カタルーニャの堅実さ

カタラン立体はアルキメデス立体の双対多面体であり、高度に対称な形状を持つ13個の多面体、すなわち2つ以上の多角形の面が頂点で交わる半正多面体の集合である。 ^[1]多面体は、頂点を他の多面体の面に対応させることで双対を持つことができ、一方の頂点のペア間の辺は、もう一方の面のペア間の辺に対応する。^{[2]カタラン立体を構築する1つの方法は、}ドーマン・ルーク構築法を使用することである。^[3]

これらの立体は、面が互いに推移的であるため面推移的または等面体であるが、頂点が互いに推移的でないため頂点推移的ではない。それらの双対であるアルキメデスの立体は、頂点推移的であるが面推移的ではない。それぞれ一定の二面角を持ち、つまり任意の2つの隣接する面の間の角度は同じである。^[1]さらに、カタラン立体である菱形十二面体と菱形三十面体は両方とも辺推移的であり、つまり任意の2つの辺の間には等長関係があり、全体の対称性が保たれている。^{[要出典]これらの立体は、}ゾノヘドロンの研究中にヨハネス・ケプラーによってすでに発見されていたが、 1865年にユージン・カタランが初めて13の立体のリストを完成させた。 ^[4]

五角形二十四面体と五角形六十面体は、それぞれキラルなスナブ立方体とスナブ十二面体と双対であるためキラルです。つまり、これら 2 つの立体は、それ自体の鏡像ではありません。

13個のカタラン立体のうち11個はルパート特性（同じ立体のコピーを立体の穴を通過させることができる）を持つことが知られている。 ^[5]

• カンディ、H. マーティン、ロレット、AP (1961)、数学モデル(第 2 版)、オックスフォード: クラレンドン プレス、MR  0124167。
• Diudea, MV (2018)、マルチシェル多面体クラスター、Springer、doi :10.1007/978-3-319-64123-2、ISBN 978-3-319-64123-2。
• Fredriksson, Albin (2024)、「Rupert 特性の最適化」、The American Mathematical Monthly、131 (3): 255–261、arXiv : 2210.00601、doi :10.1080/00029890.2023.2285200。
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005)、「多面体の双対性」、国際科学技術数学教育ジャーナル、36 (6): 617–642、doi :10.1080/00207390500064049、S2CID  120818796。
• Heil, E.; Martini, H. (1993)、「特殊凸体」、Gruber, PM; Wills, JM (編)、『凸幾何学ハンドブック』、北ホラント
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）

ウィキメディア・コモンズには、カタロニア語の固体に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「カタロニア語立体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「等面体」。MathWorld。
• カタロニア語の立体 – Visual Polyhedra で
• アルキメデスの双対 – バーチャルリアリティ多面体
• Java でのインタラクティブなカタロニア語 Solid
• カタランの1865年のオリジナル出版物のダウンロードリンク – 美しい図表付き、PDF形式