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数学において、多環群は、部分群の最大条件を満たす（つまり、すべての部分群は有限生成である）解ける群である。多環群は有限に提示されるため、計算の観点から興味深いものとなる。
用語
同様に、群Gが多巡回的であるためには、巡回因子を持つ非正規級数、つまり部分群の有限集合、例えばG 0 , ..., G n が存在する必要がある。
- G n はGと一致する
- G 0 は自明な部分群である
- G i はG i +1の正規部分群である（0 からn - 1までのすべてのiについて）
- そして商群G i +1 / G iは巡回群である（0からn - 1までの任意のiについて）
メタ環式群は、n ≤ 2の多環式群、つまり環式群による環式群の 拡張です。
例
多環群の例には、有限生成アーベル群、有限生成冪零群、有限可解群などがある。アナトリー・マルツェフは、整数一般線型群の可解部分群が多環群であることを証明した。その後、ルイス・アウスランダー（1967）とスワンは、その逆、つまり、任意の多環群は整数行列の群と同型であることを証明した。[1]多環群の正則も、そのような整数行列の群である。[2]
強多環式基
多環式群Gは、各商G i +1 / G iが無限大である場合に、強多環式であると言われます。強多環式群の任意の部分群は、強多環式です。
多環式有限群
事実上多環式群は、有限指数の多環式部分群を持つ群であり、これは仮想特性の一例である。このような群は必然的に有限指数の正規多環式部分群を持つため、このような群は有限多環式群とも呼ばれる。有限多環式群は必ずしも解ける必要はないが、多環式群の有限性特性の多くを備えている。たとえば、最大条件を満たし、有限提示かつ残差有限である。
教科書 (Scott 1964、Ch 7.1)やいくつかの論文では、M 群は現在では多巡回-有限群と呼ばれているものを指し、ヒルシュの定理により、各因子が有限群または無限巡回群である有限長の非正規級数を持つ群としても表現できます。
これらの群は、ノイザン 群環(Ivanov 1989)、つまり有限の入射次元を持つ群環の唯一の既知の例であるため、特に興味深い。 [要出典]
ヒルシュ長さ
多環式群Gのヒルシュ長さまたはヒルシュ数は、その非正規級数内の無限因子の数です。
Gが有限乗多環群である場合、 Gのヒルシュ長さは、 Gの多環正規部分群 Hのヒルシュ長さであり、ここでH はGにおいて有限の指数を持ちます。これは部分群の選択とは無関係であり、そのような部分群はすべて同じヒルシュ長さを持ちます。
参照
参考文献
- Ivanov、SV (1989)、「ネーター群の群環」、アカデミヤ ナウク SSSR。マテマチェスキー・ザメトキ、46 (6): 61–66、ISSN 0025-567X、MR 1051052
- スコット、WR（1987）、群論、ニューヨーク：ドーバー出版、pp.45-46、ISBN 978-0-486-65377-8