シーソー機構

シーソー機構は、素粒子物理学の大統一理論、特にニュートリノ質量とニュートリノ振動の理論において、eVオーダーの観測ニュートリノ質量の相対的な大きさを、それより何百万倍も重いクォークや荷電レプトンの質量と比較するために使用される一般的なモデルです。シーソー機構の名前は、1981年に東京で行われた会議で 柳田勉によって付けられました。

いくつかの種類のモデルがあり、それぞれが標準モデルを拡張しています。最も単純なバージョンである「タイプ 1」は、電弱相互作用に対して不活性な 2 つ以上の追加の右手ニュートリノ場^[a] と非常に大きな質量スケールの存在を仮定することで標準モデルを拡張しています。これにより、質量スケールを大統一の仮定スケールと同一視できるようになります。

このモデルは、3 つの既知のニュートリノ フレーバーごとに軽いニュートリノを生成し、各フレーバーに対応する、まだ観測されていない 非常に重いニュートリノも生成します。

シーソー機構の背後にある単純な数学的原理は、次の形式の 2×2行列の次の性質である。

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&M\\M&B\end{pmatrix}}.}$

2つの固有値を持ちます:

${\displaystyle \lambda _{(+)}={\frac {B+{\sqrt {B^{2}+4M^{2}}}}{2}},}$

そして

${\displaystyle \lambda _{(-)}={\frac {B-{\sqrt {B^{2}+4M^{2}}}}{2}}.}$

行列式なので、との幾何平均は に等しくなります。 ${\displaystyle \lambda _{(+)}}$${\displaystyle \lambda _{(-)}}$${\displaystyle \left|M\right|}$ ${\displaystyle \lambda _{(+)}\;\lambda _{(-)}=-M^{2}}$

したがって、一方の固有値が上がると、もう一方は下がり、その逆も同様です。これが、このメカニズムが 「シーソー」と呼ばれる理由です。

このモデルをニュートリノに適用すると、はよりはるかに大きいとみなされます 。すると、大きい方の固有値はほぼ等しく、小さい方の固有値はほぼ等しくなります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \lambda _{(+)},}$${\displaystyle B,}$

${\displaystyle \lambda _{-}\approx -{\frac {M^{2}}{B}}.}$

このメカニズムは、ニュートリノの質量が非常に小さい理由を説明するのに役立ちます。 ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} 行列Aは、本質的にニュートリノの質量行列です。マヨラナ質量成分はGUTスケールに匹敵し、レプトン数保存に違反します。一方、ディラック質量成分は、はるかに小さい電弱スケールのオーダーであり、以下ではVEVまたは真空期待値と呼ばれます。より小さな固有値は、ニュートリノの質量が非常に小さくなり、${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda _{(-)}}$1  eVであり、これは実験と定性的に一致しており、大統一理論の枠組みを支持する証拠と見なされることもあります。

2×2行列Aは、標準模型の作用のゲージ不変性によって許される最も一般的な質量行列と、レプトン場とニュートリノ場の対応する電荷 を考慮することによって、標準模型内で自然に生じます。

ワイルスピノルのニュートリノ部分を左巻きレプトン弱アイソスピン二重項の一部と呼び、もう一方の部分は左巻き荷電レプトンである。 ${\displaystyle \chi ,}$ ${\displaystyle \ell ,}$

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}\chi \\\ell \end{pmatrix}},}$

これはニュートリノ質量を省略した最小標準モデルに存在するため、弱いアイソスピンの下ではシングルトンである仮定の右巻きニュートリノワイルスピノル、つまりステライルニュートリノなどの弱い相互作用に失敗するニュートリノであるとします。 ${\displaystyle \eta}$

ローレンツ共変質量項 を形成するには3つの方法があり、

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,B'\,\chi ^{\alpha }\chi _{\alpha }\,,\quad {\frac {1}{2}}\, B\,\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }\,,\quad \mathrm {or} \quad M\,\eta ^{\alpha }\chi _{\アルファ }\,,}$

およびそれらの複素共役は二次形式として表すことができ、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{\begin{pmatrix}\chi &\eta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B'&M\\M&B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}.}$

右手ニュートリノスピノルはすべての標準モデルのゲージ対称性の下で荷電されていないため、B は原理的に任意の値を取ることができる自由パラメータです。

パラメータMは電弱ゲージ対称性によって禁じられており、荷電レプトンのディラック質量のように、ヒッグス機構によって対称性が自発的に破れた後にのみ出現する。特に、χ∈Lは弱いアイソスピンを持つため、 1/2⁠ はヒッグス場 Hのように弱アイソスピン0を持ち、質量パラメータM は従来の標準模型のやり方で ヒッグス場との湯川相互作用から生成される。${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{yuk}=y\,\eta L\epsilon H^{*}+...}$

これは、 Mが標準モデルのヒッグス場の真空期待値のオーダーであることを意味する。

真空期待値（VEV）${\displaystyle \quad v\;\approx \;\mathrm {246\;GeV} ,\qquad \qquad |\langle H\rangle |\;=\;v/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle M_{t}={\mathcal {O}}\left(v/{\sqrt {2}}\right)\;\approx \;\mathrm {174\;GeV} ,}$

無次元湯川結合がのオーダーである場合。 一貫してより小さい値を選択できますが、極端な値を選択するとモデルが非摂動的 になる可能性があります。 ${\displaystyle y\approx 1}$${\displaystyle y\gg 1}$

一方、パラメータは禁止されています。なぜなら、これらの二重項コンポーネントを使用して、弱いハイパーチャージとアイソスピンの下での再正規化可能な単一項を形成できないためです。再正規化できない次元 5 項のみが許可されます。これが、「タイプ 1」シーソー メカニズム内の質量行列のスケールのパターンと階層の起源です。 ${\displaystyle B'}$${\displaystyle A}$

Bの大きなサイズは、大統一理論の文脈で動機付けられる。そのようなモデルでは、拡大されたゲージ対称性が存在する可能性があり、これは最初は破れていない位相を強制するが、自発的な対称性の破れのスケールの周りで大きな、ゼロではない値を生成する。したがって、質量が与えられると、巨大なスケールは、固有ベクトルに対して劇的に小さなニュートリノ質量を誘導する。${\displaystyle B=0}$${\displaystyle B\approx M_{\mathsf {GUT}}\approx \mathrm {10^{15}~GeV} ,}$${\displaystyle M\approx \mathrm {100\;GeV} }$${\displaystyle \lambda _{(-)}\;\approx \;\mathrm {0.01\;eV} .}$${\displaystyle \nu \approx \chi -{\frac {\;M\;}{B}}\eta .}$

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• 「シーソー機構の詳細」。quantumfieldtheory.info。