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| テトラキススクエアタイル | |
|---|---|
 | |
| タイプ | デュアルセミレギュラータイリング |
| 顔 | 45-45-90 三角形 |
| コクセター図 |    |
| 対称グループ | p4m、[4,4]、*442 |
| 回転グループ | p4, [4,4] + , (442) |
| 二重多面体 | 切り詰められた正方形のタイル |
| 顔の構成 | V4.8.8 |
| プロパティ | 顔推移 |
幾何学において、テトラキス正方形タイリングはユークリッド平面のタイリングである。これは、各正方形が中心点から 4 つの直角二等辺三角形に分割され、無限の線分配列を形成する正方形タイリングである。また、グリッドの各正方形を対角線で 2 つの三角形に分割し、対角線の方向を交互にすることで形成することも、2 つの正方形グリッドを重ね、一方を他方から 45 度回転し、係数√2で拡大縮小することによって形成することもできる。
コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝シュトラウスはこれをキスカドリルと呼んでいる[1] 。これは中心点と三角形を追加して正方形のタイル（カドリール）の面を置き換えるkis操作で表現される。8次頂点を囲む三角形がイギリス国旗に似ていることから、ユニオンジャック格子とも呼ばれる。 [2]
二等辺三角形の各面には、4 つの三角形を持つ頂点が 1 つと、8 つの三角形を持つ頂点が 2 つあるため、V4.8.8 というラベルが付けられています。
二重均一タイルとして
これは、各頂点に1つの正方形と2つの八角形を持つ、切り取られた正方形のタイルの二重のテッセレーションです。 [3]
アプリケーション
テトラキスの正方形のタイルの5×9の部分は、マダガスカルの ボードゲーム 「ファノロナ」のボードを形成するために使用されます。このゲームでは、タイルの頂点に駒を置き、端に沿って移動して、片側がもう一方の色の駒をすべて取るまで、もう一方の色の駒を取ります。このゲームでは、タイルの次数4と次数8の頂点は、それぞれ弱い交差点と強い交差点と呼ばれ、この区別はゲームの戦略において重要な役割を果たします。[4]同様のボードは、ブラジルのゲーム「アドゥゴ」やゲーム「ヘア・アンド・ハウンド」でも使用されます。
テトラキスの正方形のタイル模様は、1997年に米国郵政公社が発行した記念切手のセットに使用され、2つの異なる切手が交互に配置された。対角線のミシン目がすべて互いに平行である三角形の切手のより単純なパターンと比較すると、テトラキスのパターンには、いずれかのミシン目に沿って折りたたむと、他のミシン目が互いに一列に並び、繰り返し折りたたむことができるという利点がある。[5]
このタイリングは、キルティングでよく使われる「風車」、「風車」、「割れた皿」のパターンの基礎にもなっています。[6] [7] [8]
対称
対称タイプは次のとおりです。
- 色付け: cmm;プリミティブセルは 8 つの三角形、基本ドメインは2 つの三角形 (各色に 1/2)
- 暗い三角形は黒、明るい三角形は白で表示されます: p4g; プリミティブ セルは 8 つの三角形、基本ドメインは 1 つの三角形 (黒と白がそれぞれ 1/2) です
- 辺が黒、内部が白：p4m。プリミティブセルは2つの三角形、基本ドメイン1/2
テトラキス正方形タイルのエッジは、線の単体配置を形成します。これは、三角形タイルやキスロンビルタイルと共有する特性です。
これらの線は、タイリングの三角形を基本領域とする反射群（壁紙群 [4,4]、(*442) または p4m）の対称軸を形成します。この群は、三角形を二等分する追加の対称軸を持ち、半三角形を基本領域とするタイリングの自己同型群と同型ですが、同じではありません。
p4m、[4,4]対称性(*442オービフォールド記法)には多くの小さな指数サブグループがあり、コクセター図との関係で見ることができます。ノードは反射線に対応するように色付けされ、回転点は数字でラベル付けされています。回転対称性は、白と青が交互に表示される領域で示され、各サブグループの単一の基本ドメインは黄色で塗りつぶされています。すべり反射は破線で示されています。
サブグループは、基本ドメイン図とともに、 コクセター図として表現できます。
参照
注記
- ^ コンウェイ、ジョン、バーギエル、ハイディ、グッドマン・シュトラウス、チャイム（2008）、「第21章：アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名」、The Symmetries of Things、AK Peters、p. 288、ISBN 978-1-56881-220-5
- ^ スティーブンソン、ジョン、「反強磁性次近傍結合を持つイジングモデル：スピン相関と無秩序点」、Phys. Rev. B、1（11）：4405–4409、doi：10.1103 / PhysRevB.1.4405。
- ^ Weisstein, Eric W.「デュアルテッセレーション」。MathWorld。
- ^ ベル、RC (1983)、「ファノロナ」、ボードゲームブック、エクセターブックス、pp. 150–151、ISBN 0-671-06030-9
- ^ フレデリックソン、グレッグ N. (2006)、「ピアノヒンジ解剖学」、AK ピーターズ、p. 144。
- ^ キルティングバイブル、クリエイティブ・パブリッシング・インターナショナル、1997年、55ページ、ISBN 9780865732001。
- ^ ジーマン、ナンシー（2011）、Quilt With Confidence、クラウス出版、p. 66、ISBN 9781440223556。
- ^ ファセット、カフェ（2007）、カフェ・ファセットのキルトの万華鏡：パッチワークとキルティングのためのローワンの20のデザイン、トーントン・プレス、p. 96、ISBN 9781561589388。
参考文献
ウィキメディア・コモンズには、テトラキス正方形タイルに関連するメディアがあります。
- グリュンバウム、ブランコ& シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。ニューヨーク: WH フリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的かつ均一なタイリング、p.58-65）
- ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 40。ISBN 0-486-23729-X。
- キース・クリッチロー『空間の秩序：デザインのソースブック』 1970年、p. 77-76、パターン8