代数学の基本定理

代数学の基本定理は ダランベールの定理^[1]またはダランベール・ガウスの定理^[2]とも呼ばれ、複素係数を持つすべての非定数一変数多項式は少なくとも1つの複素根を持つと述べています。すべての実数は虚数部がゼロである 複素数であるため、これには実係数の多項式が含まれます。

同様に（定義により）、定理は複素数体が代数的に閉じていることを述べています。

この定理は次のようにも述べられています。複素係数を持つ、ゼロでない単変数のn次多項式はすべて、 重複度で数えると、ちょうどn個の複素根を持ちます。2 つのステートメントの同値性は、連続した多項式除算を使用することで証明できます。

その名前にもかかわらず、それは現代の代数学にとって基本的なものではありません。代数学が方程式の理論と同義であったときに命名されました。

ピーター・ロート [de]は、著書『算術哲学』（1608年、ニュルンベルクでヨハン・ランツェンベルガーにより出版）^[3]で、 n次の多項式方程式（実係数）はn個の解を持つ可能性があると書いている。アルベール・ジラールは著書『代数の新発明』 （1629年出版）で、 n次の多項式方程式はn個の解を持つと主張したが、それらが実数でなければならないとは述べなかった。さらに、彼は自分の主張は「方程式が不完全でない限り」成り立つと付け加えた。つまり、どの係数も0に等しくないという意味である。しかし、彼が自分の主張を詳しく説明すると、彼は実際に自分の主張が常に正しいと信じていることが明らかである。たとえば、彼は方程式が不完全であるにもかかわらず、4つの解（重複を数えると）を持つことを示す。1（2回）、および${\displaystyle x^{4}=4x-3,}$${\displaystyle -1+i{\sqrt {2}},}$${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}}.}$

後述するように、代数学の基本定理から、実係数を持つすべての非定数多項式は、次数が1または2である実係数を持つ多項式の積として表すことができる。しかし、1702年にライプニッツは、 x ⁴ + a ⁴（aが実数で0と異なる）型の多項式はそのような方法で表すことができないと誤って述べた。後に、ニコラウス・ベルヌーイは多項式x ⁴ − 4 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4に関して同じ主張をしたが、 1742年にオイラーから手紙を受け取り^[4]、この多項式が

${\displaystyle \left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),}$

また オイラーは次のように指摘した。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.}}$

${\displaystyle x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).}$

この定理を証明しようとする最初の試みは1746 年にダランベールによってなされたが、彼の証明は不完全だった。他の問題の中でも、この定理は暗黙のうちに定理 (現在ではピュイズーの定理として知られている) を仮定していたが、この定理は 1 世紀以上も後になって代数学の基本定理を用いて証明された。他の試みはオイラー(1749 年)、ド・フォンスネ(1759 年)、ラグランジュ(1772 年)、ラプラス(1795 年) によってなされた。この最後の 4 つの試みは暗黙のうちにジラールの主張を仮定していた。より正確に言えば、解の存在が仮定され、残された証明は、いくつかの実数aとbに対してその形式がa  +  biであるということだけだった。現代の言葉で言えば、オイラー、ド・フォンスネ、ラグランジュ、ラプラスは多項式p ( z ) の分解体の存在を仮定していた。

18世紀末に、根の存在を前提としない2つの新しい証明が発表されたが、どちらも完全ではなかった。そのうちの1つはジェームズ・ウッドによるもので、主に代数的なもので、1798年に発表されたが、完全に無視された。ウッドの証明には代数的なギャップがあった。^[5]もう1つはガウスによって1799年に発表されたもので、主に幾何学的なものであったが、位相的なギャップがあり、スメール（1981）で議論されているように、1920年にアレクサンダー・オストロフスキーによってのみ埋められた。 ^[6]

最初の厳密な証明は、アマチュア数学者のアルガンによって1806年に発表され（1813年に再検討された）^[7]、ここで初めて、代数の基本定理が実係数だけでなく複素係数を持つ多項式に対して述べられた。ガウスは1816年にさらに2つの証明を作成し、1849年には元の証明の不完全なバージョンを作成した。

この定理の証明を載せた最初の教科書は、コーシーの『王立工科大学の分析学』（1821 年）である。この教科書にはアルガンの証明も載っているが、アルガンの功績は認められていない。

これまで述べた証明はどれも構成的ではありません。代数学の基本定理の構成的証明を求める問題を 19 世紀半ばに初めて提起したのはワイエルシュトラスでした。彼は 1891 年に、現代の言葉で言えばデュラン・ケルナー法とホモトピー接続原理を組み合わせた解法を提示しました。この種の別の証明は 1940 年にヘルムート・クネーザーによって得られ、1981 年に息子のマーティン・クネーザーによって簡略化されました。

可算選択を使わずに、デデキントの実数（可算選択のないコーシーの実数と構成的に同値ではない）に基づく複素数に対する代数の基本定理を構成的に証明することは不可能である。[8]しかし、フレッド・リッチマンは定理を再定式化したバージョンを証明したが、それは機能する。 [ ^{9 ]}

この定理には同等の定式化がいくつかあります。

• 実係数を持つ正の次数の単変数多項式はすべて、少なくとも 1 つの複素根を持ちます。
• 複素係数を持つ正の次数の単変数多項式はすべて、少なくとも 1 つの複素根を持ちます。

  これは、実数が複素数でもあるため、前の主張を直ちに意味します。逆は、多項式とその複素共役（各係数をその複素共役で置き換えることによって得られる）との積をとることで、実係数を持つ多項式が得られるという事実から生じます。この積の根は、与えられた多項式の根か、その共役の根のいずれかです。後者の場合、この根の共役は、与えられた多項式の根です。

• 複素係数を持つ正の次数nのすべての一変数多項式は、次のように因数分解できます。ここで、は複素数です。$${\displaystyle c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$${\displaystyle c,r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  n個の複素数は多項式の根です。根が複数の因数に現れる場合、それは多重根であり、その出現回数は定義により根の重複度になります。${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  この命題が前の命題から導かれることの証明は、nの再帰によって行われます。根が見つかった場合、多項式を で割ると、与えられた多項式の他の根を根とする次数の多項式が得られます。${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle x-r_{1}}$${\displaystyle n-1}$

次の 2 つのステートメントは、非実複素数を含まない点を除いて、前のステートメントと同等です。これらのステートメントは、r が実係数の多項式の非実根である場合、その複素共役も根であり、実係数の 2 次多項式である (これが複素共役根定理である) ことを指摘することで、前の因数分解から証明できます。逆に、2 次因数がある場合、二次方程式の公式は根を与えます。 ${\displaystyle {\overline {r}}}$${\displaystyle (xr)(x-{\overline {r}})}$

• 2 より大きい次数の実係数を持つすべての一変数多項式には、実係数を持つ次数 2 の因子が存在します。
• 正の次数の実係数を持つすべての一変数多項式は、次のように因数分解できます。ここで、 cは実数で、それぞれは実係数を持つ最大 2 次までの単項多項式です。さらに、次数 2 の因数には実根がないと仮定できます。$${\displaystyle cp_{1}\cdots p_{k},}$$${\displaystyle p_{i}}$

以下の証明はすべて、何らかの数学的解析、または少なくとも実関数または複素関数の連続性の位相概念を必要とします。また、微分可能関数や解析関数を使用するものもあります。この要件により、代数学の基本定理は基本定理でも代数学の定理でもないという指摘が生まれました。^[10]

定理のいくつかの証明は、実係数を持つ任意の非定数多項式が何らかの複素根を持つことを証明するだけです。この補題は、複素係数を持つ非定数多項式pが与えられた場合、多項式

${\displaystyle q=p{\overline {p}},}$

は実係数のみを持ち、z がqの根である場合、zまたはその共役はpの根になります。ここで、はpの各係数をその複素共役で置き換えることによって得られる多項式です。 の根はpの根の複素共役とまったく同じです。${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle {\overline {p}}}$

この定理の非代数的証明の多くは、支配係数が1であるn次の多項式関数p ( z )は、 | z |が十分に大きい場合、 znのように振舞うという事実（「成長補題」と呼ばれることも ある^）を利用している。より正確には、

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|}$

| z | >  R の場合。

複素数を使わなくても、 n >2次の実数値多項式p ( x ): p (0)≠0が常に実係数の2次多項式で割り切れることを示すことは可能です。^[11]言い換えれば、実数値aとbに対して、 p ( x )をx2 − ax − bで割ったときの線形剰余の係数は^同時に0になります。

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

ここで、q ( x ) はn − 2次多項式です。係数R _{p ( x )} ( a , b ) とS _{p ( x )} ( a , b ) はxとは独立しており、p ( x ) の係数によって完全に定義されます。表現の点では、R _{p ( x )} ( a , b ) とS _{p ( x )} ( a , b ) はaとbの 2 変数多項式です。1799 年のガウスによるこの定理の最初の (不完全な) 証明では、鍵となるのは、bの十分に大きな負の値に対して、変数aにおけるR _{p ( x )} ( a , b ) とS _{p ( x )} ( a , b )のすべての根が実数値で交互に現れる (インターレース特性) ことを示すことです。R _{p ( x )} ( a , b ) とS _{p ( x )} ( a , b ) を連続項として含むSturm のような連鎖を利用すると、 b が十分に大きな負の値を持つときは_いつでも、連鎖内のすべての連続するペアに対して変数aのインターレースを示すことができます。S p ( a , b = 0) = p (0) には根がないため、変数aでのR p ( x ) ( a , b ) と S p ( x ) ( a , b )のインターレース_{はb = 0}で失敗します。インターレース_{特性に位相的}な議論を適用して、R _{p ( x )} ( a , b ) とS _{p (x )} ( a、 b ) は、実数値aおよびb < 0 に対して必ず交差します。

原点を中心とし、半径rの閉円板 Dで、 | p ( z )| > | p (0)| が常に | z | ≥  r となるものを探します。Dがコンパクトであるため、 D上の| p ( z )| の最小値は必ず存在しますが、 Dの内部のある点z ₀では最小値になり、境界のどの点でも最小値にはなりません。 1/ p ( z ) に最大係数原理を適用すると、 p ( z ₀ ) = 0となります。つまり、z _0はp ( z )の零点です。

この証明のバリエーションでは、最大モジュラス原理を必要としません（実際、同様の議論は、正則関数の最大モジュラス原理の証明にもなります）。原理が呼び出される前の状態から続けて、a  := p ( z ₀ ) ≠ 0 の場合、p ( z ) をz − z ₀のべき乗で展開すると、次のように書くことができます。

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

ここで、c _{j は}単に展開後の多項式z → p ( z + z ₀ ) の係数であり、k は定数項に続く最初の非ゼロ係数のインデックスです。z が z 0 に十分近い場合、この_関数はより単純な多項式 と漸近的に同様の動作をします。より正確には、関数 ${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

はz ₀の近傍の正の定数Mに対して成り立つ。したがって、半径r > 0の円をz の周りに描いて定義すると、十分に小さいr（境界Mが成り立つ）に対して、次の式が成り立つことがわかる。 ${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

rが 0 に十分近い場合、この | p ( z )|の上限は| a | よりも厳密に小さくなり、 z ₀の定義と矛盾します。幾何学的には、明示的な方向 θ ₀が見つかり、その方向からz ₀に近づくと、絶対値が | p ( z ₀ )|よりも小さい値p ( z ) が得られます。

この考え方に沿って、別の解析的証明も得ることができます。それは、D の外側では | p ( z )| > | p (0)| であるため、複素平面全体での| p ( z )| の最小値はz ₀で達成されるということです。 | p ( z ₀ )| > 0 の場合、各複素数zに対して|1/ p ( z )| ≤ |1/ p ( z ₀ )|であるため、 1/ p は複素平面全体で有界な正則関数です。有界な全関数は定数でなければならないというリウヴィルの定理を適用すると、これは 1/ pが定数であり、したがってpが定数であることを意味します。これは矛盾を生じ、したがってp ( z ₀ ) = 0 です。^[12]

さらに別の解析的証明では、議論原理が用いられる。Rを、 p ( z ) のすべての根の絶対値がRより小さくなるような十分大きい正の実数とする。このような数は、 n次非定数多項式関数の零点が最大でn個であるため、必ず存在する。各r  >  Rについて、次の数を考える。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

ここでc ( r ) は中心が 0 で半径がrの反時計回りの円である。議論の原理によれば、この数は中心が 0 で半径がrの開いた球におけるp ( z )の零点の数Nであり、r  >  Rなので、これはp ( z )の零点の総数である。一方、c ( r )に沿ったn / zの積分を2π iで割るとnになる。しかし、この 2 つの数の差は

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac { n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

積分される有理式の分子の次数は最大でn  − 1 であり、分母の次数はn  + 1 です。したがって、上記の数はr → +∞ として 0 に近づきます。しかし、この数はN  −  nにも等しいため、N  =  nです。

もう一つの複素解析的証明は、線型代数とコーシーの定理を組み合わせることによって与えることができる。n  > 0の次数のすべての複素多項式が零点を持つことを証明するには、 n > 0のサイズのすべての複素正方行列が （複素）固有値を持つことを示せば十分である。^[13]後者の命題の証明は背理法によって行われる。

Aをn  > 0の大きさの複素正方行列とし、 I _nを同じ大きさの単位行列とする。Aには固有値がないものとする。レゾルベント関数を 考える。

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

これは複素平面上の有理型関数で、値は行列のベクトル空間にある。Aの固有値はR ( z )の極とまったく同じである。仮定によりAは固有値を持たないため、関数R ( z )は整関数であり、コーシーの定理から次のようになる。

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

一方、R ( z )を等比級数として展開すると次のようになる。

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{ \infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

この式は、半径の閉円（Aの演算子ノルム）の外側でも有効です。すると、 ${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle r>\|A\|.}$

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(この場合、加数k  = 0 のみが非ゼロの積分を持ちます)。これは矛盾であり、したがってA には固有値があります。

最後に、ルーシェの定理は、おそらく定理の最も短い証明を与えます。

複素平面全体での| p ( z )|の最小値がz _{0で達成されると仮定します。リウヴィルの定理を使用した証明で、そのような数が存在することが確認されました。} p ( z ) をz  −  z ₀の多項式として表すことができます。つまり、ある自然数kがあり、 c _k ≠ 0 となるような複素数c _k、c _{k  + 1}、...、c _{n があり}、次のようになります 。

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

p ( z ₀ ) がゼロでない場合、 a が− p ( z ₀ )/ c _kのk^乗根であり、 t が正で十分に小さい場合、 | p ( z ₀  +  ta )| < | p ( z _{0 )| となりますが、 |} p ( z _{0 )| は}D上の | p |の最小値であるため、これは不可能です。

もう一つの位相的な背理法による証明として、多項式p ( z ) には根がなく、したがって 0 に等しくなることはないと仮定します。多項式を複素平面から複素平面への写像と考えます。これは、任意の円 | z | =  Rを閉じたループ、つまり曲線P ( R ) に写します。Rが非常に大きい場合と R = 0 の場合の極端な場合で P ( R ) の巻き数がどうなるかを考えます。R が十分に大きい数の場合、 p ( z )の主項z nは、他のすべて^の項を合わせたものよりも大きくなります。言い換えると、

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

z が円を反時計回りに 1 回横断すると、原点 (0,0) の周りを反時計回りにn回巻き、 P ( R ) も同様になります。もう一方の極端な場合、 | z | = 0 では、曲線P (0) は単なる 1 つの点p (0) になりますが、 p ( z ) が 0 になることはないため、これは非ゼロでなければなりません。したがって、p (0) は、複素平面で 0 を表す原点 (0,0) とは異なる必要があります。したがって、原点 (0,0) の周りのP (0) の巻き数は 0 です。ここで、R を連続的に変更すると、ループは連続的に変形します。あるRでは、巻き数が変わる必要があります。ただし、これは、曲線P ( R ) が、あるRに対して原点 (0,0) を含む場合にのみ発生します。ただし、その円 | z | =  R上のいくつかのzに対して、 p ( z ) = 0となり、元の仮定と矛盾します。したがって、p ( z ) には少なくとも 1 つのゼロがあります。 ${\displaystyle Re^{i\theta }}$${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$

代数学の基本定理のこれらの証明では、代数的ではないが、わずかな分析のみを必要とする実数に関する次の 2 つの事実 (より正確には、どちらの場合も中間値定理) を使用する必要があります。

• 奇数次で実係数を持つすべての多項式には実根がある。
• すべての非負の実数には平方根があります。

2 番目の事実は、 2 次方程式の公式とともに、実 2 次多項式の定理を意味します。言い換えると、基本定理の代数的証明は、R が任意の実閉体である場合、その拡大C = R ( √ −1 ) が代数的に閉じていることを実際に示しています。

上で述べたように、「実係数を持つすべての非定数多項式p ( z ) は複素根を持つ」という主張を確認すれば十分です。この主張は、p ( z )の次数nを2 ^{k で}割り切れる最大の非負整数kに関する帰納法によって証明できます。p ( z )におけるz ⁿの係数をaとし、C上のp ( z )の分解体をFとします。言い換えると、体F はC を含み、 Fには次の元z ₁、z ₂、 ...、z _nがあります。

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$

k  = 0の場合、 n は奇数であり、したがってp ( z ) は実根を持ちます。ここで、n  = 2 ^k m ( mは奇数、k > 0) であり、多項式の次数が 2 ^{k  − 1} m ′ ( m ′ は奇数) の形式である場合に定理がすでに証明されていると仮定します。実数tについて、次のように定義します。

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).}$

すると、 q _t ( z )の係数は、実係数を持つz _iの対称多項式になります。したがって、これらは、基本対称多項式、つまり、 − a ₁、a ₂、 ...、 (−1) ⁿ a _nの実係数を持つ多項式として表すことができます。したがって、 q _t ( z ) は、実際には実係数を持ちます。さらに、 q _t ( z )の次数はn ( n  − 1)/2 = 2 ^{k −1} m ( n − 1)であり 、m ( n  − 1) は奇数です。したがって、帰納法の仮定を使用すると、q _{t に}は少なくとも 1 つの複素根があります。つまり、z _i  +  z _j  +  tz _i z _jは、 {1, ..., n } からの2 つの異なる要素iとjに対して複素数です。実数は ( i、j )のペアより多いため、 z _i  +  z _j  +  tz _i z _jとz _i  +  z _j  +  sz _i z _jが複素数となるような異なる実数tとs を見つけることができます ( iとjは同じです)。したがって、z _i  +  z _jとz _i z _jは両方とも複素数です。すべての複素数は複素平方根を持つことは簡単に確認できます。したがって、2 次複素多項式はすべて、二次方程式の公式によって複素根を持ちます。したがって、z _iとz _{j は}、二次多項式z ²  − ( z _i  +  z _j ) z  +  z _i z _jの根であるため、複素数であることがわかります。

ジョセフ・シップマンは 2007 年に、奇数次多項式が根を持つという仮定は必要以上に強いことを示した。素数次多項式が根を持つ任意の体は代数的に閉じている（したがって、「奇数」は「奇素数」に置き換えることができ、これはすべての特性の体に当てはまる）。^[14]代数的に閉じた体の公理化では、単一の素数を除外すると反例が存在するため、これが最善の方法である。ただし、これらの反例は、−1 が平方根を持つことに依存している。−1 が平方根を持たない体を取り、n  ∈  I次すべての多項式が根を持つ場合（ Iは任意の固定された奇数無限集合）、奇数次のすべての多項式f ( x ) は根を持つ（( x ² + 1) ^k f ( x )は根を持つため、kはdeg( f ) + 2 k ∈ Iとなるように選択される）。

ガロア理論を用いると、基本定理の別の代数的証明を与えることができる。それは、C が適切な有限体拡大を持たないことを示すだけで十分である。^[15] K / C を有限拡大とする。 KのR上の正規閉包はC (またはR )上の有限次数を保持するので、一般性を失うことなく、 K がRの正規拡大であると仮定することができる（したがって、標数0の体のすべての代数拡大は分離可能であるので、それはガロア拡大である）。G をこの拡大のガロア群とし、H をGのSylow 2 部分群とし、Hの位数が 2 の累乗で、GにおけるHの指数が奇数であるとする。ガロア理論の基本定理により、 Gal( K / L ) =  HとなるK / Rの部分拡大L が存在する。 [ L : R ] = [ G : H ] は奇数であり、奇数次数の非線型既約実多項式は存在しないため、L  = R となるはずであり、したがって [ K : R ] と [ K : C ] は 2 の累乗である。矛盾を避けるために [ K : C ] > 1 と仮定すると、2 群Gal( K / C ) には指数 2 のサブグループが含まれるため、Cの2 次部分拡大M が存在すると結論付けられる。しかし、前述のように、すべての 2 次複素多項式には複素根があるため、 Cには 2 次拡大はない。これは [ K : C ] = 1 であることを示しており、したがってK = Cとなり、証明は完了する。

JM Almira と A. Romero による代数の基本定理にアプローチする別の方法があります。それは、リーマン幾何学的議論です。ここでの主なアイデアは、ゼロのない非定数多項式p ( z ) の存在は、球面S ^2上の平坦なリーマン計量の存在を意味することを証明することです。球面は平坦ではないため、これは矛盾を招きます。

リーマン面 ( M , g ) は、ガウス曲率 ( K _gと表記) が恒等零である場合に平坦であると言われる。さて、ガウス・ボネの定理は、球面S ²に適用すると、次のようになる 。

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

これは球体が平らではないことを証明します。

ここでn > 0 と仮定し、

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

各複素数zに対して定義する。

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

明らかに、Cのすべてのzに対してp* ( z ) ≠ 0です。多項式f ( z ) =  p ( z ) p* ( z ) を考えます。すると、Cのすべてのzに対してf ( z ) ≠ 0 です。さらに、

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

この関数方程式を使って、 gが次のように与えられる ことを証明できる。

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

Cのwに対して、そして

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

w  ∈  S ² \{0}に対して、は球面S ^{2 （拡張された複素平面}C  ∪ {∞} と同一視）上の明確に定義されたリーマン計量である。

さて、簡単な計算で分かるのは

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}$

解析関数の実部は調和関数であるため、K _g  = 0 であることが証明されます。

代数学の基本定理は、複素数体が代数的に閉じているという命題として見ることができるため、代数的に閉じた体に関する定理はすべて複素数体に適用されることになります。次に、この定理の帰結をいくつか示します。これらは、実数体に関するものか、実数体と複素数体の関係に関するものです。

• 複素数体とは実数体の代数閉包です。
• 複素係数を持つ1 変数zのすべての多項式は、複素定数と複素数を持つ形式 z + a の多項式と の 積です。
• 実係数を持つ1 変数xのすべての多項式は、定数、実数を持つ形式 x + a の多項式、およびa と bが実数で a 2 − 4 b < 0 である形式 x 2 + ax + b の多項式(これは、多項式x ²  + ax + ^b に 実根 が ないと^言う こと と 同じ です) の 積として一意に表すことができます。 (アーベル-ルフィニの定理により、実数aとb は、多項式の係数、基本的な算術演算、およびn乗根の抽出で必ずしも表現できるわけではありません。) これは、実数でない複素根の数が常に偶数であり、重複度で数えても偶数のままであることを意味します。
• 実係数を持つ1 変数xのすべての有理関数は、形式a /( x  −  b ) ⁿ (ここでnは自然数、aとbは実数) の有理関数と形式 ( ax  +  b )/( x ²  +  cx  +  d ) ⁿ (ここでnは自然数、a、b、c、およびdはc ²  − 4 d < 0となる実数) の有理関数を持つ多項式関数の和として表すことができます 。このことから、実係数を持つ 1 変数のすべての有理関数には基本的なプリミティブがあることがわかります。
• 実体のすべての代数的拡大は、実体または複素体のいずれかに同型です。

代数学の基本定理は一般的な存在結果を述べているが、与えられた多項式の零点の位置に関する情報を得ることは理論的にも実際的観点からも興味深い。この方向でのより単純な結果は、モジュラスの境界である。モニック多項式のすべての零点ζは不等式|ζ| ≤ R _∞を満たす。ここで ${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$

${\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.}$

すでに述べたように、これはまだ存在の結果ではなく、先験的境界と呼ばれるものの例です。つまり、解が存在する場合、それらは中心が原点、半径がR _∞の閉じた円板の内側にあるということです。しかし、代数の基本定理と組み合わせると、円板には実際には少なくとも 1 つの解が含まれていることになります。より一般的には、境界は係数のnベクトルの任意のp ノルム、つまり |ζ| ≤ R _pで直接与えられます。ここで、 R _pは、任意の 1 ≤ p ≤ ∞ に対して、pの共役指数である2 ベクトルqのqノルムとまったく同じです。したがって、任意の解の係数も次のように制限されます。 ${\displaystyle a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),}$${\displaystyle (1,\|a\|_{p}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},}$

${\displaystyle R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},}$

1 < p < ∞の場合、特に

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}$

_{（ここで、 n}は1 を意味すると定義しますが、これは 1 が多項式のn番目の係数であるため妥当です） 。n次多項式の場合、

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},}$

は、もちろん、すべての係数をa _n ≠ 0で割った単項の場合に簡約されます。また、0が根でない場合、つまりa ₀ ≠ 0の場合、根ζの下からの境界は、上の上からの境界、つまりの根 として直ちに続きます。${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta }}}$

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

最後に、根ζから任意の点までの距離は、多項式 の零点として下と上から推定することができ、その係数はP ( z )のテイラー展開である。${\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|}$${\displaystyle \zeta _{0}}$${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$${\displaystyle z=\zeta _{0}.}$

ζを多項式の根とする

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

不等式|ζ| ≤ R _pを証明するためには、もちろん|ζ| > 1と仮定できる。この式を次のように書くと、

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},}$

そして、ヘルダーの不等式を用いると、

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.}$

さて、p = 1の場合、これは

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},}$

したがって

${\displaystyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.}$

1 < p ≤ ∞の場合、等比数列の和の公式を考慮すると、

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

したがって

${\displaystyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}$

そして簡素化し、

${\displaystyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.}$

したがって

${\displaystyle |\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}}$

1 ≤ p ≤ ∞ のすべての場合に成立します。

• ワイエルシュトラスの因数分解定理、他の整関数への定理の一般化
• アイレンバーグ・ニーヴンの定理、四元数の係数と変数を持つ多項式への定理の一般化
• ヒルベルトの零点定理、複素根が存在するという主張を複数の変数に一般化したもの
• ベズーの定理、根の数に関する主張を複数の変数に一般化したもの。

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• 代数学、数学百科事典の基本定理
• 代数学の基本定理 — 証明集
• 代数学の基本定理から天体物理学へ：「調和のとれた」道
• ガウスの最初の証明（ラテン語）はGoogle ブックスでご覧いただけます
• ガウスの最初の証明（ラテン語）はGoogle ブックスでご覧いただけます
• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74