基本関数

数学において、初等関数は、有限個の多項式関数、有理関数、三角関数、双曲関数、指数関数、およびそれらの逆関数（例えば、arcsin、log、またはx 1 ^{/ n} ）の和、積、根、合成をとるものとして定義される単一変数（通常は実数または複素数）の関数である。^[1]

すべての基本関数はその定義域上で連続です。

初等関数は、1833年から1841年にかけての一連の論文でジョセフ・リウヴィルによって導入されました。 ^{[2] [3] [4]}初等関数の代数的 処理は、1930年代にジョセフ・フェルス・リットによって開始されました。 ^[5]多くの教科書や辞書では初等関数の正確な定義が示されておらず、数学者の間でも定義が異なります。^[6]

単一変数xの基本関数には次のものがあります。

• 定数関数など${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$
• xの有理数乗など${\displaystyle x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},}$
• 指数関数:${\displaystyle e^{x},\ a^{x}}$
• 対数:${\displaystyle \log x,\ \log _{a}x}$
• 三角関数など${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$
• 逆三角関数など${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• 双曲線関数など${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• 逆双曲線関数など${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$
• 前述の関数のいずれかの有限数を加算、減算、乗算、または除算することによって得られるすべての関数^[7]
• 基本関数の係数を持つ多項式の根抽出によって得られるすべての関数^[8]
• 前述の関数のいずれかを有限個組み合わせて得られるすべての関数

や など、単一の複素変数zの特定の基本関数は、多値 になる場合があります。さらに、特定のクラスの関数は、最後の 2 つの規則を使用して他の関数によって取得される場合があります。たとえば、加算、減算、除算で合成された指数関数は双曲関数を提供し、代わりに での初期合成は三角関数を提供します。 ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log z}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle iz}$

基本関数の例には次のものがあります。

• 加算、例: ( x +1)
• 掛け算、例：(2 x )
• 多項式関数
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

最後の関数は、複素平面全体における逆余弦に等しくなります。 ${\displaystyle \arccos x}$

すべての単項式、多項式、有理関数、代数関数は基本的です。

絶対値関数は、実数の場合、 のべき乗と根の合成として表現できるため、基本的な関数でもあります。[^{疑わしい–議論する]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

多くの数学者は絶対値関数のような非解析関数やステップ関数のような不連続関数を除外しているが^{[9] [6]}、それらを許可する数学者もいる。この集合を拡張して例えばランバートW関数を含めることを提案している人もいる。^[10]

基本的ではない関数の例をいくつか示します。

• テトラレーション
• ガンマ関数
• 非基本的なリウヴィリアン関数、以下を含む
  • 指数積分（Ei ）、対数積分（Liまたはli）、フレネル積分（SおよびC）です。
  • 誤差関数は、すぐ には明らかではないかもしれないが^{（さらに説明が必要） 、} Rischアルゴリズムを使用して証明できる。${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt 、}$
• ディリクレ積分や楕円積分などのその他の非初等積分。

定義から直接、基本関数の集合は算術演算、根の抽出、合成に対して閉じていることが分かります。基本関数は微分に対して閉じています。極限と無限和に対しては閉じていません。重要なのは、基本関数は積分に対して閉じていないことです。これはリウヴィルの定理で示されています。非基本積分を参照してください。リウヴィル関数は基本関数として定義され、再帰的にリウヴィル関数の積分として定義されます。

初等関数、または初等形式の関数の数学的定義は、微分代数の文脈で考察されます。微分代数は、微分演算 (微分の代数バージョン) の追加操作を伴う代数です。微分演算を使用して新しい方程式を書くことができ、その解を代数の拡張に使用できます。有理関数の体から始めることで、2 つの特別なタイプの超越拡張 (対数と指数) を体に追加して、初等関数を含む塔を構築できます。

微分体 Fは、体F ₀ (例えば有理数 Q上の有理関数)と微分写像u  → ∂ uを組み合わせたものである。(ここで∂ uは新しい関数である。u ′という表記が使われることもある。)この微分は微分の性質をとらえており、基底体の任意の2つの元に対して、微分は線形である。

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

ライプニッツの積の法則を満たす

${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}$

∂h = 0の場合、要素h は定数です。基本体が有理数上にある場合、必要な超越定数を追加するために体を拡張するときに注意が必要です。

微分体Fの微分拡大F [ u ]の関数uがF上の基本関数であるとは、関数uが

• はF上の代数的であるか、
• は指数関数、つまりa∈F に対して∂u = u∂a 、または​
• は対数、つまりa∈F に対して∂u =∂a / aです。

（リウヴィルの定理も参照）

• 代数関数 – 数学関数
• 閉形式の表現 – 与えられた一連の演算を含む数式
• 微分ガロア理論 – 微分体のガロア対称群の研究
• 初等関数算術 – 証明理論における算術体系
• リウヴィルの定理（微分代数）  – 初等関数の不定理が初等関数として表現できる場合を述べる
• タルスキーの高校代数問題 – 数学の問題
• 超越関数 – 多項式方程式を満たさない解析関数
• タッパーの自己参照式 - グラフ化したときに視覚的に表現される式

• ジョセフ・リウヴィル（1833a）。 「第一の記憶は、国家価値を超えて統合されたものではない」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 124–148。
• ジョセフ・リウヴィル（1833b）。 「第二の記憶は、代数的価値を持たない統合的決定法」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 149–193。
• ジョセフ・リウヴィル（1833c）。 「algébrique を評価しないでください。」数学に関するジャーナル。10 : 347–359。
• リット、ジョセフ(1950)。微分代数。AMS。
• ローゼンリヒト、マクスウェル(1972) 。「有限項での積分」。アメリカ数学月刊誌。79 (9): 963–972。doi : 10.2307 /2318066。JSTOR  2318066。

• ダベンポート、ジェームズ H. (2007)。「「関数を理解する」とはどういう意味か?」機械化された数学アシスタントに向けて。コンピュータサイエンスの講義ノート。第 4573 巻。pp . 55–65。doi :10.1007/978-3-540-73086-6_5。ISBN 978-3-540-73083-5. S2CID  8049737。

• 数学百科事典における初等関数
• Weisstein、Eric W.「基本関数」。MathWorld。