2進化10進数

コンピューティングおよび電子システムにおいて、 2進化10進数（BCD ）は、 10進数の2進エンコードの一種で、各桁は固定数のビット（通常は4または8）で表されます。場合によっては、符号やその他の表示（エラーやオーバーフローなど） に特殊なビットパターンが使用されることもあります。

バイト指向のシステム（つまり、ほとんどの現代のコンピュータ）では、アンパックBCD ^[1]という用語は通常、各桁の完全なバイト（多くの場合、符号を含む）を意味しますが、パックBCDは通常、0から9の範囲を表すのに4ビットで十分であるという事実を利用して、1バイト内に2桁をエンコードします。ただし、正確な4ビットエンコードは、技術的な理由（Excess-3など）により異なる場合があります。

BCD桁を表す10個の状態はテトラド^{[2] [3]}と呼ばれることもある（これらを保持するために通常必要とされるニブルもテトラドと呼ばれる）。一方、使用されないドントケア状態は擬似テトラド [de]、^{[4] [5] [6] [7] [8]} 擬似10進数^[3]または擬似10進数桁と呼ばれる。^{[9] [10] [nb 1]}

バイナリ位置システムと比較した BCD の主な利点は、10 進数の表現と丸めがより正確であること、および従来の人間が判読できる表現への変換が容易であることです。主な欠点は、基本的な演算を実装するために必要な回路の複雑さが若干増加することと、ストレージの密度が若干低いことです。

BCD は多くの初期の10 進コンピュータで使用されており、 IBM System/360シリーズとその派生製品、Digital Equipment CorporationのVAX、Burroughs B1700、Motorola 68000シリーズ プロセッサなどのマシンの命令セットに実装されています。

BCD自体は以前ほど広く使用されておらず、新しい命令セット（例：ARM、ロングモードのx86）では利用できないか制限されています。しかし、10進固定小数点形式と10進浮動小数点形式は依然として重要であり、2進浮動小数点形式に固有の微妙な変換と小数点の丸め誤差が許容されない金融、商業、産業コンピューティングでは引き続き使用されています。 ^[11]

BCD は、1 つの 10 進数を 4 ビット パターンで表すことができるという事実を活用します。数字をエンコードする明白な方法は、自然 BCD (NBCD) です。この方法では、次の表に示すように、各 10 進数が対応する 4 ビットのバイナリ値で表されます。これは、「8421」エンコードとも呼ばれます。

この方式は、シンプル2進化10進数（SBCD）またはBCD 8421とも呼ばれ、最も一般的なエンコードです。^[12]他には、ビットに使用される重みにちなんで名付けられた、いわゆる「4221」および「7421」エンコードや、「Excess-3」があります。^[13]たとえば、0110'b8421表記のBCD数字6は、1100'b4221（2つのエンコードが可能）0110'bでは7421であり、Excess-3では1001'b（）です。 ${\displaystyle 6+3=9}$

次の表は、さまざまな BCD エンコード システムにおける 0 から 9 までの10 進数字を表しています。ヘッダーの「 」は各ビットの重みを示しています。5 列目 (「BCD 8 4 −2 −1」) では、重みの 2 つが負になっています。ゾーン BCD の例である数字の ASCII 文字コードと EBCDIC 文字コードも示されています。 8 4 2 1   

ほとんどのコンピュータは 8 ビットバイトでデータを処理するため、次のいずれかの方法を使用して BCD 数値をエンコードできます。

• アンパック: 各 10 進数は 1 バイトにエンコードされ、4 ビットが数値を表し、残りのビットは意味を持ちません。
• パック: 2つの10進数字が1バイトにエンコードされ、1つの数字が最下位ニブル(ビット0から3 )に、もう1つの数字が最上位ニブル(ビット4から7)に含まれます。^{[nb 8]}

たとえば、91アンパックされた BCD を使用して 10 進数をエンコードすると、次の 2 バイトのバイナリ パターンが生成されます。

小数点: 9 1
2進数: 0000 1001 0000 0001

パックされた BCD では、同じ数値が 1 バイトに収まります。

小数点: 9 1
バイナリ: 1001 0001

したがって、1 つのアンパック BCD バイトの数値範囲は 0 から 9 までですが、1 つのパック BCD バイトの範囲は 0 から 99 までになります。

1 バイトの範囲を超える数値を表すには、連続する任意の数のバイトを使用できます。たとえば、ビッグ エンディアン12345形式を使用してパックされた BCD で10 進数を表すには、プログラムは次のようにエンコードします。

10進数: 0 1 2 3 4 5
2進数: 0000 0001 0010 0011 0100 0101

ここでは、最上位バイトの最上位ニブルがゼロとしてエンコードされているため、数値は として保存されます012345(ただし、フォーマット ルーチンによって先頭のゼロが置き換えられたり削除されたりする場合があります)。パックされた BCD は、アンパックされた BCD よりもストレージの使用効率が高くなります。同じ数値 (先頭のゼロ付き) をアンパック形式でエンコードすると、2 倍のストレージが消費されます。

シフト操作とマスク操作は、パックされた BCD 数字をパックまたはアンパックするために使用されます。その他のビット単位の操作は、数値を同等のビット パターンに変換したり、そのプロセスを逆にしたりするために使用されます。

パックBCD（またはパック10進数^[38] ）では、各ニブルが10進数の数字を表します。^{[nb 8]}パックBCDは少なくとも1960年代から使用されており、それ以降すべてのIBMメインフレームハードウェアに実装されています。ほとんどの実装はビッグエンディアン、つまり各バイトの上位半分に重要な桁があり、左端のバイト（最下位のメモリアドレスにある）にパック10進数値の最上位桁が含まれます。右端のバイトの下位ニブルは通常、符号フラグとして使用されますが、符号なし表現には符号フラグがありません。

たとえば、4 バイトの値は 8 つのニブルで構成され、上位 7 つのニブルには 7 桁の 10 進数値の数字が格納され、最下位のニブルは 10 進整数値の符号を示します。標準の符号値は、正 (+) の場合は 1100 ( 16 進数C)、負 (-) の場合は 1101 (D) です。この規則は、 EBCDIC文字のゾーン フィールドと符号付きオーバーパンチ表現に由来しています。

他に許可されている符号は、正の場合は 1010 (A) と 1110 (E)、負の場合は 1011 (B) です。IBM System/360 プロセッサは、PSW で A ビットが設定されている場合、1010 (A) と 1011 (B) の符号を使用します。これは、決して合格しなかった ASCII-8 標準です。ほとんどの実装では、符号ニブル 1111 (F) の符号なし BCD 値も提供しています。^{[39] [40] [41]} ILE RPG は、正の場合は 1111 (F)、負の場合は 1101 (D) を使用します。^[42]これらは、符号オーバーパンチのない数字の EBCDIC ゾーンと一致します。パック BCD では、数値 127 は 0001 0010 0111 1100 (127C) で表され、-127 は 0001 0010 0111 1101 (127D) で表されます。Burroughs システムでは、負の値として 1101 (D) が使用され、その他の値は正の符号値と見なされます (プロセッサは正の符号を 1100 (C) に正規化します)。

ワードが何バイト幅であっても、各バイトには2つのニブルがあるため、常に偶数個のニブルが存在します。したがって、 nバイトのワードには最大(2 n )−1桁の10進数を含めることができ、これは常に奇数桁です。d桁の10進数には、 ⁠1/2⁠ ( d +1) バイトのストレージスペース。

たとえば、4 バイト (32 ビット) のワードは 7 桁の 10 進数と符号を保持でき、±9,999,999 の範囲の値を表すことができます。したがって、数値 -1,234,567 は 7 桁の幅があり、次のようにエンコードされます。

0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1101
1 2 3 4 5 6 7 −

文字列と同様に、パック 10 進数の最初のバイト (最上位 2 桁) は、マシンの エンディアンとは関係なく、通常はメモリ内の最下位アドレスに格納されます。

対照的に、4 バイトの 2 の補数バイナリ整数は、-2,147,483,648 から +2,147,483,647 までの値を表すことができます。

パックされた BCD はストレージを最適に使用しませんが (同じ数値を格納するのに2 進表記よりも約 20% 多くのメモリを使用します)、算術演算が不要なため、 ASCII、 EBCDIC 、またはUnicodeのさまざまなエンコードへの変換は簡単です。追加のストレージ要件は通常、固定小数点 10 進演算が提供する精度と計算機または手計算との互換性の必要性によって相殺されます。ストレージのペナルティを回避し、一般的な変換に算術演算も必要としない、 より高密度のBCDパックが存在します。

パック BCD は、COBOLプログラミング言語では「COMPUTATIONAL-3」(他の多くのコンパイラ ベンダーが採用した IBM 拡張) または「PACKED-DECIMAL」(1985 COBOL 標準の一部) データ型としてサポートされています。PL /Iでは「FIXED DECIMAL」としてサポートされています。IBM System/360 以降の互換メインフレームのほか、パック BCD は、 Digital Equipment CorporationのオリジナルVAXプロセッサのネイティブ命令セットや、 SDS Sigma シリーズメインフレームの一部のモデルに実装されており、Burroughs Medium Systemsシリーズのメインフレーム (1950 年代の Electrodata 200 シリーズの後継) のネイティブ形式です。

負の数の10 の補数表現は、パックされた (およびその他の) BCD 数の符号をエンコードするための代替アプローチを提供します。この場合、正の数は常に 0 から 4 (両端を含む) までの最上位桁を持ち、負の数は対応する正の数の 10 の補数で表されます。

その結果、このシステムでは、32 ビットのパックされた BCD 数値の範囲は -50,000,000 から +49,999,999 までとなり、-1 は 99999999 として表されます。(2 の補数の 2 進数と同様に、範囲はゼロを中心に対称ではありません。)

固定小数点小数は、一部のプログラミング言語 (COBOL や PL/I など) でサポートされています。これらの言語では、プログラマーが数字の 1 つ前に暗黙の小数点を指定できます。

たとえば、バイト 12 34 56 7C でエンコードされたパック 10 進数値は、暗黙の小数点が 4 桁目と 5 桁目の間にある場合、固定小数点値 +1,234.567 を表します。

12 34 56 7C
 12 34.56 7+

パックされた BCD ストレージ形式では小数点がサポートされていないため、小数点は実際にはメモリに格納されません。小数点の位置はコンパイラによって認識され、生成されたコードはそれに応じてさまざまな算術演算を実行します。

10 進数に 4 ビット必要な場合、3 つの 10 進数には 12 ビットが必要です。ただし、2 ^{10 (1,024) は 10 3} (1,000)より大きいため、3 つの 10 進数を一緒にエンコードする場合、必要なビット数は 10 ビットだけです。このようなエンコードには、Chen–Ho エンコードと高密度パック 10 進数(DPD) の 2 つがあります。後者の利点は、エンコードのサブセットによって、通常の BCD と同様に、2 つの数字を最適な 7 ビットでエンコードし、1 つの数字を 4 ビットでエンコードできることです。

IBMメインフレーム システムなどの一部の実装では、ゾーン 10 進数の数値表現がサポートされています。各 10 進数は 1 バイトに格納され、下位 4 ビットは BCD 形式で数字をエンコードします。上位 4 ビットは「ゾーン」ビットと呼ばれ、通常は固定値に設定され、バイトには数字に対応する文字値が保持されます。EBCDIC システムでは、ゾーン値 1111 (16 進数 F) が使用されます。これにより、F0 から F9 (16 進数) の範囲のバイトが生成されます。これは、文字「0」から「9」の EBCDIC コードです。同様に、ASCII システムでは、ゾーン値 0011 (16 進数 3) が使用され、文字コード 30 から 39 (16 進数) が生成されます。

符号付きゾーン 10 進数値の場合、右端 (最下位) のゾーン ニブルに符号桁が保持されます。これは、符号付きパック 10 進数値に使用される値のセットと同じです (上記を参照)。したがって、16 進バイト F1 F2 D3 としてエンコードされたゾーン 10 進数値は、符号付き 10 進数値 -123 を表します。

F1 F2 D3
1 2 −3

(*)注意: これらの文字は、ローカル文字コード ページの設定によって異なります。

一部の言語 (COBOL や PL/I など) は、固定小数点ゾーン 10 進数値を直接サポートし、数値の 10 進桁間のどこかに暗黙の小数点を割り当てます。

たとえば、4 桁目の右側に暗黙の小数点がある 6 バイトの符号付きゾーン 10 進数値の場合、16 進バイト F1 F2 F7 F9 F5 C0 は値 +1,279.50 を表します。

F1 F2 F7 F9 F5 C0
1 2 7 9. 5 +0

最初に 2 進数で加算し、その後 BCD に変換することで、加算を実行することができます。2 桁の単純な合計を変換するには、2 桁の数字を加算した 5 ビットの結果が 9 より大きい値になるときに、6 (つまり、16 − 10) を加算します。6 を加算する理由は、4 ビット BCD 値は 16 通り (2 ⁴ = 16 なので) ありますが、有効な値は 10 通り (0000 から 1001) だけだからです。例:

1001 + 1000 = 10001
   9 + 8 = 17

10001 は、望ましい結果の 10 進数ではなく 2 進数表現ですが、最上位の 1 (「キャリー」) は 4 ビットの 2 進数には収まりません。10 進数と同様に、BCD では 1 桁あたり 9 (1001) を超える値は存在できません。これを修正するには、合計に 6 (0110) を追加し、結果を 2 つのニブルとして扱います。

10001 + 0110 = 00010111 => 0001 0111
   17 + 6 = 23 1 7

結果の 2 つのニブル 0001 と 0111 は、数字の「1」と「7」に対応します。これにより、BCD では「17」となり、これが正しい結果となります。

この手法は、右から左へグループで加算し、2 番目の桁をキャリーとして伝播し、各桁ペアの合計の 5 ビット結果を常に 9 と比較することで、複数の桁を加算するように拡張できます。一部の CPU は、バイナリ加算および減算操作後の BCD 算術調整を容易にするために、ハーフキャリー フラグを提供します。Intel 8080、Zilog Z80、および x86 ファミリの CPU は、オペコード DAA (Decimal Adjust Accumulator) を提供します。

減算は、減数の 10 の補数を被減数に加えることによって行われます。BCD で数の符号を表すには、正の数を表すには数 0000 を使用し、負の数を表すには数 1001 を使用します。残りの 14 の組み合わせは無効な符号です。符号付き BCD 減算を説明するために、次の問題を考えます: 357 − 432。

符号付き BCD では、357 は 0000 0011 0101 0111 です。432 の 10 の補数は、432 の9 の補数に1 を加算することで得られます。したがって、999 − 432 = 567、567 + 1 = 568 です。BCD で 568 の前に負の符号コードを付けると、数値 -432 を表すことができます。したがって、符号付き BCD の -432 は 1001 0101 0110 1000 です。

両方の数値が符号付き BCD で表現されるようになったので、これらを加算することができます。

  0000 0011 0101 0111
  0 3 5 7
+ 1001 0101 0110 1000
  9 5 6 8
= 1001 1000 1011 1111
  9 8 11 15

BCD は 10 進数表現の形式であるため、上記の数字の合計のいくつかは無効です。無効なエントリ (1001 より大きい BCD 数字) が存在する場合は、6 が追加されてキャリー ビットが生成され、合計が有効なエントリになります。したがって、無効なエントリに 6 を追加すると、次のようになります。

  1001 1000 1011 1111
  9 8 11 15
+ 0000 0000 0110 0110
  0 0 6 6
= 1001 1001 0010 0101
  9 9 2 5

したがって、減算の結果は 1001 1001 0010 0101 (-925) です。結果を確認するには、最初の桁が 9 で負数であることに注意してください。357 − 432 は負の数になるはずなので、これは正しいようです。残りのニブルは BCD なので、1001 0010 0101 は 925 です。925 の 10 の補数は 1000 − 925 = 75 なので、計算された答えは -75 です。

加算されるニブルの数が異なる場合 (1053 − 2 など)、桁数の少ない方の数値の前に 0 を付けてから、10 の補数を取るか減算する必要があります。したがって、1053 − 2 の場合、2 はまず BCD で 0002 として表され、0002 の 10 の補数を計算する必要があります。

IBM は、数字、大文字、特殊文字を表す6 ビットの英数字コードに対して、 2 進化 10 進コード(BCDIC、単に BCD と呼ばれることもあります)という用語を使用していました。BCDIC英数字の何らかのバリエーションは、 IBM 1620 (1959 年導入)、IBM 1400 シリーズ、およびIBM 700/7000 シリーズの非10 進アーキテクチャー製品など、ほとんどの初期の IBM コンピューターで使用されています。

IBM 1400 シリーズは文字アドレス指定可能なマシンで、各位置はB、A、8、4、2、1とラベル付けされた 6 ビットと、奇数パリティ チェック ビット ( C ) およびワード マーク ビット ( M ) です。数字1から9をエンコードする場合、BとAはゼロで、数字の値はビット8から1で標準の 4 ビット BCD で表されます。他のほとんどの文字の場合、ビットBとA は、パンチ カード文字コードの「12」、「11」、および「0」の「ゾーン パンチ」から単純に導出され、ビット8から1 は1から9 のパンチから導出されます。「12 ゾーン」パンチはBとAの両方を設定し、「11 ゾーン」パンチはBを設定し、「0 ゾーン」(0 パンチと他のパンチの組み合わせ) はA を設定します。したがって、パンチ カード形式で(12,1)である文字Aは、 (B,A,1)としてエンコードされます。通貨記号$はパンチカードでは(11,8,3)で、メモリでは(B,8,2,1)としてエンコードされていました。これにより、パンチカード形式と内部ストレージ形式間の変換回路が非常に簡単になり、特殊なケースはほとんどありません。重要な特殊なケースの1つは数字0で、カードでは1つの0がパンチされ、コアメモリでは(8,2)で表されます。^[43]

IBM 1620 のメモリは、6 ビットのアドレス指定可能な数字、つまり通常の8、4、2、1に加えてフラグ ビットとして使用されるFと、奇数パリティ チェック ビットであるCで構成されています。BCD英数字は数字のペアを使用してエンコードされ、偶数アドレスの数字に「ゾーン」、奇数アドレスの数字に「数字」が配置されます。「ゾーン」は、 1400 シリーズと同様に12、11、および0 の「ゾーン パンチ」に関連付けられています。入力/出力変換ハードウェアは、内部の数字のペアと外部の標準 6 ビット BCD コードの間で変換を行います。

10 進アーキテクチャーのIBM 7070、IBM 7072、およびIBM 7074では、 英数字は10 桁のワードの数字ペア (数字にはBCDではなく2/5 コードを使用) を使用してエンコードされ、左の数字に「ゾーン」、右の数字に「数字」が配置されます。入出力変換ハードウェアは、内部の数字ペアと外部の標準 6 ビット BCD コードの間で変換を行います。

System/360の導入により、IBM は 6 ビット BCD英数字を8 ビット EBCDIC に拡張し、さらに多くの文字 (小文字など) を追加できるようになりました。可変長のパック BCD数値データ型も実装され、パック 10 進データに対して直接演算を実行するマシン命令が提供されます。

IBM 1130および1800では、パック BCD は IBM の Commercial Subroutine Package によってソフトウェアでサポートされています。

現在でも、BCD データはIBM Db2などの IBM データベースや、 z/Architecture、POWER6以降のPower ISAプロセッサなどのプロセッサで頻繁に使用されています。これらの製品では、BCD は通常、ゾーン BCD (EBCDIC または ASCII など)、パック BCD (1 バイトあたり 2 つの 10 進数)、または「純粋な」BCD エンコード (各バイトの下位 4 ビットに 1 つの 10 進数が BCD として格納される) です。これらはすべて、ハードウェア レジスタと処理ユニット内、およびソフトウェアで使用されます。

Digital Equipment Corporation のVAXシリーズには、パック BCD データに対して直接演算を実行したり、パック BCD データと他の整数表現との間で変換を実行したりできる命令が含まれています。 ^[41] VAX のパック BCD 形式は、IBM System/360 および IBM のそれ以降の互換プロセッサの形式と互換性があります。MicroVAX およびそれ以降の VAX 実装では、CPU からこの機能を削除しましたが、不足している命令をオペレーティング システムが提供するソフトウェア ライブラリに実装することで、以前のマシンとのコード互換性を維持しました。これは、廃止された命令に遭遇したときに例外処理によって自動的に呼び出されるため、それらを使用するプログラムは、新しいマシンで変更せずに実行できます。

多くのプロセッサは、BCDエンコードされた整数演算をハードウェアでサポートしています。たとえば、6502、^{[44] [45]、} Motorola 68000シリーズ、^[46]、x86シリーズなどです。^[47] Intel x86アーキテクチャは、浮動小数点レジスタにロードおよび格納できる独自の18桁（10バイト）BCD形式をサポートしており、そこから計算を実行できます。^[48]

最近のコンピュータでは、このような機能は CPU の命令セットではなくソフトウェアで実装されることがほとんどですが、BCD 数値データは商用および金融アプリケーションでは依然として非常に一般的です。

短いながらも理解しにくいワード並列ロジックとバイナリ算術演算のシーケンスを使用して、パックBCDとゾーン10進数の加減算演算を実装するためのトリックがあります。^[49]たとえば、次のコード（Cで記述）は、32ビットのバイナリ演算を使用して、符号なし8桁のパックBCD加算を計算します。

uint32_t BCDadd ( uint32_t a , uint32_t b ) { uint32_t t1 , t2 ; // 符号なし32ビット中間値    

          

    t1 = a + 0x06666666 ; t2 = t1 ^ b ; // 桁上げの伝播なしの合計t1 = t1 + b ; // 暫定的な合計t2 = t1 ^ t2 ; // すべてのバイナリ桁上げビットt2 = ~ t2 & 0x11111110 ; // BCD桁上げビットのみt2 = ( t2 >> 2 ) | ( t2 >> 3 ); // 修正return t1 - t2 ; // 修正されたBCD合計}    
                           
                           
                          
                 
                
                       

BCD は、数値を表示する電子システム、特にマイクロプロセッサを含まないデジタル ロジックのみで構成されるシステムでよく使用されます。BCD を使用すると、各桁を個別のサブ回路として扱うことで、表示用の数値データの操作を大幅に簡素化できます。

これは、ディスプレイ ハードウェアの物理的な現実に非常に近いものです。たとえば、設計者は、一連の個別の同一の7 セグメント ディスプレイを使用して計測回路を構築することを選択できます。数値が純粋なバイナリとして保存および操作される場合、そのようなディスプレイとのインターフェイスには複雑な回路が必要になります。したがって、計算が比較的単純な場合は、BCD で作業すると、バイナリに変換するよりも全体的にシンプルなシステムになります。ほとんどのポケット電卓は、すべての計算を BCD で行います。

この種のハードウェアが組み込みマイクロコントローラやその他の小型プロセッサを使用する場合にも、同じ議論が当てはまります。多くの場合、数値を内部的にBCD形式で表現すると、コードが小さくなります。これは、このような限られたプロセッサでは、バイナリ表現からの変換やバイナリ表現への変換にコストがかかる可能性があるためです。これらのアプリケーションでは、一部の小型プロセッサには専用の算術モードがあり、BCD数量を操作するルーチンを作成するときに役立ちます。^{[50] [51]}

• 10 の累乗によるスケーリングは簡単です。
• 小数点の境界での丸めは簡単です。小数点の加算と減算では丸めは必要ありません。 ^{[疑わしい–議論する]}
• 2 つの 10 進数の配置 (たとえば、1.3 + 27.08) は、単純かつ正確なシフトです。
• 文字形式または表示用への変換（例：XMLなどのテキストベースの形式への変換、または7セグメントディスプレイの信号を駆動するための変換）は、桁ごとの単純なマッピングであり、線形（ O（n））時間で実行できます。純粋な2進数からの変換には、桁にまたがる比較的複雑なロジックが含まれ、大きな数の場合、線形時間の変換アルゴリズムは知られていません（ 2進数 § 他の数値システムとの間の変換を参照）。
• 10 進数の 0.2 などの多くの非整数値は、2 進数では無限の位の値の表現 (.001100110011...) を持ちますが、2 進化 10 進数では有限の位の値 (0.0010) を持ちます。したがって、小数の 2 進化 10 進数表現に基づくシステムでは、このような値の表現と計算のエラーを回避できます。これは、財務計算に役立ちます。

• 実際のBCDの実装は、ネイティブBCD操作に対するプロセッサのサポートが限られているため、特に組み込みシステムでは、バイナリ表現の操作よりも遅くなるのが一般的です。^[52]
• 一部の演算は実装がより複雑です。加算器には、ラップさせて早期に桁上げを生成するための追加のロジックが必要です。また、純粋なバイナリと比較して、BCD 加算には 15 ～ 20 パーセント多くの回路が必要です。^[要出典]乗算には、シフトマスク加算よりもいくぶん複雑なアルゴリズムを使用する必要があります (バイナリ乗算では、バイナリシフトと加算、または桁ごとまたは桁グループごとの同等の処理が必要です)。
• 標準 BCD では 1 桁あたり 4 ビットが必要で、バイナリ エンコードよりも約 20% 多くのスペースが必要です (4 ビットと log ₂ 10 ビットの比率は 1.204)。3 桁が 10 ビットでエンコードされるようにパックすると、ストレージ オーバーヘッドが大幅に削減されますが、エンコードが既存のハードウェアで一般的な 8 ビット バイト境界に揃えられず、これらのシステムでの実装が遅くなります。

数値に他の表現を使用するさまざまな BCD 実装が存在します。Texas Instruments、Hewlett-Packard、およびその他のメーカーが製造するプログラム可能な計算機は、通常、浮動小数点BCD 形式を採用しており、(10 進) 指数に 2 桁または 3 桁を使用します。符号桁の追加ビットは、無限大、アンダーフロー/オーバーフロー、エラー(点滅表示) などの特殊な数値を示すために使用される場合があります。

符号付き 10 進数値は、いくつかの方法で表現できます。たとえば、 COBOLプログラミング言語は 5 つのゾーン 10 進形式をサポートしており、それぞれが異なる方法で数値の符号をエンコードします。

3GPPはTBCD ^[53]を開発しました。これはBCDの拡張であり、残りの（未使用の）ビットの組み合わせを使用して特定の電話文字を追加します。 ^{[54] [55]その数字は}電話のキーパッドの元の設計 に見られる数字に似ています。

前述の 3GPP ドキュメントでは、各バイトのニブルが入れ替わったTBCD-STRING を定義しています。ビット、オクテット、数字は 1 からインデックス付けされ、ビットは右から、数字とオクテットは左からです。

オクテットnのビット8765は数字2nをエンコードします

オクテットnのビット4321は数字2( n -1)+1 をエンコードする

意味番号は1234、21 43TBCD では次のようになります。

このフォーマットは、現代の携帯電話でダイヤル番号の送信やオペレータID（MCC/MNCタプル）、IMEI、IMSI（SUPI）などの送信に使用されている。 ^{[56] [57]}

表示と計算の誤差がディスプレイへの変換速度よりも重要な場合は、10進数を2進数でエンコードされた整数と2進数でエンコードされた符号付き10進指数として保存するスケール付き2進数表現を使用できます。たとえば、0.2は2 × 10と表すことができます。⁻¹。

この表現により、乗算と除算を高速に実行できますが、小数点を揃えるために加算と減算中に 10 の累乗でシフトする必要がある場合があります。これは、小数点以下の桁数が固定で、この調整を必要としないアプリケーションに適しています。特に、小数点以下の桁数が 2 桁または 4 桁で十分な金融アプリケーションに適しています。実際、基数点の位置が暗黙的に示されるため、これはほぼ固定小数点演算の形式です。

HertzおよびChen–Ho エンコードは、3つの BCD エンコードされた数字のグループを 10 ビット値^{[nb 1]}と相互に変換するためのブール変換を提供します。これらの値は、わずか 2 または 3 ゲートの遅延でハードウェアで効率的にエンコードできます。高密度パック 10 進数(DPD) は、同様の方式^{[nb 1]であり、} IEEE 754-2008浮動小数点標準で指定された 2 つの代替 10 進エンコードの 1 つで、先頭桁を除くほとんどの有効数字に使用されます。

多くのパソコンのBIOSは日付と時刻をBCDで保存します。これは、オリジナルのIBM PC ATマザーボードで使用されていたMC6818リアルタイムクロックチップがBCDでエンコードされた時間を提供していたためです。この形式は簡単にASCIIに変換して表示できます。^{[58] [59]}

Atari 8 ビット コンピュータは、浮動小数点数に BCD 形式を使用します。MOS Technology 6502プロセッサには、加算および減算命令用の BCD モードがあります。Psion Organiser 1ハンドヘルド コンピュータの製造元提供ソフトウェアも、浮動小数点の実装に BCD を使用していますが、それ以降の Psion モデルでは、バイナリのみを使用しています。

PlayStation 3の初期モデルでは、日付と時刻が BCD で保存されます。このため、2010 年 3 月 1 日にコンソールが世界中で停止しました。BCD で保存された年号の最後の 2 桁が誤って 16 と解釈され、ユニットの日付にエラーが発生し、ほとんどの機能が動作しなくなりました。これは2010 年問題と呼ばれています。

1972年のゴットシャルク対ベンソン事件で、米国最高裁判所は、 BCDエンコードされた数値をコンピューター上でバイナリに変換する 特許を認めた下級裁判所の判決を覆した。

この判決では、特許は「数式を完全に先取りするものとなり、実質的にはアルゴリズム自体の特許となる」と指摘されている。^{[60]これは、}ソフトウェアとアルゴリズムの特許性を決定した画期的な判決であった。

• 25進コード化10進数
• 2進化3進数（BCT）
• 2進整数10進数(BID)
• ビットマスク
• チェン・ホー符号化
• 10進コンピュータ
• 高密度パック 10 進数(DPD)
• Double dabble は、2進数をBCDに変換するアルゴリズムです。
• 2000年問題

• Mackenzie, Charles E. (1980)。コード化文字セットの歴史と開発(PDF)。システムプログラミングシリーズ (第 1 版)。Addison -Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 978-0-201-14460-4LCCN  77-90165。2016年5月26日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF ）。2019年8月25日閲覧。
• リチャーズ、リチャード・コーラー (1955)。『デジタルコンピュータにおける算術演算』。ニューヨーク、アメリカ合衆国:ヴァン・ノストランド。pp. 397–。
• シュミット、ヘルマン(1974)。十進法計算(第 1 版)。ビンガムトン、ニューヨーク、米国: John Wiley & Sons。ISBN 0-471-76180-X。およびシュミット、ヘルマン（1983）[1974]。小数点計算（第1版（再版））。マラバー、フロリダ州、米国：ロバートE.クリーガー出版社。ISBN 0-89874-318-4。(注: 少なくともクリーガーの再版の一部には誤植があり、 115～146 ページに欠陥がありました。)
• Massalin, Henry (1987年10 月)。Katz , Randy (編)。「スーパーオプティマイザー: 最小のプログラムの概要」(PDF)。ACM SIGOPS オペレーティング システム レビュー。21 (4): 122–126。doi : 10.1145 / 36204.36194。ISBN 0-8186-0805-6. 2017年7月4日にオリジナルからアーカイブ（PDF）されました。2012年4月25日閲覧。(また、ACM SIGPLAN Notices、Vol. 22 #10、IEEE Computer Society Press #87CH2440-6、1987 年 10 月)
  • 「GNU スーパーオプティマイザー」。HP -UX。
• Shirazi, Behrooz; Yun, David YY; Zhang, Chang N. (1988 年 3 月)。冗長 2 進化 10 進加算の VLSI 設計。IEEE 第 7 回国際フェニックス コンピュータおよび通信会議、1988 年。IEEE。pp . 52–56。
• Brown; Vranesic (2003).デジタルロジックの基礎。
• Thapliyal, Himanshu; Arabnia, Hamid R. (2006 年 11 月)。CMOSと可逆ロジック実装による改良型キャリー ルック アヘッド BCD 加算器。2006 年国際コンピュータ デザイン会議 (CDES'06) の議事録。CSREA プレス。pp. 64–69。ISBN 1-60132-009-4。
• Kaivani, A.; Alhosseini, A. Zaker; Gorgin, S.; Fazlali, M. (2006 年 12 月)。IEEE -754R を使用した高密度パック 10 進数と 2 進化 10 進数形式間のコンバータの可逆実装。第 9 回国際情報技術会議 (ICIT'06)。IEEE。pp . 273–276。
• Cowlishaw, Mike F. (2009) [2002, 2008]. 「十進数演算に関する資料の参考文献 - カテゴリ別」.一般十進数演算. IBM . 2016年1月2日閲覧。

• Cowlishaw, Mike F. (2014) [2000]. 「Chen-Ho 10 進データ エンコーディングの概要」.一般 10 進演算. IBM . 2016 年 1 月 2 日閲覧.
• Cowlishaw, Mike F. (2007) [2000]. 「高密度にパックされた 10 進数エンコーディングの概要」.一般 10 進数演算. IBM . 2016 年 1 月 2 日閲覧.
• BCD を 10 進数、2 進数、16 進数に変換します。
• Java 用 BCD