閉グラフ定理（関数解析）

数学、特に関数解析において、閉グラフ定理は、線形作用素の連続性と、そのグラフの位相的性質を結びつける定理である。正確には、この定理は、2つのバナッハ空間間の線形作用素が連続であるのは、その作用素のグラフが閉グラフである場合に限る（このような作用素は閉線形作用素と呼ばれる。閉グラフ性質も参照）。

2つのノルム空間間の作用素は、連続線形作用素である場合に限り有界線形作用素となるため、上記の記述の「連続」を「有界」に置き換えることができる。

関数解析における重要な問題の一つは、与えられた線形作用素が連続（または有界）であるかどうかである。閉グラフ定理は、この問いに対する一つの答えを与える。

させて${\displaystyle T:X\to Y}$バナッハ空間（またはより一般的にはフレシェ空間）間の線形作用素とする。すると、${\displaystyle T}$つまり${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$各収束数列について${\displaystyle x_{i}\to x}$一方、グラフの閉性は${\displaystyle T}$収束する各数列について${\displaystyle x_{i}\to x}$そのため${\displaystyle Tx_{i}\to y}$、 我々は持っています${\displaystyle y=Tx}$したがって、閉グラフ定理によれば、連続性を確認するには、${\displaystyle T}$示すことができる${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$追加の仮定の下で${\displaystyle Tx_{i}}$収束する。

実際、Tのグラフが閉じているためには、${\displaystyle x_{i}\to 0,\,Tx_{i}\to y}$、 それから${\displaystyle y=0}$実際、その条件が成り立つと仮定すると、${\displaystyle (x_{i},Tx_{i})\to (x,y)}$、 それから${\displaystyle x_{i}-x\to 0}$そして${\displaystyle T(x_{i}-x)\to y-Tx}$。 したがって、${\displaystyle y=Tx}$; つまり、${\displaystyle (x,y)}$Tのグラフ上にあります。

グラフの閉性を確認するには、ノルム位相を使用する必要さえありません。T のグラフがノルム位相よりも粗い位相で閉じている場合、ノルム位相でも閉じています。^{[ 1 ]}実際には、これは次のように機能します。Tはある関数空間上の何らかの演算子です。T が分布位相に関して連続であることを示します。したがって、グラフはその位相で閉じており、これはノルム位相での閉性を意味します。閉グラフ定理が適用できる場合、T は元の位相の下で連続です。具体的な例については、§ 例を参照してください。

閉グラフ定理の通常の証明では、開写像定理が用いられます。これは、開写像定理から閉グラフ定理を導出する一般的な手順を用いるだけです（閉グラフ定理§ 開写像定理との関係を参照）。（この導出は形式的なものであり、線形性は使用しません。線形性は、線形性に依存する開写像定理を利用するために必要です。）

実際、開写像定理は閉グラフ定理から次のように導出できます。開写像定理（関数解析）§ 記述と証明で述べたように、全射だけでなく全単射な連続線形作用素に対して開写像定理を証明すれば十分です。T をそのような作用素とします。すると、連続性により、グラフは$\displaystyle \Gamma _{T}}$Tの閉包が成立する。$\displaystyle \Gamma _{T}\simeq \Gamma _{T^{-1}}}$下${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$したがって、閉グラフ定理により、$\displaystyle T^{-1}}$は連続である。すなわち、Tは開写像である。

閉グラフ定理は開写像定理と同値であるため、完全性仮定がなければ定理が成り立たないことは明らかである。しかし、より具体的には、有界でない閉グラフを持つ演算子（非有界演算子を参照）が存在し、それが反例となる。

ハウスドルフ・ヤングの不等式は、フーリエ変換が${\displaystyle {\widehat {\cdot }}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p'}(\mathbb {R} ^{n})}$は、作用素ノルムが 1 の明確に定義された有界作用素である。${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$この結果は通常、リース・トーリン補間定理を用いて証明され、非常に非自明である。閉グラフ定理は、この結果のソフトバージョンを証明するために使用できる。すなわち、フーリエ変換は未知の演算子ノルムを持つ有界演算子である。^{[ 3 ]}

議論は次のように進む。Tをフーリエ変換とする。まず、${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$は、 Z = 上の緩増加超関数の空間に対する連続線形演算子である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$第二に、Tはシュワルツ関数の空間をそれ自身に写像することに注目します（つまり、滑らかさと急速な減衰はそれぞれ急速な減衰と滑らかさに変換されるためです）。これは、 Tのグラフが以下に含まれることを意味します。${\displaystyle L^{p}\times L^{p'}}$そして${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$は定義されているが、境界は不明である。${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$は連続であり、${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$は分布位相において閉じている。したがってノルム位相においても閉じている。最後に、閉グラフ定理により、${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$これは有界作用素です。

L. シュワルツによって証明されたボレルグラフ定理は、解析学で遭遇するほとんどの空間で定義され、値をとる線形写像に対して閉グラフ定理が有効であることを示しています。^{[ 11 ]}位相空間が分離可能完備距離化可能空間である場合、その空間はポーランド空間 と呼ばれ、ススリン空間はポーランド空間の連続像であることを思い出してください。分離可能フレシェ空間の弱双対と分離可能フレシェ・モンテル空間の強双対はススリン空間です。また、分布の空間、ユークリッド空間の開部分集合上のすべてのLp 空間、および解析学で出現する他の多くの空間もススリン空間です。ボレルグラフ定理は次のように述べています。

この定理の改良版は、A. Martineauによって証明され、K解析空間を使用している。

位相空間${\displaystyle X}$と呼ばれる$\displaystyle K_{\sigma \delta }}$それが、可算個のコンパクト集合の和集合の可算個の共通部分である場合。

ハウスドルフ位相空間${\displaystyle Y}$が連続的な像である場合、それはK-解析的と呼ばれます。$\displaystyle K_{\sigma \delta }}$空間（つまり、$\displaystyle K_{\sigma \delta }}$空間${\displaystyle X}$そして連続マップ${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$)

すべてのコンパクト集合はK解析的であるため、非分離K解析空間が存在する。また、すべてのポーランド空間、スースリン空間、および反射的フレシェ空間はK解析的であり、フレシェ空間の弱双対空間も同様である。一般化されたボレルグラフ定理は次のとおりである。

もし${\displaystyle F:X\to Y}$ハウスドルフ局所凸TVSからの閉じた線形演算子${\displaystyle X}$ハウスドルフ有限次元TVSへ${\displaystyle Y}$それから${\displaystyle F}$連続的である。^{[ 13 ]}

• ほぼ開いた線形マップ– 開いたマップと同様の条件を満たすマップリダイレクト先の短い説明を表示するページ 
• 樽型空間– 位相ベクトル空間の一種 
• 閉じたグラフ– トポロジーにおける関数の特性リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 閉じた線形演算子– グラフが閉じている線形演算子 
• 密に定義された演算子– 見かけ上の定義域の密な部分集合上の線形演算子 
• 不連続線形マップ
• カクタニの不動点定理– 集合値関数の不動点定理 
• 開写像定理（関数解析）– 線形作用素が開写像となるための条件 
• ウルセスクの定理― 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化 
• 網状空間– 開写像定理と閉グラフ定理が成り立つ空間 

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