10進浮動小数点数

このフォーマットでは、0 から 10 ^p −1 までのバイナリ仮数を使用します。たとえば、Decimal32 の仮数は、最大で 10 ⁷ −1 = 9 999 999 = 98967F ₁₆ = 1001 1000100101 1001111111 ₂まで可能です。このエンコーディングではより大きな仮数を表すことができますが、それらは不正であり、標準では、入力で検出された場合は実装で 0 として扱うことが求められています。

上述のように、エンコーディングは仮数の最上位 4 ビットが 0 ～ 7 (0000 ₂～ 0111 ₂ ) の範囲内にあるか、それ以上 (1000 ₂または 1001 ₂ ) の範囲にあるかによって異なります。

符号ビットの後の 2 ビットが「00」、「01」、または「10」の場合、指数部は符号ビットの後の 8 ビット (上記の 2 ビットと「指数継続フィールド」の 6 ビット) で構成され、仮数は残りの 23 ビットで、括弧内に暗黙の先頭 0 ビットが示されています。

s 00eeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt s 01eeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt s 10eeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt 

これには、先​​頭の有効数字が0であるような、通常とは異なる数値も含まれます。

符号ビットの後の2ビットが「11」の場合、8ビットの指数部は（符号ビットとそれに続く「11」ビットの両方の後）2ビット右にシフトされ、表現される仮数部は残りの21ビットに格納されます。この場合、真の仮数部には暗黙的に（つまり格納されずに）先頭に3ビットのシーケンス「100」が存在します。

s 1100eeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt s 1101eeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt s 1110eeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt 

符号ビットの後の「11」という2ビットのシーケンスは、仮数に暗黙的に「100」という3ビットの接頭辞が付いていることを示しています。

仮数フィールドの先頭ビットは、最上位の10進数をエンコードするものではなく、単により大きな純粋な2進数の一部であることに注意してください。たとえば、仮数8 000 000は、先頭の4ビットが7をエンコードする2進数0111 1010000100 1000000000としてエンコードされます。24ビット目を必要とする最初の仮数（したがって2番目のエンコード形式）は2 ²³ = 8 388 608です。

上記の場合、表される値は次のとおりです。

(−1)^符号×10^指数−101 ×仮数

Decimal64 と Decimal128 は同様に動作しますが、指数部と仮数部のサイズが大きくなっています。Decimal128 の場合、2 番目のエンコード形式は実際には使用されません。有効な仮数の最大値である 10 ³⁴ −1 = 1ED09BEAD87C0378D8E63FFFFFFFF _{16 は}113 ビットで表現できます。

このバージョンでは、仮数は一連の10進数として格納されます。先頭の桁は0から9（3ビットまたは4ビットの2進数）で、残りの仮数は高密度10進数（DPD）エンコーディングを使用します。

指数部の先頭2ビットと仮数の先頭桁（3ビットまたは4ビット）が組み合わされて、符号ビットに続く5ビットが生成される。その後に、固定オフセットの指数継続フィールドが続く。

最後に、仮数継続フィールドは、それぞれが3桁の10進数を符号化する2、5、または11個の10ビットデクレットで構成されます。^{[ 9 ]}

符号ビットの後の最初の 2 ビットが「00」、「01」、または「10」の場合、それらは指数部の先頭ビットであり、その後の 3 ビットは先頭の 10 進数 (0 ～ 7) として解釈されます。^{[ 10 ]}

 組み合わせ指数有効数字 s 00 TTT (00)eeeeee (0TTT)[tttttttttt][ttttttttttt] s 01 TTT (01)eeeeee (0TTT)[tttttttttt][ttttttttttt] s 10 TTT (10)eeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt] 

符号ビットの次の2ビットが「11」の場合、次の2ビットは指数部の先頭ビットとなり、最後のビットには「100」が付加されて先頭の10進数（8または9）が形成されます。

 組み合わせ指数有効数字 s 1100 T (00)eeeeee (100T)[tttttttttt][ttttttttttt] s 1101 T (01)eeeeee (100T)[tttttttttt][ttttttttttt] s 1110 T (10)eeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt] 

5ビットフィールドの残りの2つの組み合わせ（11110と11111）は、それぞれ±無限大とNaNを表すために使用されます。

浮動小数点数を加算する簡単な方法は、まず同じ指数で表すことです。以下の例では、2番目の数値を3桁右にシフトしています。通常の加算方法に従って計算を進めます。

以下の例は十進数です。これは、基数が10であることを意味します。

 123456.7 = 1.234567 × 10 5 101.7654 = 1.017654 × 10 2 = 0.001017654 × 10 5

したがって：

 123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10 5 ) + (1.017654 × 10 2 ) = (1.234567 × 10 5 ) + (0.001017654 × 10 5 ) = 10 5 × (1.234567 + 0.001017654) = 10 5 × 1.235584654

これは科学的記数法への変換に他なりません。詳細は以下の通りです。

 e=5; s=1.234567 (123456.7) + e=2; s=1.017654 (101.7654)

 e=5; s=1.234567 + e=5; s=0.001017654 (シフト後) -------------------- e=5; s=1.235584654 (真の合計: 123558.4654)

これが真の結果、つまり各被演算項の正確な合計です。7桁に丸められ、必要に応じて正規化されます。最終結果は次のとおりです。

 e=5; s=1.235585 (最終合計: 123558.5)

2番目のオペランドの下位3桁（654）が実質的に失われていることに注意してください。これは丸め誤差です。極端な場合、2つのゼロ以外の数値の合計が、どちらか一方の数値と等しくなることがあります。

 e=5; s=1.234567 + e=−3; s=9.876543

 e=5; s=1.234567 + e=5; s=0.00000009876543 (シフト後) ---------------------- e=5; s=1.23456709876543 (真の合計) e=5; s=1.234567（丸め/正規化後）

ほぼ等しい2つの数の近似値を引き算すると、有効性が失われるという別の問題が発生します。次の例では、 e  =  5; s  =  1.234571 とe  =  5; s  =  1.234567 は、有理数 123457.1467 と 123456.659 の近似値です。

 e=5; s=1.234571 − e=5; s=1.234567 ---------------- e=5; s=0.000004 e=−1; s=4.000000（丸めと正規化後）

浮動小数点の差は、数値が近いため正確に計算されます。これは、段階的アンダーフローがサポートされているアンダーフローの場合でも、スターベンツの補題によって保証されます。それにもかかわらず、元の数値の差はe = −1; s = 4.877000 であり、これは近似値の差e = −1; s = 4.000000と 20% 以上異なります。極端な場合、精度の有効桁がすべて失われる可能性があります。^{[ 12 ] [ 13 ]}この相殺は、計算結果のすべての桁が意味を持つと仮定することの危険性を示しています。これらのエラーの結果に対処することは、数値解析のトピックです。精度の問題も参照してください。        

乗算を行うには、仮数部同士を掛け合わせ、指数部同士を足し合わせ、結果を四捨五入して正規化します。

 e=3; s=4.734612 × e=5; s=5.417242 ----------------------- e=8; s=25.648538980104 (真の積) e=8; s=25.64854（四捨五入後） e=9; s=2.564854（正規化後）

割り算も同様に行いますが、こちらはより複雑です。

乗算や除算には、打ち消しや吸収の問題は発生しませんが、演算を繰り返し行うと小さな誤差が蓄積される可能性があります。実際には、デジタルロジックにおけるこれらの演算の実行方法は非常に複雑になる場合があります。