五角形

五角形
環状五角形​
エッジと頂点	5

幾何学において、五角形（ギリシャ語 のπέντε （pente）  「5」と γωνία （gonia）  「角度」^[1]に由来）は、5辺を持つ多角形または5角形である。単純な五角形の内角の合計は540°である。

五角形は単純五角形または自己交差五角形です。自己交差する正五角形(または星形五角形) は五芒星形と呼ばれます。

正五角形
正五角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	5
シュレーフリ記号	{5}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 5）、次数 2×5
内角（度）	108°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

正五角形にはシュレーフリ記号{5}があり、内角は 108° です。

正五角形には、 5 本の反射対称線と、5 次回転対称線(72°、144°、216°、288° を通る) があります。凸正五角形の対角線は、その辺に対して黄金比になっています。辺の長さがわかれば、高さ(1 つの辺から反対側の頂点までの距離)、幅(最も離れた 2 つの点間の距離で、対角線の長さに等しい)、円周半径は次のように求められます。 ${\displaystyle t,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\約1.902~R.\end{aligned}}}$

辺の長さが凸正五角形の面積は次のように表される。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

正五角形の円周半径が与えられている場合、その辺の長さは次の式で求められる。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

そしてその面積は

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

外接円の面積は正五角形なので、その外接円の約 0.7568 を占めます。 ${\displaystyle \pi R^{2},}$

任意の正多角形の面積は次のようになります。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

ここで、Pは多角形の周囲長、rは内接円（遠近法と同等）である。正五角形の値をPとrに代入すると、次の式が得られる。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

辺の長さはtです。

あらゆる正凸多角形と同様に、正凸五角形には内接円があります。正凸五角形の内接円の半径rである外接円は、辺の長さtと次の式 で関係付けられます。

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

すべての正凸多角形と同様に、正凸五角形には外接円があります。連続する頂点 A、B、C、D、E を持つ正五角形の場合、点 B と点 C の間の外接円上の任意の点が P であれば、PA + PD = PB + PC + PE となります。

正五角形の平面上の任意の点（円周半径 ）について、正五角形の重心と5つの頂点までの距離がそれぞれと で ある場合、^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

正五角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離が[ ^2]${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

5 はフェルマー素数なので、正五角形はコンパスと定規で作図できます。正五角形を作図する方法は様々あります。いくつかを以下で説明します。

与えられた円の中に正五角形を描く一つの方法はリッチモンド^{[3]によって説明され、クロムウェルの}『多面体』 ^[4]でもさらに議論されている。

上のパネルは、リッチモンド法で内接五角形の側面を作成するために使用される構成を示しています。五角形を定義する円の半径は 1 です。その中心は点Cにあり、中点M は半径の半分のところにマークされています。この点は、中心の垂直上の点Dで円周に接続されます。角CMDは二等分され、二等分線は点Qで垂直軸と交差します。Qを通る水平線は点Pで円と交差し、弦PD は内接五角形の必要な側面です。

この辺の長さを決定するために、2 つの直角三角形DCMとQCMが円の下に描かれています。ピタゴラスの定理と 2 つの辺を使用して、大きい三角形の斜辺は として求められます。次に、小さい三角形の辺h は、半角の公式を使用して求められます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

ここで、 ϕの余弦と正弦は大きい三角形からわかります。結果は次のとおりです。

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

DP が本当に正五角形の辺である場合、DP = 2 cos(54°)、QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°)、CQ = 1 − 2cos ^{2 (54°) となり、これはコサインの}二倍角の公式より −cos(108°) に等しくなります。 これは 72° のコサインであり、希望どおりに等しくなります。 ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

カーライル円は、二次方程式の根を求める幾何学的手法として考案されました。^[5]この方法論は、正五角形を構築する手順につながります。手順は次のとおりです。^[6]

1. 五角形を内接する円を描き、中心点Oをマークします。
2. 円の中心を通る水平線を引きます。円との左側の交点を点Bとしてマークします。
3. 中心を通る垂直線を引きます。円との交点の 1 つを点Aとしてマークします。
4. OとBの中点として点M を構築します。
5. Mを中心とし、点A を通る円を描きます。円と水平線（元の円の内側）との交点を点W、円の外側との交点を点Vとします。
6. 半径OA、中心Wの円を描きます。この円は、五角形の 2 つの頂点で元の円と交差します。
7. 半径OA、中心Vの円を描きます。この円は、五角形の 2 つの頂点で元の円と交差します。
8. 5 番目の頂点は、水平線と元の円の右端の交点です。

手順 6 ～ 8 は、アニメーションに示されている次のバージョンと同等です。

6a. 点 F を O と W の中点として構築します。

7a. F を通る垂直線を作成します。この線は、五角形の 2 つの頂点で元の円と交差します。3 番目の頂点は、水平線と元の円の最も右の交点です。

8a. コンパスと手順 7a で求めた頂点の長さを使用して、他の 2 つの頂点を作成します。

正五角形は、コンパスと定規を使って、与えられた円に内接するか、与えられた辺に作図することで作ることができます。このプロセスは、紀元前300年頃にユークリッドの『原論』で説明されています。^{[7] [8]}

• 紙片にオーバーハンドノットを結び、紙片の端を引っ張って結び目を慎重に平らにすることで、正五角形を作成できます。端の1つを五角形の上に折り返すと、逆光で五芒星が現れます。 ^[9]
• 硬い紙またはカードの上に正六角形を描きます。 3 つの直径に沿って、対角の頂点の間に折り目を付けます。 1 つの頂点から中心に向かって切り込みを入れ、正三角形のフラップを作ります。 このフラップを隣のフラップの下に固定して、五角錐を作ります。 ピラミッドの底辺は正五角形です。

正五角形には、 Dih ₅対称性、次数 10があります。5は素数なので、二面体対称性を持つサブグループが 1 つあります: Dih ₁、および巡回群対称性が 2 つあります: Z ₅、および Z ₁。

これらの 4 つの対称性は、五角形上の 4 つの異なる対称性で確認できます。ジョン・コンウェイは、これらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[10]正規形の完全な対称性はr10で、対称性がない場合はa1とラベル付けされます。二面体対称性は、頂点 (対角の場合はd ) または辺 (垂直の場合はp )を通過するかどうかによって分類され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はiと分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序により gとラベル付けされています。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g5サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

五芒星または五角形は、正五角形です。その シュレーフリ記号は {5/2} です。その辺は正凸五角形の対角線を形成します。この配置では、2 つの五角形の辺は黄金比になります。

正五角形は、5 つの辺の長さが等しい多角形です。ただし、5 つの内角はさまざまな値を取ることができるため、五角形のファミリーを形成することができます。対照的に、正五角形は、正辺であり、等角 (5 つの角が等しい) であるため、類似性以外は一意です。

環状五角形とは、外接円と呼ばれる円が5つの頂点すべてを通る五角形である。正五角形は環状五角形の一例である。正五角形かどうかに関わらず、環状五角形の面積は、五角形の辺の関数を係数とするセプティック方程式の根の1つの平方根の4分の1として表すことができる。 [ 11 ^{] [12] [13]}

有理数辺と有理数面積を持つ巡回五角形が存在し、これらはロビンス五角形と呼ばれます。ロビンス五角形の対角線はすべて有理数か無理数のいずれかであることが証明されており、すべての対角線が有理数でなければならないと推測されています。^[14]

辺と対角線を持つすべての凸五角形に対して、次の不等式が成り立つ：^{[15] ：p.75、#1854}${\displaystyle a,b,c,d,e}$${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$。

正五角形は、正多角形のタイル張りには出現しません。まず、五角形が正タイル張り(すべての面が合同で、すべての多角形が五角形である必要があるタイル張り) を形成できないことを証明するには、360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (108° は内角) が整数ではないことに注目します。したがって、1 つの頂点を共有し、間に隙間がない五角形の整数個は存在しません。さらに難しいのは、正多角形によって作成されたエッジからエッジまでのタイル張りに五角形が出現できないことを証明することです。

正五角形の既知の最大充填密度は であり、示されている二重格子充填によって達成される。2016年に発表されたプレプリントで、トーマス・ヘイルズとヴォーデン・クスナーは、この正五角形の二重格子充填（1900年頃にさかのぼる「五角形氷線」中国格子設計として知られる）が、平面上の正五角形のすべての充填の中で最適な密度を持つという証明を発表した。^[16]${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$

頂点で 4 つ以上の多角形が接する正多角形の組み合わせで、五角形が含まれるものはありません。3 つの組み合わせでは、3 つの多角形が頂点で接し、1 つの辺の数が奇数の場合、他の 2 つは合同でなければなりません。これは、五角形の辺に接する多角形は五角形の周りで交互に配置する必要があるためですが、五角形の辺の数が奇数であるため、これは不可能です。五角形の場合、これにより、すべての角度が(360 − 108) / 2 = 126°である多角形が生成されます。この多角形の辺の数を求めると、結果は360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3となり、これは整数ではありません。したがって、正多角形で作成されたタイリングには五角形が出現することはできません。

平面を一面体で敷き詰めることができる五角形には 15 種類あります。五角形には一般に対称性はありませんが、鏡映対称性を持つ特殊なケースもあります。

• 
  オクラの五角形の断面。
• 
  アサガオは、他の多くの花と同様に、五角形の形をしています。
• 
  ラフレシアの花のペリゴネ筒。
• 
  リンゴの雌花には5つの心皮があり、五芒星型に並んでいる。
• 
  スターフルーツも五回対称性を持つ果物です。

• 
  ヒトデ。棘皮動物の多くは 5 倍の放射状対称性を持っています。
• 
  棘皮動物のもう一つの例、ウニの内骨格。
• 
  同じく五角形の形状をした棘皮動物であるヒトデのイラスト。

• 
  五角形十二面体として形成されたHo-Mg-Zn 二十面体準結晶。面は真の正五角形です。
• 
  黄鉄鉱の黄鉄鉱面体結晶。黄鉄鉱面体には、規則的である必要のない 12 個の同一の五角形の面があります。
• 
  高さ 0.5 センチメートルの金色のファイブリング。

• 
  アメリカ国防総省の本部、ペンタゴン。
• 
  野球場のホームベース

• 連想面体; 五角形は4次の連想面体である
• 正十二面体、12個の五角形の面から構成される多面体。
• 黄金比
• 幾何学的形状のリスト
• 五角数
• 五芒星
• 五芒星の地図
• クライスラーのロゴ、ペンタスター
• ピタゴラスの定理
• 五角形の三角定数

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ウィキメディア・コモンズには、ペンタゴンに関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック W.「ペンタゴン」。MathWorld。
• コンパスと定規を使用して内接五角形を作成するアニメーションデモンストレーション。
• コンパスと定規だけを使って正五角形を描く方法。
• 紙片だけを使って正五角形を折る方法
• インタラクティブアニメーションによる五角形の定義と特性
• ルネサンス期の芸術家による正五角形の近似的構築物 2021-04-13 にWayback Machineでアーカイブ
• 五角形。正五角形のさまざまな寸法を計算する方法。