スナブ十二面体

幾何学において、スナブ十二面体、またはスナブ二十面体は、 2 種類以上の正多角形の面によって構成される13 個の凸等角非柱状立体のうちの 1 つであるアルキメデスの立体です。

スナブ十二面体には 92 の面があり (13 のアルキメデス立体の中で最も多い)、そのうち 12 は五角形で、残りの 80 は正三角形です。また、150 の辺と 60 の頂点があります。

2 つの異なる形式があり、それらは互いに鏡像(または「鏡像体」) です。両方の形式の結合は2 つの短頭十二面体の複合体であり、両方の形式の凸包は切頂二十二十十二面体です。

ケプラーは1619年に著書『世界の調和』の中で、これをラテン語でdodecahedron simumと初めて命名した。HSMコクセターは、これが十二面体からも二十面体からも等しく導き出せることに注目し、垂直に伸びたシュレーフリ記号と平坦なシュレーフリ記号sr{5,3} を持つ、これをsnub icosidodecahedronと呼んだ。 ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$

ξ≈とすると0.943 151 259 24 を3次多項式 x ³ + 2 x ² − φ ²の実数零点とするここでφ は黄金比である。点p を次のように表す。 回転行列M ₁およびM ₂を次の ように表す。M _{1は、軸 (} 0 , 1, φ )の周りの角度 ⁠ の回転を表す。$${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2} \\\xi \end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}},\quad M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$$ 2π​/5⁠反時計回りに回転し、M _{2 は}( x , y , z )の巡回シフトであり、軸(1, 1, 1)の周りの角度 ⁠ の回転を表す。2π​/3⁠。すると、スナブ十二面体の 60 個の頂点は、M ₁および/またはM ₂を繰り返し乗算し、収束するまで反復した点pの 60 個の像になります。 (行列M ₁およびM ₂は、正二十面体の60 個の回転対称性に対応する 60 個の回転行列を生成します。) 頂点の座標は、 1、φ、ξ、φξ、ξ ²およびφξ ²の整線形結合です。辺の長さはに等しく 、 すべての座標を反転すると、このスナブ十二面体の鏡像が得られます。 $${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0.449\,750\,618\,41.}$$

スナブ十二面体は、体積として、80個の三角錐と12個の五角錐で構成されています。1個の三角錐の体積V ₃は次のように表されます。1 個の五角錐の 体積V ₅は次のように表されます。 全体の体積は、 $${\displaystyle V_{3}={\frac {1}{3}}\varphi \left(3\xi ^{2}-\varphi ^{2}\right)\approx 0.027\,274\,068\,85,}$$$${\displaystyle V_{5}={\frac {1}{3}}(3\varphi +1)\left(\varphi +3-2\xi -3\xi ^{2}\right)\xi ^ {3}\約 0.103\,349\,665\,04.}$$$${\displaystyle 80V_{3}+12V_{5}\approx 3.422\,121\,488\,76.}$$

外接半径は に等しく、 中半径 はξに等しくなります。これにより、数ξの興味深い幾何学的解釈が得られます。上記の短頭十二面体の 20 個の「二十面体」三角形は、正二十面体の面と同一平面にあります。この「外接」二十面体の中半径は 1 に等しくなります。つまり、ξ は短頭十二面体とそれが内接する二十面体との中半径の比です。 $${\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0.969\,589\,192\,65.}$$

三角形と三角形の二面角は次のように表される。 $${\displaystyle \theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164.175\,366\,056\,03^{\circ }.}$$

三角形と五角形の二面角は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{35}&=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\\[2pt]&\approx 152.929\,920\,275\,84^{\circ }.\end{aligned}}}$$

辺の長さが1であるスナブ十二面体の表面積は、 体積は、 あるいは、この体積は次のように表される 。 ここで 、外接半径 は、 中半径は、 $${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15.}$$$${\displaystyle V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2 }-\varphi ^{2}}}}\約 37.616\,649\,962\,733\,36.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {5+5{\sqrt {5}}}{6{\sqrt {3}}}}{\sqrt {{18+6{\sqrt {5}}}+{a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}}+{\frac {5+3{\sqrt {5}}}{24{\sqrt {2}}}}{\sqrt {72+{\left({5+{\sqrt {5}}}\right)}a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}\\[2pt]&\approx 37.616\,649\,962\,733\,36,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})+6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})-6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}\\[2pt]&\approx 10.293\,368\,998\,184\,21.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2.155\,837\,375.}$$$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.097\,053\,835\,25.}$$

内接する球が 2 つあり、1 つは三角形の面に接し、もう 1 つはわずかに小さく五角形の面に接しています。それぞれの半径は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1.980\,915\,947\,28.\end{aligned}}}$$

R ^2の六次方程式の 4 つの正の実根 は、スナブ十二面体 ( U ₂₉ )、大スナブ二十二十十二面体( U ₅₇ )、大反転スナブ二十二十十二面体( U ₆₉ )、および大逆スナブ二十二十十二面体( U ₇₄ ) の外接半径です。 $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$

スナブ十二面体は、アルキメデスの立体の中で最も球形度が高い。球形度を体積の二乗と表面積の三乗の比に定数 36 πを掛けたものと定義すると（この定数は球形の球形度を 1 にする）、スナブ十二面体の球形度は約 0.947 となる。^[1]

スナブ十二面体には、以下に示すように、A ₂コクセター平面と H ₂コクセター平面に対応する三角形と五角形という 2 種類の面を中心とする、特に対称的な 2 つの直交投影があります。

スナブ十二面体は、十二面体の12 個の五角形の面を外側に引っ張って、接触しないようにすることで生成できます。適切な距離で、分割された辺の間に正方形の面を、分割された頂点の間に三角形の面を埋めることで、菱形十二面体を作成できます。ただし、スナブ形式の場合は、五角形の面を少しだけ外側に引っ張り、三角形の面のみを追加し、他の隙間は空のままにします (この時点では他の隙間は長方形です)。次に、五角形と三角形の中心に均等に回転を適用し、隙間が 2 つの正三角形で埋められるまで回転を続けます。 （スナブ十二面体の場合、面を引き出す適切な量が少ないという事実は、スナブ十二面体の外接半径がイコシド十二面体よりも小さいか、または五角形の面を回転させると、分割された頂点によって形成される正三角形の辺の長さが長くなるという2つの方法で確認できます。）

切り取られた二十二面体から交替のプロセスによって、切り取られた十二面体も生成できます。切り取られた二十二面体の 60 個の頂点は、切り取られた十二面体 1 個と位相的に等価な多面体を形成し、残りの 60 個はその鏡像を形成します。結果として得られる多面体は頂点推移的ですが、一様ではありません。

あるいは、デカルト座標 (上記) で与えられたスナブ十二面体の頂点とその鏡像を組み合わせると、半正則な切頂二十二十十二面体が形成されます。これらの正多面体と半正則多面体の比較は、右の図に示されています。

この代替の切り詰められた十二面体の頂点の直交座標は、12 個のセット (切り詰められた二十十二面体の直交座標の 5 セットに含まれる24 個の可能な偶数順列のうち) を選択することによって得られます。交代は、次の 3 セットでマイナス記号の数が奇数であるものです。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm [3+\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi ^{2}&,&\pm [3\varphi -1]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm [2\varphi -1]&,&\pm \,2&,&\pm [2+\varphi ]&{\Bigr )},\end{array}}}$$ そして、これら 2 つのセットには偶数のマイナス記号が含まれます。 $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {2}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi &,&\pm [1+2\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm \,\varphi &,&\pm \,3&,&\pm \,2\varphi &{\Bigr )},\end{array}}}$$

ここで、は黄金比です。通常の切頂二十二面体とこの代替のスナブ十二面体の鏡像は、偶数と奇数の参照を符号と位置の順列の両方に切り替えることによって得られます。 ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

この半正多面体は、頂点図形（3.3.3.3. n）とコクセター・ディンキン図を持つスナッブ多面体とタイリングの系列のメンバーである。 これらの図形とその双対図形は ( n 32) 回転対称性を持ち、 n = 6のときはユークリッド平面に 、nより大きいときは双曲平面に存在します。 この数列はn  = 2 から始まり、1 組の面が二角形に退化したと考えることができます。

スナブ十二面体グラフ
5回対称シュレーゲル図
頂点	60
エッジ	150
自己同型	60
プロパティ	ハミルトニアン、正則
グラフとパラメータの表

数学のグラフ理論の分野において、スナブ十二面体グラフは、アルキメデスの立体の1つであるスナブ十二面体の頂点と辺のグラフである。これは60の頂点と150の辺を持ち、アルキメデスのグラフである。^[2]

• 平面多角形から多面体への変換アニメーション
• 反時計回りと時計回りに回転するスナブ十二面体

• Jayatilake, Udaya (2005 年 3 月)。 「面と頂点の正多面体に関する計算」。Mathematical Gazette。89 ( 514): 76–81。doi :10.1017/S0025557200176818。S2CID 125675814  。
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• クロムウェル、P. (1997)。多面体。イギリス：ケンブリッジ。pp. 79–86アルキメデスの立体。ISBN 0-521-55432-2。

• Weisstein, Eric W.、「Snub dodecahedron」（「アルキメデスの立体」） at MathWorld。
  • ワイスタイン、エリック W.「スナッブ十二面体グラフ」。マスワールド。
• Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 s3s5s - snid」。
• インタラクティブな 3D ビューを備えた編集可能な印刷可能な Snub Dodecahedron ネット
• 均一な多面体
• バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典
• マーク・S・アダムスとメノ・T・コスターズ。スナブ十二面体の体積解