一次巡回群

数学において、主巡回群は、巡回群であると同時に、ある素数pに対してp主群でもある群である。つまり、ある素数pと自然数mに対して、位数p ^m、C _{p ^m}の巡回群である。

すべての有限アーベル群 Gは、有限アーベル群の基本定理で述べられているように、一次巡回群の有限直和として表すことができます。

${\displaystyle G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}\mathrm {C} _{{p_{i}}^{m_{i}}}.}$^[1]

この表現は本質的に一意です。つまり、2 つの表現内のグループの集合の間には一対一の関係があり、各グループが同型のグループにマッピングされます。

一次巡回群は、有限生成アーベル群の中で、2 つの非自明な群の直和として表現できない捩れ群として特徴付けられます。そのため、一次巡回群は整数群とともに有限生成アーベル群の構成要素を形成します。

主巡回群の部分群は包含関係によって線形順序付けられます。この特性を持つ他の群は準巡回群のみです。