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既約分数（または既約分数、最も簡単な形、または既約分数）とは、分子と分母が 1 （負の数の場合は -1 も含む）以外の共通約数を持たない整数である分数のことです。 [ 1 ]言い換えれば、分数 a / b は、 aとbが互いに素である場合、つまりaとb の最大公約数が 1 である場合に限り、既約です。高等数学では、「既約分数」は、分子と分母が互いに素な多項式である有理分数を指す場合もあります。[ 2 ]すべての有理数は、正の分母を持つ既約分数として、ちょうど 1 通りの方法で表すことができます。[ 3 ]
同等の定義が役立つ場合もある。a と b が整数である場合、分数a / bは、| c | < | a | または | d | < | b | となるような他の等しい分数 c / dが存在しない場合のみ既約である。ここで、| a |はaの絶対値を意味する。 [ 4 ] ( 2つの分数a / bとc / dは、 ad = bcの場合のみ等しいか同等である。)
例えば、1 / 4、5 / 6、−101 / 100はすべて既約分数です。一方、2 / 4は1/2と値が等しく、1 / 2の分子が2/4の分子より小さいので、既約分数です。
約分可能な分数は、分子と分母の両方を共通因数で割ることによって約分できます。両方を最大公約数で割ると、完全に既約分数にすることができます。 [ 5 ]最大公約数を見つけるには、ユークリッドの互除法または素因数分解を使用できます。ユークリッドの互除法は、分子と分母が大きすぎて簡単に因数分解できない分数を約分できるため、一般的に好まれています。[ 6 ]
最初のステップでは、両方の数を10で割りました。10は120と90の両方に共通する約数です。2番目のステップでは、3で割りました。最終結果の4/3は、4と3には1以外の共通因数がないため、既約分数です。
元の分数は、90と120の最大公約数である30を使って、1ステップで約分することもできます。120 ÷ 30 = 4、90 ÷ 30 = 3なので、次のようになります。
どちらの方法が「手作業」で速いかは、分数と共通因数の見つけやすさによって異なります。分母と分子が大きすぎて目視で互いに素であることを確認できない場合は、分数が実際に既約分数であることを確認するために、いずれにせよ最大公約数の計算が必要になります。
すべての有理数は、正の分母を持つ既約分数として一意に表現されます[ 3 ] (ただし、2 / 3 = −2 / −3ですが、どちらも既約です)。一意性は、整数の一意な素因数分解の結果です。なぜなら、a / b = c / dはad = bcを意味し、したがって後者の両辺は同じ素因数分解を共有する必要がありますが、aとb は素因数を共有しないため、 aの素因数(重複あり)の集合はcの素因数の集合の部分集合であり、その逆も同様です。つまり、a = cであり、同じ議論によりb = dとなります。
任意の有理数が既約分数として一意に表現されるという事実は、√2やその他の無理数の無理性の証明に利用されている。例えば、ある証明では、もし整数の比として表すことができる場合、特に、aとb が可能な限り最小である完全簡約表現 a / b を持つことになります。しかし、 a / b が等しいとすると、2 b − a / a − bも同様です( a / bとクロス乗算すると、両者が等しいことがわかります)。a > bなので( （ は 1 より大きい）は、2 つのより小さい整数の比である。これは矛盾なので、2 の平方根が 2 つの整数の比として表現できるという前提は誤りである。
既約分数の概念は、任意の一意因数分解領域の分数の体へと一般化される。すなわち、そのような体の任意の要素は、分母と分子を最大公約数で割ることによって、互いに素な分数として表すことができる。[ 7 ]これは特に体上の有理式に当てはまる。与えられた要素の既約分数は、分母と分子に同じ可逆要素を掛けることを除いて一意である。有理数の場合、これは任意の数が分子と分母の両方の符号を変えることによって関連付けられる2つの既約分数を持つことを意味する。この曖昧さは、分母が正であることを要求することによって解消できる。有理関数の場合、分母は同様に単項式多項式であることを要求することができる。[ 8 ]
