複素共役根定理

数学において、複素共役根定理は、P が実係数を持つ 1 変数の多項式であり、a  +  biがaとb が実数であるPの根である場合、その複素共役a  −  biもPの根であるということを述べています。^[1]

このこと（および代数の基本定理）から、実多項式の次数が奇数の場合、少なくとも1つの実根を持つ必要があることがわかります。^{[2]この事実は、}中間値定理を使用して証明する こともできます。

• 多項式x ²  + 1 = 0 には ±  i の根があります。
• 奇数次の実正方行列には、少なくとも 1 つの実固有値があります。たとえば、行列が直交している場合、1 または -1 が固有値です。
• 多項式

${\displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

根がある

${\表示スタイル 3,\,2+5i,\,2-5i,}$

そして次のように因数分解できる。

${\displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

最後の2つの因数の積を計算すると、虚数部が打ち消され、次の式が得られます。

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

非実数因数はペアで存在し、これらを掛け合わせると実係数の2 次多項式になります。複素係数を持つすべての多項式は 1 次因数に因数分解できるため (これは代数の基本定理を述べる 1 つの方法です)、実係数を持つすべての多項式は 2 より大きくない次数の因数、つまり 1 次因数と 2 次因数だけに因数分解できることになります。

• 根がa + biとa − biのとき、それらは二次方程式を形成する。

${\displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$。

3乗根がcの場合、これは

${\displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(xc)}$

${\displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$。

この定理と代数学の基本定理から、実多項式の次数が奇数の場合、少なくとも1つの実根を持つ必要があることがわかります。^[2]

これは次のように証明できます。

• 非実複素根は共役な対になっているため、その数は偶数です。
• しかし、奇数次多項式は奇数の根を持ちます（代数の基本定理）。
• したがって、それらのいくつかは本物であるに違いありません。

多重根が存在する場合には注意が必要ですが、複素根とその共役根は同じ重複度を持ちます(この補題は証明するのが難しくありません)。また、既約多項式のみを考慮することで回避することもできます。奇数次の実多項式には奇数次の既約因子が必ず含まれますが、これは (多重根がないため) 上記の推論により実根を持つ必要があります。

この系は中間値定理を使って直接証明することもできます。

この定理の証明の一つは次の通りである: ^[2]

多項式を考える

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

ここで、すべてのa _rは実数である。ある複素数 ζがPの根、つまりであると仮定する。以下を示す必要がある。 ${\displaystyle P(\zeta )=0}$

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0}$

同じように。

P ( ζ ) = 0の場合  、

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0}$

これは次のように表すことができます

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.}$

今

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}}$

複素共役の性質を考えると、

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.}$

以来

${\displaystyle {\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},}$

すると

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.}$

つまり、

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{ \big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\ゼータ }}\,{\big )}^{n}=0.}$

これが機能するのは、 a _rが実数、つまり の場合のみであることに注意してください。係数のいずれかが非実数の場合、根は必ずしも共役なペアにはなりません。 ${\displaystyle {\overline {a_{r}}}=a_{r}}$