン（標準モデルのフェルミオンと右利きニュートリノ以外の追加のフェルミオン）を含まず、各世代を単一の既約表現に統合する。他の多くのGUTモデルはSO(10)のサブグループに基づいている。それらは極小左右モデル、SU(5)、反転SU(5)、およびPati-Salamモデルである。GUTグループE ₆はSO(10)を含むが、それに基づくモデルは大幅に複雑である。E ₆モデルを研究する主な理由は、E ₈ × E ₈ヘテロティック弦理論に由来する。

GUT モデルは一般的に、モノポール、宇宙ひも、ドメイン壁などのトポロジカル欠陥の存在を予測します。しかし、どれも観測されていません。それらの不在は、宇宙論におけるモノポール問題として知られています。多くの GUT モデルは陽子の崩壊も予測しますが、パティ–サラム モデルはそうではありません。今のところ、陽子の崩壊は実験的に観測されたことはありません。陽子の寿命の最小実験限界は、最小SU(5)をほぼ排除し、他のモデルに大きな制約を与えます。現在までに超対称性が検出されていないことも、多くのモデルに制約を与えます。

• 陽子の崩壊。これらの図は、X ボソンとヒッグス ボソンのグループを示しています。
• 
  SU(5) GUTにおけるX ボソンを介した6次元陽子崩壊${\displaystyle \ (3,2)_{-{\tfrac {5}{6}}}\ }$
• 
  反転SU(5) GUTにおけるX ボソンを介した6次元陽子崩壊${\displaystyle \ (3,2)_{\tfrac {1}{6}}\ }$
• 
  SU(5) GUTにおける三重項ヒッグスと反三重項ヒッグスによる 6 次元陽子崩壊\${\displaystyle \ T(3,1)_{-{\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle \ {\bar {T}}({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}}$

SU(5)やSO(10)のようなGUT理論は、いわゆる二重項-三重項問題を抱えている。これらの理論は、各電弱ヒッグス二重項に対して、非常に小さな質量（ここではGUTスケールよりも何桁も小さい）を持つ対応する色付きヒッグス三重項場が存在すると予測している。理論上は、クォークとレプトンを統合すると、ヒッグス二重項もヒッグス三重項と統合される。このような三重項は観測されていない。また、これらは極めて急速な陽子崩壊（現在の実験限界をはるかに下回る）を引き起こし、ゲージ結合強度が繰り込み群内で一緒に実行されるのを妨げる。

ほとんどの GUT モデルでは、物質場の 3 倍の複製が必要です。そのため、フェルミオンが 3 世代ある理由を説明できません。また、ほとんどの GUT モデルでは、異なる世代のフェルミオン質量間の小さな階層構造も説明できません。

GUT モデルは、コンパクトなリー群であるゲージ群、そのリー群の接続形式、リー代数上の不変対称双線形形式によって与えられるその接続に対するヤン・ミルズ作用(各因子の結合定数によって指定される)、リー群の実数/複素表現内の値を取るスカラー場の数で構成されるヒッグス セクター、およびリー群の複素表現内の値を取るカイラルワイル粒子から構成される。リー群には標準モデル群が含まれ、ヒッグス場は標準モデルの自発的な対称性の破れにつながるVEV を獲得する。ワイル粒子は物質を表す。

ニュートリノ振動の発見は標準モデルが不完全であることを示しているが、自然が何らかの大統一理論によって記述されるという明確な証拠は現在のところ存在しない。ニュートリノ振動はSO(10)などの特定の大統一理論への新たな関心をもたらした。

特定のGUTの実験的テストとして、陽子崩壊とフェルミオン質量が挙げられます。超対称GUTにはさらにいくつかの特別なテストがあります。しかし、研究から得られた最小陽子寿命（10³⁴ ~10³⁵ 年の範囲）は、より単純なGUTとほとんどの非SUSYモデルを除外した。 ^[12] 陽子寿命の上限（不安定な場合）は、6×10 SUSYモデルでは^{39年、1.4×10} 極小非SUSY大統一理論では^{36年。 [13]}

QCDのゲージ結合強度、弱い相互作用、ハイパーチャージは、 GUTスケールと呼ばれる共通の長さスケールで一致し、約10に等しいようです。¹⁶  GeV（プランクエネルギー10¹⁹  GeV) という数値的な観測結果は、いくぶん示唆に富んでいます。この興味深い数値的観測はゲージ結合統一と呼ばれ、標準模型の粒子の超対称性の存在を仮定した場合に特にうまく機能します。それでも、たとえば通常の (非超対称) SO(10)モデルが、Pati–Salam グループのような中間のゲージスケールで破れると 仮定することで、同じことを達成することは可能です

2020年、物理学者ジュヴェン・ワンは「超統一」として知られる概念を導入した。^{[14] [15] [16]}これは、特に世代ごとに15個のワイル粒子を持つモデルについて、右巻きのステライルニュートリノを必要とせずに、非摂動的なグローバル異常のキャンセルとコボルディズム制約（特に、重粒子マイナスレプトン数B − Lと電弱ハイパーチャージYに関連するZ / 16 Zクラス異常などの混合ゲージ重力異常から）と一致する新しいギャップのあるトポロジカル位相セクターまたは新しいギャップレス相互作用共形セクターを追加することにより、標準モデルと大統一を組み合わせます。

ギャップ付きトポロジカル位相セクターは、対称性の拡張（標準モデルのアンダーソン-ヒッグス機構における対称性の破れとは対照的）によって構築され、その低エネルギーには、4次元非可逆、5次元非可逆、または5次元可逆のエンタングルドギャップ付き位相TQFTなどのユニタリ ローレンツ不変トポロジカル量子場理論（TQFT）が含まれます。

あるいは、王の理論は、右巻きのステライルニュートリノ、ギャップレス非粒子物理学、またはより一般的な相互作用する共形場理論（CFT）の組み合わせもあり、それらが一緒になって混合ゲージ重力異常を打ち消す可能性があることを示唆しています。この提案は、離散ゲージB − L位相力を介して、標準モデル（量子場理論など）を標準モデル外セクター（TQFTまたはCFTとして暗黒物質）に結合するものとしても理解できます。

TQFT または CFT シナリオのいずれにおいても、従来の 0 次元粒子物理学を超えた新しい高エネルギー物理学のフロンティアは、新しいタイプの位相力と物質に依存しているという含意があります。これには、1 次元線演算子や 2 次元表面演算子、または共形欠陥などのギャップのある拡張オブジェクトが含まれ、その開いた端には、非制限的な分数化粒子またはエノニック弦励起が伝達されます。

これらのギャップのある拡張オブジェクトを理解し特徴付けるには、コホモロジー、コボルディズム、カテゴリなどの数学的概念を素粒子物理学に組み込む必要があります。Wang が提案したトポロジカル位相セクターは、従来の素粒子物理学のパラダイムからの脱却を意味し、標準モデルを超えた物理学のフロンティアを示しています。

• B − L量子数
• 古典統一場理論
• パラダイムシフト
• 標準モデルを超えた物理学
• 万物の理論
• XボソンとYボソン

• スティーブン・ホーキングの『時間の簡潔な歴史』には、簡潔で一般的な概要が含まれています。
• ランガッカー、ポール (2012)。「大統一」。Scholarpedia。7 ( 10): 11419。Bibcode : 2012SchpJ ...711419L。doi : 10.4249 /scholarpedia.11419。

• 大統一理論の代数