アイレンベルク＝ニブン定理

アイレンバーグ・ニーブン定理は、代数学の基本定理を四元数多項式、すなわち四元数の係数と変数を持つ多項式に一般化した定理である。これはサミュエル・アイレンバーグとイヴァン・M・ニーブンによって発見された。

させて

${\displaystyle P(x)=a_{0}xa_{1}x\cdots xa_{n}+\varphi (x),}$

ここで、 x、a₀ _、 a₁ _、 ...、aₙ_はゼロでない四元数であり、φ ( x )は最初の項と同様の単項式の有限和であるが、次数はn未満である。このとき、P ( x ) = 0は少なくとも1つの解を持つ。^{[ 1 ]}

最高次数を持つ複数の単項式を許容する場合、定理は成り立ちません。反例として、P ( x ) = x + i x i + 1 = 0 には解がありません。

アイレンベルク・ニブン定理は八元数にも一般化できる。最高次数が一意の単項式である八元数多項式はすべて、括弧の順序に関係なく少なくとも１つの解を持つ（八元数は非結合代数である）。^{[ 2 ] [ 3 ]}ただし、四元数とは異なり、単項式および非単項式の八元数多項式は、必ずしも同じ零点の集合を持つとは限らない。^{[ 4 ]}