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イコシアンゲームは、 1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発明された数学ゲームです。このゲームでは、十二面体上のハミルトン閉路を見つけます。十二面体とは、十二面体の辺を使ってそのすべての頂点を通る多角形です。ハミルトンのこのゲームの発明は、対称性の研究と、十二面体の対称性を記述する数学体系であるイコシアン計算の発明から生まれました。
ハミルトンは自分の作品をゲーム製造会社に売却し、イギリスとヨーロッパの両方で販売されましたが、あまりにも簡単だったため商業的に成功しませんでした。博物館に残っているコピーはごくわずかです。ハミルトンはハミルトンサイクルを研究した最初の人物ではありませんでしたが、このゲームに関する彼の研究がハミルトンサイクルの名前の由来となりました。レクリエーション数学のいくつかの作品は彼のゲームを研究しました。ハミルトンサイクルに基づいた他のパズルはスマートフォンアプリとして販売されており、数学者はハミルトンサイクルに基づいた組み合わせゲームの研究を続けています。
ゲームプレイ
このゲームの目的は、正十二面体の辺から作られ、十二面体の各頂点をちょうど一度ずつ通過する三次元多角形を見つけることです。このようにしてすべての頂点を訪れる多角形は現在、ハミルトン閉路と呼ばれています。) 2人用ゲームでは、一方のプレイヤーが多角形に沿って連続する5つの頂点を選択することから始め、もう一方のプレイヤーが多角形を完成させる必要があります。[1]
エドゥアール・リュカスは、ゲームプレイヤーが覚えやすい形で、あらゆる可能な解の形状を説明しています。完成した多角形は、正十二面体の 12 面を 6 つの五角形の 2 つのストリップに分割する必要があります。このストリップは、中央の 4 つの五角形を通過するときに、各五角形の隣接していない 2 つの辺に接続し、五角形を浅く左に曲がるか、浅く右に曲がるかします。このように、ストリップは 2 回左に曲がってから 2 回右に曲がるか、またはその逆になります。[2]
このゲームのバージョンの 1 つは、正十二面体と同じ組み合わせ構造 (シュレーゲル図)を持つ平面グラフが刻まれた平らな木の板の形をしており[3] 、頂点に番号付きのペグを置くための穴が開いていた。ゲーム プレイヤーが見つけた多角形は、ペグの連続番号で示された。[4] [5]別のバージョンは「部分的に平らになった正十二面体」の形をしており、正十二面体の五角形が曲面に広がったほぼ半球形のドームで、平らな底面にハンドルが取り付けられていた。頂点には固定されたペグがあった。多角形を示すために、一方の端にループが付いた別の紐がこれらのペグに巻き付けられた。[5]
このゲームは簡単すぎたため、あまり人気が出なかったが[6] [7] [8]、ハミルトンは、このゲームを解くことができなかった同僚の学者の例を挙げて、この印象に対抗しようとした。[8]デイビッド・ダーリングは、ハミルトンが試行錯誤ではなく理論的な方法で解くことで、他の人よりも自分自身にとってゲームをはるかに難しくしたのではないかと示唆している。[6]
背景
イコシアンゲームを発明した当時、ウィリアム・ローワン・ハミルトンはダブリン大学トリニティ・カレッジのアンドリュース天文学教授であり、アイルランド王立天文学者でもあり、ハミルトン力学の研究と四元数の発明ですでに有名であった。[9]ハミルトンの動機は、互いに同じ対称性を持つ2つの双対多面体である十二面体と二十面体の対称性を理解する問題であった。この目的のために、彼はこれらの対称性を計算するために使用した非可換代数のシステムであるイコシアン計算も発明した。[10]
イコシアンゲームの名前は、イコサヘドロンには20の面があり、十二面体には20の頂点があり、十二面体のすべての頂点を通る多角形には20の辺があるという事実に由来しています。イコサは20を意味するギリシャ語の語源です。[7] [11]ラベルの付いた頂点を持つ十二面体では、これらの頂点を互いに接続してハミルトン閉路を形成する方法が30通りあります。ただし、ラベルがない場合、すべてのハミルトン閉路は十二面体の回転と反射に対して互いに対称です。[12]
歴史
イコシアン計算とイコシアンゲームは、1856年後半にハミルトンが友人のジョン・T・グレイブスに宛てた一連の手紙の中で概要が述べられた。 [10]その後ハミルトンは、1857年にダブリンで開催された英国科学振興協会の会議でこのゲームを展示した。[13] [14]グレイブスの提案により、[3]ハミルトンは出版権をロンドンを拠点とする玩具・ゲーム製造会社のジャック・アンド・サンに売却した。[10] [13]
この会社は1859年からハミルトンのゲームを販売しており、[4]手持ち式の立体と平面の両方の形式で、[5]それぞれ「旅行者の十二面体、つまり世界一周の旅」と「イコシアンゲーム」という長いタイトルで販売していた。これはアイルランド王立天文学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿が発明したもので、応接室で楽しめる新しい非常に面白いゲームであり、イコシアン微積分の原理を説明する数学の学生にとって特に興味深いものであった。[4]
このゲームはヨーロッパで数種類販売された。[12]しかし商業的には成功しなかった。[6] [7] [10]ハミルトンはこの発明に対してジャック・アンド・サン社から25ポンドのライセンス料しか受け取っていない（現在の価値で3200ポンド）。[12]このゲームのオリジナルコピーは現存することがほとんど知られていないが[15]、 1つはダブリンのアイルランド王立アカデミーの図書館に保管されており、[4]もう1つはパリの国立工芸学校のコレクションに含まれており、[3]どちらもゲームの平面形態である。[3] [4]
遺産
ハミルトンはイコシアンゲームを独自に発明したが、ハミルトンサイクルを研究した最初の人物ではなかった。ハミルトンサイクルに基づく別のパズルであるチェス盤上のナイトのツアーは、インドと中世イスラム世界の数学の両方で9世紀に遡る。[16]ハミルトンとほぼ同時期に、イギリスのトーマス・カークマンも多面体上のハミルトンサイクルを研究していた。[17]ハミルトンは1861年にカークマンを訪れ、イコシアンゲームのコピーを贈呈した。[10]この関連研究（一部はもっと以前のもの）にもかかわらず、ハミルトンサイクルはハミルトンとイコシアンゲームに関する研究にちなんで名付けられた。[1]
イコシアンゲーム自体は、エドゥアール・ルーカス[2]、ヴィルヘルム・アーレンス[18]、マーティン・ガードナー[12]など、この分野の著名な著者によるレクリエーション数学の複数の研究のテーマとなっています。平面グラフのハミルトン閉路を見つけることに基づくハミルトンのイコシアンゲームのようなパズルは、スマートフォンアプリとして販売され続けています。 [19]ハミルトン閉路に基づくメイカーブレーカーゲームは、1978年の論文でヴァーツラフ・クヴァータルとポール・エルデシュ[20] [21]によって組合せゲーム理論に導入され、数学で研究され続けています。[21]
参照
- 十二面体のグラフ上でプレイされるもう一つのゲーム、Hunt the Wumpus
- ケーニヒスベルクの七つの橋、グラフのすべての辺を通るサイクルを見つけるパズル
参考文献
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さらに読む
- アントニック、ゲイリー（2014 年 10 月 6 日）、「ハミルトンのイコシアン ゲーム」、ニューヨーク タイムズ十二面体上のハミルトン経路を見つけるためのインタラクティブなソルバーを含む
- ワイスシュタイン、エリック W.、「イコシアン ゲーム」、MathWorld平面ボード上に30の解を示す