正十二面体

正十二面体
タイプ	プラトン立体、 切頂台面体、 ゴールドバーグ多面体
顔	12個の正五角形
エッジ	30
頂点	20
対称グループ	二十面体対称性 ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$
二面角（度）	116.565°
プロパティ	凸型、規則的
ネット

正十二面体または五角十二面体^{[注 1]}は、各頂点で3つの正五角形の面が交わる十二面体である。これはプラトンの立体の一例であり、プラトンの対話篇で宇宙の星状構造として説明され、ヨハネス・ケプラーが提唱した太陽系の一部として使用された。しかし、正十二面体は、他のプラトン立体を含め、古代から他の哲学者によってすでに説明されていた。

正十二面体は、五角台形の軸頂点を切り取った結果であるため、切頂台形の一種です。また、面取りのプロセスによって新しい多面体を構築するための最初の多面体であるため、ゴールドバーグ多面体でもあります。他のプラトン立体と関係があり、そのうちの 1 つは、その双対多面体である正二十面体です。正十二面体を使用して、他の新しい多面体を構築できます。

正十二面体の計量特性と構造は、黄金比と関連している。正十二面体は、ローマの十二面体、子供向けの物語、玩具、絵画芸術など、多くの大衆文化に見られる。また、自然や超分子、宇宙の形状にも見られる。正十二面体の骨格は、十二面体グラフ、プラトングラフと呼ばれるグラフとして表すことができる。ハミルトニアンの特性、つまりパスがすべての頂点を正確に 1 回訪れるという特性は、イコシアン ゲームと呼ばれる玩具に見られる。

正十二面体は、12の五角形の面、30の辺、20の頂点を持つ多面体です。^[1]これはプラトン立体の1つで、面が合同な正多角形であり、同じ数の面が頂点で交わる多面体の集合です。[ ^{2]この多面体の集合は}プラトンにちなんで名付けられました。プラトンの対話篇『テアイテトス』の中で、プラトンは古典的な要素は5つの均一な正立体でできていると仮定しました。プラトンは正十二面体について、「神は[それを]全天の星座を配置するために使用した」と漠然と述べています。プラトンの対話の登場人物であるティマイオスは、正四面体、立方体、正八面体、正二十面体という他の4つのプラトン立体を4つの古典的な要素と関連付け、正十二面体とよく関連付けられるものの、直接言及されることのない5番目の立体パターンがあると付け加え、「この神は宇宙の描写にこの立体パターンを用いた」^{[3] 。}アリストテレスはまた、天は5番目の要素でできていると仮定し、それをアイテール（ラテン語でエーテル、米語でエーテル）と呼んだ。 ^[4]

ヨハネス・ケプラーは、プラトンが自然界に帰属させたことに従い、著書『世界の調和』でプラトン立体のそれぞれをスケッチしたが、その一つが正十二面体である。^[5]ケプラーはまた、著書『宇宙の神秘』で、プラトン立体を別の立体に重ね、それらを六つの惑星に似た六つの球で区切るという太陽系を提唱した。整列した立体は、最も内側から最も外側に向かって、正八面体、正二十面体、正十二面体、正四面体、立方体であった。^[6]

多くの古代哲学者が、正十二面体と、その他のプラトン立体について記述した。テアイテトスは、この5つすべてを数学的に記述し、他に凸正多面体は存在しないという最初の証明を行った可能性がある。ユークリッドは『原論』でプラトン立体を数学的に完全に記述し、その最後の書（第13巻）はそれらの特性について書かれている。第13巻の命題13～17は、四面体、八面体、立方体、二十面体、十二面体の作図をこの順序で記述している。ユークリッドは、それぞれの立体について、外接球の直径と辺の長さの比を求めている。命題18では、これ以外に凸正多面体は存在しないと主張している。イアンブリコスは、ピタゴラス派のヒッパソスが「12の五角形を持つ球体」を最初に明かしたと自慢したために海で死んだと述べています。 ^[7]

正十二面体の双対多面体は正二十面体である。双対多面体の一般的な特性の 1 つは、元の多面体とその双対が同じ3 次元対称群を共有することである。正十二面体の場合、正二十面体と同じ対称性、すなわち二十面体対称性 を持つ。^[8]正十二面体には、反対側の頂点のペアを通る 10 本の 3 倍軸、反対側の面の中心を通る 6 本の 5 倍軸、反対側の辺の中点を通る 15 本の 2 倍軸がある。^[9]${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

正十二面体が球に内接する場合、球の体積の占める割合（66.49%）は、同じ球に内接する二十面体（60.55%）よりも大きい。^[10]両方の球の体積の算出は、もともと古代ギリシャ人が、球に内接する二十面体と同じ球に内接する十二面体と、どちらの形状の体積が大きいかを判断する問題から始まった。この問題は、アレクサンドリアのヘロン、アレクサンドリアのパップス、フィボナッチらによって解決された。^[11] ペルガのアポロニウスは、これら2つの形状の体積の比が表面積の比と同じであるという興味深い結果を発見した。^[12]両方の体積には黄金比を含む式があるが、異なる累乗で計算されている。^[1]

黄金長方形は、正二十面体と正十二面体の両方に関係している可能性があります。正二十面体は、2×2の直交配置された3つの黄金長方形を垂直に交差させ、黄金長方形の各頂点を線分で結ぶことで構築できます。正二十面体の頂点は12個あり、12個の正十二面体面の中心と見なされます。^[13]

2 つの正四面体は立方体に内接し、5 つの立方体は正十二面体に内接するように、5 つの立方体の 10 個の四面体は正十二面体に内接します。つまり、5 つの正四面体からなる 2 つの正反対のセットで、各セットは 20 個の頂点すべてをカバーし、各頂点は 2 つの正四面体 (各セットから 1 つずつ、正反対のペアは除く) に内接します。Coxeter ら (1938) が引用しているように、^[14]

「四面体が立方体に内接するように、立方体は十二面体に内接することができます。相互に作用して、二十面体に外接する八面体が得られます。実際、二十面体の 12 の頂点のそれぞれは、「黄金分割」に従って八面体の辺を分割します。二十面体を考えると、外接する八面体は 5 つの方法で選択でき、5 つの八面体の複合体が得られます。これは、星型二十面体の定義に該当します。(頂点が十二面体に属する 5 つの立方体の相互複合体は、星型三十面体です。) 別の星型二十面体は、各八面体を星型に星型化することで、すぐに演繹できます。正八面体から四面体を 1 つ選び、 5 つの四面体の複合体を導き出すことができます。この複合体は、鏡像は失われていますが、正二十面体(つまり、正二十面体群) の回転対称性をすべて備えています。この図形を正二十面体の任意の対称面で鏡像にすると、 5 つの四面体の補完セットが得られます。この 2 セットの 5 つの四面体は鏡像です。つまり、直接合同ではありませんが、靴のように関連しています。対称面を持たない (そのため、鏡像と鏡像である) [このような] 図形は、キラルであると言われています。"

配置行列は、行と列が頂点、辺、面などの多面体の要素に対応する行列です。行列の対角線は多面体に現れる各要素の数を示し、行列の非対角線は行の要素内またはその要素に現れる列の要素の数を示します。正十二面体は、次の行列で表すことができます。^{[15] [16]} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

黄金比は、2つの数値の比率であり、その合計と2つの数値のうち大きい方の比率に等しい。^{[17]これは多項式の2つの}根のうちの1つであり、次のように表される。^[18]黄金比は、正十二面体の構築だけでなく、正十二面体の測定特性にも適用できる。 ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

辺の長さが12面体の表面積と体積は次の通りである。[ 19 ^]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}a^{2},\qquad V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}a^{3}.}$$

以下の直交座標は、原点を中心とし、適切なスケールと方向を持つ正十二面体の20の頂点を定義します。^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

正十二面体の辺の長さが である場合、外接球（正十二面体のすべての頂点に接する球）の半径、内接球（正十二面体の各面に接する球）の半径、中半径（各辺の中央に接する球）は次のようになります。^[21] 辺の長さが 1 の正十二面体の場合、 は辺の長さ の立方体に外接する球の半径であり、 は辺の長さ の正五角形の外接円であることに留意してください。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \phi }$

正十二面体の隣接する五角形の面間の二面角は、約 116.565° です。 ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

正十二面体は、切頂台面体として解釈できます。台面体の 2 つの軸頂点を切り落とすことによって構築できる多面体の集合です。ここでは、正十二面体は五角台面体を切り落とすことによって構築されます。

正十二面体はゴールドバーグ多面体として解釈できる。これは六角形と五角形の面を含む多面体の集合である。正十二面体は、四面体と立方体の2つのプラトン立体を除けば、ゴールドバーグ多面体構築の最初のものであり、次の多面体は、すべての辺を切り落とすことによって得られる。このプロセスは面取りと呼ばれる。このプロセスは継続的に繰り返すことができ、より多くの新しいゴールドバーグ多面体を生み出すことができる。これらの多面体は、ゴールドバーグ多面体の最初のクラスに分類される。^[22]

正十二面体の星型は、4つのケプラー・ポアンソ多面体のうち3つを構成している。正十二面体の最初の星型は、その層に五角錐を取り付けて小さな星型十二面体を形成することによって構成される。2番目の星型は、小さな星型十二面体をくさびで取り付けて大十二面体を形成することによって構成される。3番目の星型は、大十二面体を鋭い三角錐で取り付けて大星型十二面体を形成することによって構成される。^[23]

正十二面体はサイコロとして使われたが、おそらく占いの道具としても使われた。ヘレニズム時代には、中が空洞の小さな青銅製のローマ十二面体が作られ、ヨーロッパの様々なローマ遺跡で発見されている。^{[24] [25]}その目的は定かではない。

20世紀の芸術では、正十二面体は、 MCエッシャーの作品、例えばリトグラフの「爬虫類」（1943年）や「重力」（1952年）に登場します。サルバドール・ダリの絵画「最後の晩餐」（1955年）では、部屋は中空の正十二面体です。ジェラール・カリスは、正十二面体と五角形を芸術作品全体の基盤とし、ペンタゴニズムと名付けた新しい芸術運動として発表しました。

現代のロールプレイング ゲームでは、正十二面体は、最も一般的な多面体サイコロの 1 つである 12 面サイコロとしてよく使用されます。メガミンクスツイスティ パズルは、正十二面体の形状をしており、それより大きいサイズやより小さいサイズの類似品も存在します。

児童向け小説『怪盗グルーの月泥棒』では、正十二面体が数学の国の登場人物として登場する。正十二面体の各面は、その人物の気分に合わせて正面に回転し、さまざまな表情を表現している。 ^[要出典]

化石の円石藻Braarudosphaera bigelowii（図参照）は単細胞の沿岸植物プランクトン 藻で、直径約10マイクロメートルの正十二面体構造の炭酸カルシウム殻を持っています。^[27]

いくつかの準結晶とケージは十二面体の形状をしています（図を参照）。ガーネットやダイヤモンドなどのいくつかの通常の結晶も「十二面体」の性質を示すと言われていますが、この記述は実際には菱形十二面体の形状を指しています。^{[28] [26]}

宇宙のグローバルな幾何学については、さまざまなモデルが提案されている。これらの提案には、正十二面体の反対側の面が対応する（わずかにねじれた）正十二面体からなる正に曲がった空間であるポアンカレ十二面体空間が含まれる。これは2003年にジャン＝ピエール・ルミネとその同僚によって提案され、^{[29] [30]}、このモデルの最適な天空上の向きは2008年に推定された。^[31]

バートランド・ラッセルの1954年の短編小説『数学者の悪夢：スクエアパント教授の夢』では、数字の5はこう言っている。「私は手の指の数です。私は五角形と五芒星を作ります。そして、私なしでは十二面体は存在し得ません。そして、誰もが知っているように、宇宙は十二面体です。ですから、私なしでは宇宙は存在し得ません。」^[32]

シュタイニッツの定理によれば、グラフは多面体の骨格、つまり大まかに言えば多面体の骨組みとして表すことができます。このようなグラフには2つの特性があります。1つは平面グラフであり、グラフの辺は他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されています。もう1つは3連結グラフであり、3つ以上の頂点を持つグラフでは、2つの頂点を削除しても辺は接続されたままです。^{[33] [34]正12面体の骨格はグラフとして表すことができ、}正12面体グラフ、プラトングラフと呼ばれます。^[35]

このグラフは、一般化されたピーターセングラフ としても構築でき、10角形の頂点が2つの五角形の頂点に接続され、1つの五角形が10角形の奇数頂点に接続され、もう1つの五角形が偶数頂点に接続されている。^[36]幾何学的には、これは、12面体の10頂点の赤道帯が、各側に1つずつ、2つの5頂点の極領域に接続されているものとして視覚化できます。 ${\displaystyle G(10,2)}$

多角形の高い対称性は、このグラフの特性、すなわち距離推移性、距離正則性、対称性にも反映されている。自己同型群の位数は120である。頂点は3色で着色でき、辺も同様に着色でき、直径は5である。^[37]

正十二面体グラフはハミルトングラフであり、パスはすべての頂点をちょうど1回訪れることを意味する。この性質の名前は、イコシアンゲームと呼ばれる数学ゲームを発明したウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名付けられた。このゲームの目的は、正十二面体の辺に沿ってハミルトン閉路を見つけることであった。 ^[38]

• 120 セル、正多面体(表面が 120 個の正十二面体セルで構成される 4D 多面体)
• Braarudosphaera bigelowii −十二面体の形をした円石藻（単細胞の植物 プランクトン 藻類）。
• 十二面体（分子）
• ペンタキス十二面体
• スナブ十二面体
• 切頂十二面体

ウィキメディア・コモンズには、十二面体に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「正十二面体」。MathWorld。
• Klitzing、リチャード。「3D 凸均一多面体 o3o5x – doe」。
• インタラクティブな 3D ビューを備えた編集可能な印刷可能な十二面体のネット
• 均一な多面体
• 折り紙多面体 – モジュラー折り紙で作られたモデル
• 十二面体 – ブラウザで動作する 3D モデル
• バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典
  • VRML #正十二面体
• KJM マクリーン、5 つのプラトン立体とその他の半正多面体の幾何学的分析
• 十二面体の 3D 視覚化
• Stella: Polyhedron Navigator: このページの画像の一部を作成するために使用されたソフトウェア。
• 発泡スチロールの立方体から正十二面体を作る方法
• ギリシャ、インド、中国の要素 – 七元素理論