切頂十二面体

切頂十二面体
タイプ	アルキメデス立体
顔	32
エッジ	90
対称グループ	二十面体対称性 ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$
二面角（度）	10-10: 116.57° 3-10: 142.62°
二重多面体	三十面体
頂点図形
ネット

幾何学において、切頂十二面体はアルキメデスの立体です。正十角形の面が 12 個、正三角形の面が 20 個、頂点が 60 個、辺が 90 個あります。

切頂十二面体は、正十二面体の頂点をすべて切り落とすことで作られ、このプロセスは切頂と呼ばれます。^{[1]あるいは、切頂十二面体は}拡大によっても作ることができます。つまり、正十二面体の辺を押しのけて、五角形の面を十角形の面に、頂点を三角形に形成します。^[2]したがって、切頂十二面体には 32 の面、90 の辺、60 の頂点があります。^[3]

切頂十二面体は、直交座標を使用して構築することもできます。辺の長さを原点に置いた場合、それらはすべて の偶数順列であり、 は 黄金比です。^[4]${\displaystyle 2\varphi -2}$$${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi )\right),\qquad \left(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,\pm 2\varphi \right),\qquad \left(\pm \varphi ,\pm 2,\pm (\varphi +1)\right),}$$${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

辺の長さが12面体の表面積と体積は次の通りである。^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 100.991a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 85.040a^{3}\end{aligned}}}$$

切頂十二面体の二つの正十二面体間の二面角は116.57°であり、三角形と十二面体間の二面角は142.62°である。^[5]

切頂十二面体はアルキメデスの立体であり、対称性が高く半正多面体で、2つ以上の異なる正多角形面が頂点で交わる。^[6]正二十面体と同じ対称性、すなわち二十面体対称性を持つ。^[7]すべての頂点で交わる多角形面は1つの正三角形と2つの正十角形であり、切頂十二面体の頂点図はである。切頂十二面体の双対は三十面体で、カタロニア立体^[8]であり、切頂十二面体と同じ対称性を持つ。^[9]${\displaystyle 3\cdot 10^{2}}$

切頂十二面体は非キラルであり、鏡像と合同である。^[7]

数学のグラフ理論の分野において、切頂十二面体グラフは、アルキメデスの立体の1つである切頂十二面体の頂点と辺のグラフである。これは60の頂点と90の辺を持ち、立方アルキメデスのグラフである。^[10]

切頂十二面体は、拡大と呼ばれる多面体の構築に応用できる。多面体の例としてはジョンソン立体があり、切頂十二面体に五角形のキューポラを取り付けることで構築される拡大切頂十二面体、パラビ拡大切頂十二面体、メタビ拡大切頂十二面体、三拡大切頂十二面体がある。^[3]

• 大星形切頂十二面体

• クロムウェル、P. (1997)。多面体。イギリス：ケンブリッジ。pp. 79–86アルキメデスの立体。ISBN 0-521-55432-2。

• Weisstein, Eric W.、「切頂十二面体」（「アルキメデスの立体」）（MathWorld）
  • Weisstein、Eric W.「切断された十二面体グラフ」。MathWorld。
• Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 o3x5x - tid」。
• インタラクティブな 3D ビューを備えた、編集可能で印刷可能な切頂十二面体のネット