C対称性

物理学において、電荷共役とは、すべての粒子をそれに対応する反粒子と入れ替える変換であり、これによってすべての電荷の符号が変わります。電荷だけでなく、他の力に関連する電荷も変わります。C 対称性という用語は、「電荷共役対称性」という語句の略語であり、電荷共役における物理法則の対称性に関する議論で使用されます。その他の重要な離散対称性には、P 対称性(パリティ) とT 対称性(時間反転) があります。

これらの離散対称性 C、P、T は、電磁気力、重力、強い相互作用と弱い相互作用という、自然界で知られている基本的な力を記述する方程式の対称性です。ある特定の数式が自然を正しくモデル化しているかどうかを検証するには、時間における運動などの連続対称性だけでなく、その離散対称性にも物理的な解釈を与え、自然がこれらの対称性に従っているかどうかを判断する必要があります。連続対称性とは異なり、離散対称性の解釈は、もう少し知的に要求が厳しく、混乱を招きます。1950 年代に、呉健雄が弱い相互作用が P 対称性を破ることを実証したときに、早い段階で驚きが起こりました。数十年の間、複合対称性 CP は保存されているように見えましたが、CP を破る相互作用が発見されました。両方の発見はノーベル賞につながっています。

C 対称性は、宇宙は主に物質で満たされており、反物質で満たされていないため、物理的に特に厄介です。一方、物理法則の単純な C 対称性は、両者が同量存在するはずであることを示唆しています。現在、初期宇宙における CP 対称性の破れが「過剰」物質の原因であると考えられていますが、議論は決着していません。1970年代以前の宇宙論の教科書^{[ ]では、遠方の銀河は完全に反物質でできており、宇宙の正味のバランスはゼロに保たれているの}ではないかと常に示唆されていました。

この記事は、ディラック方程式や量子場の理論の構造など、さまざまな重要な方程式や理論システムの C 対称性を明らかにし、明確にすることに焦点を当てています。さまざまな基本粒子は、電荷共役下での挙動に従って分類できます。これについては、C パリティに関する記事で説明しています。

電荷共役は、3 つの異なるが密接に関連した設定で対称性として発生します。つまり、クライン–ゴルドン方程式やディラック方程式を含むいくつかの有名な微分方程式の (古典的な非量子化) 解の対称性、対応する量子場の対称性、および一般的な設定では、(擬似)リーマン幾何学の対称性です。3 つのケースすべてで、対称性は最終的に複素共役の下での対称性であることが明らかになりますが、表記法、座標の選択、その他の要因に応じて、正確に何が共役されているかが時々不明瞭になることがあります。

電荷共役対称性は電荷の対称性として解釈される。なぜなら、3 つのケースすべて (古典、量子、幾何学) において、古典電気力学のものと類似したノイマン電流を構築できるからである。これは、電気力学自体が、マクスウェル方程式を介して、U(1) ファイバー束、いわゆる円束上の構造として解釈できるためである。これは、電磁気学の幾何学的解釈を提供する。すなわち、電磁ポテンシャルは円束上のゲージ接続(エーレスマン接続)として解釈される。この幾何学的解釈により、複素数値構造を持つ (文字通りほぼ) あらゆるものが電磁場に結合される。ただし、この結合がゲージ不変な方法で行われることが条件である。この幾何学的設定におけるゲージ対称性とは、円上を移動すると、結合されたオブジェクトもそれに応じて「円状」に変換される必要があるというステートメントである。より正式には、方程式は円上のローカル座標フレームの変更に対してゲージ不変でなければならないと述べる。 U(1)の場合、これは単に、システムが（時空）座標に依存する位相係数による乗算に対して不変であるというステートメントです 。この幾何学的設定では、電荷共役は、円の周りの方向感覚を反転させる複素共役を実行する離散対称性として理解できます。 ${\displaystyle A_{\mu}}$${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

量子場の理論では、電荷共役は粒子と反粒子の交換として理解できます。この説明を理解するには、量子場の理論が何であるかを最低限理解している必要があります。（非常に）簡単に言えば、これは摂動論を介して結合微分方程式の解を求める計算を実行する手法です。このプロセスの重要な要素は、システム内の（自由で結合されていない）微分方程式ごとに1つずつある量子場です。量子場は、通常次のように記述されます。

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

ここで、は運動量、はスピン ラベル、はシステム内の他の状態の補助ラベルです。 およびは生成消滅演算子(ラダー演算子)であり、 は問題の (自由で相互作用しない、非結合の) 微分方程式の解です。 一般に、結合した微分問題のシステムの正確な解を得る方法はわかっていないため、量子場は中心的な役割を果たします。 ただし、摂動論を介して、近似解は自由場解の組み合わせとして構築できます。 この構築を実行するには、必要なときに、オンデマンドで任意の自由場解を抽出して操作できなければなりません。 量子場はまさにこれを提供します。つまり、ベクトル空間内のすべての可能な自由場解を列挙し、生成演算子と消滅演算子を介して、任意の時点でそれらのいずれかを選択できるようにします。 ${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle u,v}$

生成演算子と消滅演算子は、一方の演算子が他方の演算子が「生成」したものを「元に戻す」という点で、標準的な交換関係に従います。これは、任意の解は、一方が他方を元に戻すか打ち消すように、その「反解」とペアにする必要があることを意味します。ペアリングは、すべての対称性が維持されるように実行されます。一般にローレンツ不変性に関心があるため、量子場には、上記ですべての可能な運動量の積分として書かれた、すべての可能なローレンツ座標フレームの積分が含まれます (フレームバンドルのファイバーの積分です)。ペアリングでは、与えられた が反対の運動量とエネルギーに関連付けられている必要があります。量子場は、すべての可能なスピン状態の合計でもあります。デュアルペアリングは、反対のスピンと一致します。同様に、他の量子数についても、これらが反対としてペアになります。この双対化を実行するには技術的な困難があります。つまり、ある特定のソリューションが他のソリューションに対して「双対」であることが何を意味するのかを説明し、フレーム バンドルのファイバーを積分するとき、スピンを表すファイバーを積分 (合計) するとき、および理論で発生するその他のファイバーを積分 (合計) するときに、一貫して双対のままであるように説明する必要があります。 ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$

積分するファイバーが電磁気学の U(1) ファイバーである場合、双対のペアリングはファイバー上の方向 (向き) が逆になります。積分するファイバーが色電荷の SU(3) ファイバーである場合、双対のペアリングは再び向きを逆になります。これは、SU(3) には 2 つの双対の基本表現 があり、自然にペアリングできるため、「そのまま機能」します。量子場のこの規定は、システムの連続対称性を列挙し、首尾一貫した方法で双対を定義できるあらゆる状況に自然に一般化されます。ペアリングは、完全に抽象的な意味で反対の電荷を結び付けます。物理学では、電荷は連続対称性の生成元に関連付けられます。異なる電荷は、それらの対称性の普遍包絡代数のカシミール不変量の異なる固有空間に関連付けられます。これは、基礎となる時空多様体のローレンツ対称性と、時空多様体の上に置かれたファイバー束内の任意のファイバーの対称性の両方に当てはまります。双対性は、対称性の生成元を生成元のマイナスに置き換えます。したがって、電荷共役は、対称性の空間の線束または行列式束に沿った反射に関連付けられ ます。${\displaystyle \mathbf {3} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

上記は量子場理論における量子場の一般的な考え方の概略です。物理的な解釈では、解は粒子に対応し、解は反粒子に対応するため、電荷共役は 2 つの組み合わせです。この概略は、一般的な幾何学的設定で電荷共役がどのように見えるかを示す十分なヒントも提供します。摂動論を使用して、摂動展開の仲介者として機能する量子場を構築するという特別な強制要件はありません。電荷共役は一般的な設定で与えることができます。 ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

一般のリーマン多様体と擬リーマン多様体では、接線束、余接束、およびこの 2 つを結び付ける計量があります。このような状況に直面したとき、興味深いことがいくつかあります。1 つは、滑らかな構造により、多様体上に微分方程式を置けることです。接線空間と余接空間は、多様体上で微積分を実行するのに十分な構造を提供します。重要な点はラプラシアンと、定数項を持つクライン–ゴードン演算子です。余接束は、その基本的な構成により、常にシンプレクティック多様体です。シンプレクティック多様体は、位置と運動量として解釈される標準座標を持ち、 標準交換関係に従います。これにより、双対性、ひいては電荷共役をこの一般的な設定に拡張するための中核的なインフラストラクチャが提供されます。 ${\displaystyle x,p}$

2 番目に興味深いことは、スピン構造を構築することです。おそらくこれに関して最も注目すべき点は、これが(1,3) 次元ミンコフスキー時空上に存在するスピノルの従来の物理学的概念を 次元擬リーマン多様体に非常にわかりやすく一般化したものであることです。この構築は、複素化されたクリフォード代数を経てクリフォード束とスピン多様体を構築します。この構築の最後には、ディラック スピノルとディラック方程式をすでに知っている人にとっては、非常に馴染みのあるシステムが得られます。この一般的なケースには、いくつかの類似点が当てはまります。まず、スピノルはワイルスピノルであり、複素共役のペアになっています。これらは自然に反可換であり (これはクリフォード代数からわかります)、これはまさにパウリの排他原理と関連付けたいものです。もう 1 つは、これらのスピノルを左手と右手のサブスペースに分類するガンマ行列に類似したカイラル要素の存在です。複素化は重要な要素であり、この一般化された設定で「電磁気学」を提供します。スピノル束は、ローレンツ群の一般化である擬直交群の下で「単に」変換されるのではなく、より大きな群である複素化スピン群の下で変換 されます。複素化スピン群は、${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

この部分は、いくつかの異なる方法で電磁気学と同一視できます。1 つの方法は、スピン多様体上のディラック演算子を2 乗すると、その部分に関連付けられた接続部分から生じる部分が含まれるというものです。これは、通常のミンコフスキー時空で通常のディラック方程式を 2 乗すると発生することと完全に類似しています。2 つ目のヒントは、この部分がスピン構造の行列式バンドルに関連付けられ、複素共役を通じて左手スピノルと右手スピノルを効果的に結び付けているということです。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle F=dA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$

残っているのは、上記の構成の離散対称性を調べることです。P対称性とT対称性を一般化すると思われるものがいくつかあります。次元を時間と同一視し、次元を空間と同一視することで、次元部分空間の接線ベクトルを逆にして時間を反転することができ、次元の方向を反転するとパリティに対応します。C対称性は、線束の反射と同一視できます。これらすべてを結び目にまとめると、最終的に転置の概念が得られ、クリフォード代数の要素を逆（転置）順序で記述できます。最終的な結果は、従来の物理学の場の考え方が一般的なリーマン設定に引き継がれるだけでなく、離散対称性の考え方も引き継がれることです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

これに対処するには 2 つの方法があります。1 つは、これを興味深い好奇心として扱うことです。もう 1 つは、低次元 (低次元時空) では、さまざまなリー群とその他のさまざまな構造の間に「偶然の」同型が多数存在することを認識することです。一般的な設定でこれらを調べることができれば、これらの関係が解きほぐされ、「物事がどこから来るのか」がより明確に明らかになります。

電磁気学の法則（古典的および量子的）は、電荷とその負電荷の交換に対して不変である。電子とクォークの場合、どちらも基本粒子 フェルミオン場であり、単一粒子場の励起はディラック方程式によって記述される。

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

電荷共役解を見つけたい

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

2番目の方程式は、最初の方程式からいくつかの代数的操作で得られる。^{[1] [2] [3]}ディラック方程式の標準的な説明では、共役場を反粒子場として解釈し、複素転置ディラック方程式を満たすことが 示される。${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

符号がすべて反転しているのではなく、一部が反転していることに注意してください。これを再度転置すると、必要な符号変更を挿入するために ガンマ行列を転置する4×4 行列が見つかる限り、ほぼ目的の形になります。${\displaystyle C}$

${\displaystyle C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

電荷共役解は、次の式で与えられる。

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

電荷共役行列と呼ばれる4×4 行列は、ガンマ行列に関する記事で明示的な形式が与えられています。興味深いことに、この形式は表現に依存しませんが、ガンマ群(ガンマ行列の代数的特性を捉えるクリフォード代数のサブグループ) に選択された特定の行列表現に依存します。この行列は、荷電粒子のローレンツ共変量を記述するスピン群の複素化を含む微妙な相互作用により、表現に依存します。複素数は、一般に次のように解釈される任意の位相因子です。${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

カイラリティと電荷共役の相互作用はやや微妙で、明確に説明する必要があります。電荷共役は粒子のカイラリティを変えないとよく言われます。これは場には当てはまりません。この違いは、反粒子が粒子の不在として解釈される「ホール理論」による粒子の解釈で生じます。これは、以下で明確に説明します。

慣例的に、はカイラリティ演算子として用いられる。電荷共役のもとでは、それは次のように変換される。 ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

が等しいかどうかは、ガンマ行列の選択された表現に依存します。ディラック基底とカイラル基底では が成り立ちますが、マヨラナ基底では が得られます。次に例を示します。 ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

質量ゼロのディラックスピノル場の場合、カイラリティは正のエネルギー解に対してはヘリシティに等しい（負のエネルギー解に対してはヘリシティのマイナス）。^{[2] : § 2-4-3、87ページ以降}これは質量ゼロのディラック方程式を次のように書くことで得られる。

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

1 を掛けると${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

ここで、 は角運動量演算子であり、は完全に反対称なテンソルである。これは、平面波状態 をとる3D スピン演算子を定義し、オンシェル制約 を適用し、運動量を 3D 単位ベクトルに正規化することで、もう少しわかりやすい形にすることができる。 ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$${\displaystyle k\cdot k=0}$${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

上記を検討すると、角運動量固有状態（ヘリシティ固有状態）はカイラル演算子の固有状態に対応するという結論が導き出されます。これにより、質量のないディラック場を、それぞれがワイル方程式を満たすがエネルギーが反対である ワイルスピノル のペアにきれいに分割することができます。${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

そして

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

負のヘリシティを負のエネルギーと等しくする自由、つまり反粒子を反対のヘリシティを持つ粒子と等しくする自由があることに注意してください。明確にするために、ここではパウリ行列であり、は運動量演算子です。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

ガンマ行列の ワイル表現をとると、（質量を持つとみなされる）ディラックスピノルは次のように書ける。

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

対応する双対（反粒子）場は

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

電荷共役スピノルは

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

ここで、前と同様に、は位相因子であり、次のように表される 。左と右の状態が入れ替わっていることに注意。これはパリティ変換によって復元できる。パリティのもとで、ディラックスピノルは次のように変換される。 ${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

電荷とパリティを合わせると、

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

慣例的に、グローバルに取得します。ただし、以下の注記を参照してください。 ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

マヨラナ条件は、場とその電荷共役の間に制約を課します。つまり、それらは等しくなければなりません。これは、マヨラナ スピノルが電荷共役反転の固有状態である必要があるという要件として最もよく表現されるでしょう。 ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

そうするには、表記上の注意が必要です。電荷共役を論じる多くのテキストでは、ディラック方程式の単一粒子解に適用する場合、反転に明示的な記号名は与えられていません。これは、量子化された場を論じる場合とは対照的です。量子化された場の場合は、ユニタリ演算子が定義されます (以下の後のセクションで行います)。このセクションでは、反転を次のように命名します。これを線形演算子とすると、その固有状態を検討できます。マヨラナ条件は、そのような固有状態の 1 つを特定します。 ただし、そのような固有状態は 2 つあります。上記のように、ワイル基底で続けると、これらの固有状態は次のようになります。 ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

マヨラナスピノルは、慣例的に正の固有状態、すなわちカイラル演算子によってこれら2つが交換され、 ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

これは直接代入することで簡単に確認できます。 には 4×4 行列表現がないことに注意してください。より正確には、複素数をその複素共役にできる複素 4×4 行列は存在しません。この逆変換には 8×8 実数行列が必要です。電荷共役としての複素共役の物理的解釈は、以下の後続のセクションで説明するスカラー場の複素共役を考慮すると明らかになります。 ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

カイラル固有状態への射影は次のように書ける。そして、上記は次のように翻訳される。 ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

これは、ディラック方程式の単粒子複素数値解に電荷共役を適用すると、解のカイラリティが反転することを直接的に示している。電荷共役固有空間への射影は、${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

位相係数には幾何学的解釈を与えることができる。質量のあるディラックスピノルの場合、「任意の」位相係数は運動量とヘリシティ（カイラリティではない）の両方に依存する可能性があることが指摘されている。^{[4]これは、座標フレームのローカルな選択に応じて、この位相が}スピノルバンドルのファイバーに沿って変化する可能性があると解釈できる。言い換えると、スピノル場はスピノルバンドルのローカルセクションであり、ローレンツブーストと回転は、対応するフレームバンドルのファイバーに沿った動きに対応する（これもローカル座標フレームの選択にすぎない）。このように検討すると、この余分な位相の自由度は、電磁場から生じる位相として解釈できる。マヨラナスピノルの場合、位相はブーストと回転によって変化しないように制約される。 ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

上記は、単一粒子解のみに対する電荷共役について述べたものである。量子場理論のようにディラック場が第2量子化されると、スピノルと電磁場は演算子によって記述される。電荷共役の反転は、粒子場に作用するユニタリー演算子（カリグラフィフォント）として現れ、 ^{[5] [6]と表現される。} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

ここで、非書道は前に示したものと同じ 4×4 行列です。 ${\displaystyle \ C\ }$

電荷共役は粒子のカイラリティを変えません。左巻きニュートリノは電荷共役によって左巻き反ニュートリノに変換されますが、これは標準モデルでは相互作用しません。この特性は、弱い相互作用における C 対称性の「最大違反」によって意味されます。

左-右モデルのような標準モデルのいくつかの仮定された拡張は、この C 対称性を復元します。

ディラック場には「隠れた」ゲージ自由度があり、ディラック方程式や場自体にさらなる修正を加えることなく、直接電磁場に結合することができる。^[a] これはスカラー場には当てはまらない。スカラー場は、電磁気学に結合するために明示的に「複素化」されなければならない。これは、複素平面の追加因子を場に「テンソル化」するか、との直積を構築することによって行われる。 ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle U(1)}$

非常に一般的な手法の1つは、2つの実スカラーフィールドから始めて、線形結合を作成すること です。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

電荷共役反転は写像である。これは電磁ポテンシャルの符号を反転するのに十分であるからである（この複素数はそれに結合するために使用されているため）。実スカラー場の場合、電荷共役は単なる恒等写像である。そしてそして、したがって、複素化された場の場合、電荷共役は単に「mapsto」矢印は「何がどこにあるのか」を追跡するのに便利である。同等の古い表記法は単に およびと書く。${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

上記は、荷電スカラー場の従来の構築について説明しています。他の方法で、場に追加の代数構造を導入することもできます。特に、 のように動作する「実数」場を定義できます。実数であるため、それ自体では電磁気学と結合できませんが、複素化されると、 のように変換される荷電場になります。C 対称性は離散対称性であるため、与えられた物理的現実を正しくモデル化する理論を探す際に、これらの種類の代数ゲームをプレイする自由があります。 ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

物理学の文献では、 のような変換は、それ以上の説明なしに記述されることがあります。これの正式な数学的解釈は、場はの要素であり、であるということです。したがって、正確に言えば、場は のように記述され、電荷共役の下で のように動作します。これらを単純に掛け合わせて、このマイナス記号の位置を移動することは非常に魅力的ですが、形式的には正しくありません。これはほとんどの場合「うまく機能します」が、適切に追跡しないと混乱を招きます。 ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$${\displaystyle \phi =(r,c)}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

しばらくの間、C 対称性はパリティ反転変換 ( P 対称性を参照)と組み合わせることで、複合CP 対称性を維持できると信じられていました。しかし、この対称性の破れは弱い相互作用 (特にK 中間子と B中間子) で確認されています。標準モデルでは、このCP 破れはCKM 行列の単一の位相によるものです。CP が時間反転 ( T 対称性)と組み合わせられると、結果として生じるCPT 対称性は、ワイトマン公理のみを使用して普遍的に従うことを 示すことができます。

電荷共役の類似物は、高次元ガンマ行列に対して定義することができ、ワイルスピノルの明示的な構成はワイル-ブラウアー行列に関する記事で与えられている。ただし、クリフォード代数の表現論で抽象的に定義されているスピノルは場ではなく、むしろゼロ次元時空上に存在するものと考える必要があることに注意されたい。

T 対称性の類似は、ディラック スピノルの T 共役演算子としてから得られます。スピノルには、スピノルが構築されるクリフォード代数の基底ベクトルの方向をすべて反転することで得られる固有のP 対称性もあります。時空多様体上のフェルミオン場の P 対称性および T 対称性との関係は少し微妙ですが、おおよそ次のように特徴付けることができます。クリフォード代数を介してスピノルが構築される場合、構築には構築するベクトル空間が必要です。慣例により、このベクトル空間は、特定の固定された時空点 (接線多様体内の単一のファイバー) における時空多様体の接線空間です。時空多様体に適用される P および T 操作は、接線空間の座標も反転するものと理解できます。したがって、2 つは接着されています。一方においてパリティまたは時間の方向を反転すると、もう一方でも反転します。これは慣例です。このつながりを広めることができなければ、混乱してしまう可能性があります。 ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

これは、接空間をベクトル空間として取り、それをテンソル代数に拡張し、ベクトル空間上の内積を使用してクリフォード代数を定義することによって行われます。このような各代数をファイバーとして扱うと、クリフォードバンドルと呼ばれるファイバーバンドルが得られます。接空間の基底を変更すると、クリフォード代数の要素はスピングループに従って変換されます。スピングループをファイバーとして主ファイバーバンドルを構築すると、スピン構造が得られます。

上の段落で欠けているのはスピノルそのものである。スピノルには接多様体の「複素化」、つまり複素平面でテンソル化することが必要である。これが完了すると、ワイルスピノルを構築できる。これらは次の形式を持つ。

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

ここで、はベクトル空間 の基底ベクトルであり、時空多様体の点 における接空間である。ワイルスピノルは、その複素共役とともに、次の意味で接空間を張る。 ${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

交代代数はスピノル空間と呼ばれ、スピノルとスピノルの積（つまり、ベクトルやテンソルを含む、より高いスピン値を持つオブジェクト）が存在する場所です。 ${\displaystyle \wedge W}$

• Cパリティ
• Gパリティ
• 反粒子
• 反物質
• 真に中性な粒子